常微分考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.下列方程中，（）是一階線性微分方程。A.\(y'+y^{2}=x\)B.\(y'+xy=\sinx\)C.\(y''+y=0\)D.\((y')^{2}+y=1\)答案：B2.方程\(y'=y\)的通解是（）。A.\(y=Cx\)B.\(y=Ce^{x}\)C.\(y=Ce^{-x}\)D.\(y=x+C\)答案：B3.微分方程\(y'=\frac{y}{x}+\tan\frac{y}{x}\)是（）類型的方程。A.齊次方程B.可分離變量方程C.一階線性方程D.伯努利方程答案：A4.對于二階常系數(shù)線性齊次微分方程\(y''+py'+qy=0\)，特征方程為（）。A.\(r^{2}+pr+q=0\)B.\(r^{2}-pr-q=0\)C.\(r^{2}+p^{2}r+q^{2}=0\)D.\(r^{2}-p^{2}r-q^{2}=0\)答案：A5.方程\(y''-4y'+3y=0\)的通解是（）。A.\(y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{3x}\)B.\(y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{-3x}\)C.\(y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-3x}\)D.\(y=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{3x}\)答案：A6.微分方程\(y'=\frac{1}{x+y}\)屬于（）。A.可分離變量方程B.一階線性方程C.齊次方程D.以上都不是答案：D7.對于方程\(y'=f(x,y)\)，如果\(f(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)連續(xù)，則（）。A.方程在\(D\)內(nèi)一定有解B.方程在\(D\)內(nèi)一定有唯一解C.方程在\(D\)內(nèi)不一定有解D.方程在\(D\)內(nèi)解不唯一答案：A8.方程\(y^{(3)}+y'=0\)的通解中獨(dú)立的任意常數(shù)個數(shù)為（）。A.1B.2C.3D.4答案：C9.下列函數(shù)中，（）是方程\(y'-2y=0\)的解。A.\(y=\sin2x\)B.\(y=e^{2x}\)C.\(y=e^{-2x}\)D.\(y=\cos2x\)答案：B10.方程\(y'=\frac{y}{x}\)過點(diǎn)\((1,1)\)的特解是（）。A.\(y=x\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=x^{2}\)D.\(y=\sqrt{x}\)答案：A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列方程中是可分離變量方程的有（）。A.\(y'=\frac{x+y}{x-y}\)B.\(y'=xe^{y}\)C.\(y'=\frac{y}{x^{2}}\)D.\(y'=\frac{1}{x^{2}+y^{2}}\)答案：BC2.二階常系數(shù)線性齊次微分方程\(y''+by'+cy=0\)，當(dāng)（）時，方程的解是衰減的。A.\(b^{2}-4c>0\)且\(b>0\)B.\(b^{2}-4c=0\)且\(b>0\)C.\(b^{2}-4c<0\)且\(b>0\)D.\(b=0\)且\(c>0\)答案：ABC3.對于一階線性微分方程\(y'+p(x)y=q(x)\)，其通解公式中的積分因子是（）。A.\(e^{\intp(x)dx}\)B.\(e^{-\intp(x)dx}\)C.\(e^{\intq(x)dx}\)D.\(e^{-\intq(x)dx}\)答案：A4.下列方程中是一階微分方程的有（）。A.\(y'=\frac{y}{x}+x\)B.\(y''+y'-2y=0\)C.\((y')^{2}+y=1\)D.\(y'=\sin(x+y)\)答案：ACD5.若\(y_{1}(x)\)和\(y_{2}(x)\)是二階線性齊次微分方程\(y''+p(x)y'+q(x)y=0\)的兩個解，則（）也是該方程的解。A.\(C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)\)B.\(y_{1}(x)-y_{2}(x)\)C.\(y_{1}(x)+y_{2}(x)\)D.\(\frac{y_{1}(x)}{y_{2}(x)}\)答案：ABC6.方程\(y'=\frac{y}{x}\)的解的性質(zhì)有（）。A.過原點(diǎn)的直線\(y=kx\)都是它的解B.它的通解是\(y=Cx\)C.所有解都關(guān)于原點(diǎn)對稱D.它是齊次方程答案：ABD7.下列關(guān)于微分方程\(y'=y^{2}\)的說法正確的是（）。A.它是可分離變量方程B.它的通解是\(y=-\frac{1}{x+C}\)C.它有一個特解\(y=0\)D.它是一階非線性方程答案：ABCD8.對于二階常系數(shù)線性非齊次微分方程\(y''+py'+qy=P_{n}(x)e^{\lambdax}\)（\(P_{n}(x)\)為\(n\)次多項式），特解\(y^{}\)的形式與（）有關(guān)。A.\(n\)B.\(\lambda\)C.\(p\)D.\(q\)答案：ABD9.