離散型隨機(jī)變量典型題1．有3張形狀、大小、質(zhì)量完全相同的卡片，在各張卡片上分別標(biāo)上0、1、2。現(xiàn)從這3張卡片中任意抽出一張，讀出其標(biāo)號(hào)，然后把這張卡片放回去，再抽一張，其標(biāo)號(hào)為，記。（1）求的分布列；（2）求和。解：（1）可能取的值為0、1、2、4?！?分）且，，，……（6分）所求的分布列為：0124……（8分）（2）由（1）可知，……（11分）……（14分）2．（本題滿分14分）甲與乙兩人擲硬幣，甲用一枚硬幣擲3次，記正面朝上的次為ξ；乙用這枚硬幣擲2次，記正面朝上的次為η.（1）分別求ξ和η的期望；（2）規(guī)定；若ξ>η，則甲獲勝，若ξ<η，則乙獲勝，分別求出甲和乙獲勝的概率.解ξ的可能取值為0，1，2，3則ξ的分布列為ξ0123則Eξη的可能取值為0，