方程\(y''-2y'+y=0\)的解的情況是（）。A.通解為\(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}\)B.特征方程有重根C.有兩個線性無關(guān)的解\(y_{1}=e^{x}\)和\(y_{2}=xe^{x}\)D.是二階常系數(shù)線性齊次方程答案：ABCD10.以下關(guān)于常微分方程解的存在唯一性定理的說法正確的是（）。A.要求方程\(y'=f(x,y)\)中的\(f(x,y)\)在某區(qū)域內(nèi)連續(xù)B.要求\(f(x,y)\)關(guān)于\(y\)滿足李普希茨條件C.保證了在一定條件下方程解的存在性和唯一性D.只保證解的存在性答案：ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.方程\(y'=\frac{y}{x}\)是齊次方程。（）答案：對2.二階常系數(shù)線性齊次微分方程\(y''-3y'+2y=0\)的特征方程為\(r^{2}-3r+2=0\)。（）答案：對3.方程\(y'=y^{2}+1\)是可分離變量方程。（）答案：對4.對于一階線性微分方程\(y'+p(x)y=q(x)\)，當(dāng)\(q(x)=0\)時，方程為齊次方程。（）答案：對5.所有的二階微分方程都可以化為一階微分方程組。（）答案：對6.方程\(y'=\frac{1}{y-x}\)是一階線性方程。（）答案：錯7.若\(y_{1}(x)\)和\(y_{2}(x)\)是二階線性非齊次微分方程\(y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)\)的兩個解，則\(y_{1}(x)-y_{2}(x)\)是對應(yīng)的齊次方程的解。（）答案：對8.方程\(y^{(4)}+y^{2}=0\)是線性微分方程。（）答案：錯9.一階微分方程的通解中一定含有一個任意常數(shù)。（）答案：錯10.對于方程\(y'=f(x,y)\)，如果\(f(x,y)\)在某點(diǎn)\((x_{0},y_{0})\)不連續(xù)，則方程在該點(diǎn)附近一定無解。（）答案：錯四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述一階線性微分方程\(y'+p(x)y=q(x)\)的通解求法。答案：先求積分因子\(\mu(x)=e^{\intp(x)dx}\)，然后將原方程兩邊同乘\(\mu(x)\)，得到\((\mu(x)y)'=\mu(x)q(x)\)，再積分\(\mu(x)y=\int\mu(x)q(x)dx+C\)，最后得到通解\(y=e^{-\intp(x)dx}(\intq(x)e^{\intp(x)dx}dx+C)\)。2.寫出二階常系數(shù)線性齊次微分方程\(y''+py'+qy=0\)的特征方程，并說明根據(jù)特征根的不同情況方程通解的形式。答案：特征方程為\(r^{2}+pr+q=0\)。當(dāng)\(r_{1}\neqr_{2}\)（實(shí)根）時，通解為\(y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}\)；當(dāng)\(r_{1}=r_{2}\)（實(shí)重根）時，通解為\(y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{1}x}\)；當(dāng)\(r_{1,2}=\alpha\pmi\beta\)（復(fù)根）時，通解為\(y=e^{\alphax}(C_{1}\cos\betax+C_{2}\sin\betax)\)。3.什么是可分離變量的微分方程？舉一個例子。答案：可分離變量的微分方程是指能寫成\(g(y)dy=f(x)dx\)形式的方程。例如\(y'=\frac{y}{x}\)，可化為\(\frac{dy}{y}=\frac{dx}{x}\)，這就是可分離變量方程。4.如何判斷一個方程是齊次方程？答案：對于一階微分方程\(y'=f(x,y)\)，如果\(f(x,y)\)滿足\(f(tx,ty)=f(x,y)\)，則該方程是齊次方程。例如\(y'=\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y}{x}}\)是齊次方程，因?yàn)閈(f(tx,ty)=\frac{ty}{tx}+\sqrt{\frac{ty}{tx}}=\frac{y}{x}+\sqrt{\frac{y}{x}}=f(x,y)\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論一階線性非齊次微分方程\(y'+p(x)y=q(x)\)中\(zhòng)(p(x)\)和\(q(x)\)對解的影響。答案：\(p(x)\)影響積分因子，從而影響通解的形式。\(q(x)\)決定了非齊次項的性質(zhì)，當(dāng)\(q(x)\)為不同類型的函數(shù)時，求特解的方法不同，通解是齊次方程通解加上非齊次方程的一個特解，所以\(p(x)\)和\(q(x)\)共同影響方程的解。2.討論二階常系數(shù)線性齊次微分方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用。答案：可用于物理中的振動問題，如彈簧振子的振動，\(y\)表示位移，方程中的系數(shù)與振子的質(zhì)量、阻尼系數(shù)和彈性系數(shù)有關(guān)。也可用于電路中，如\(L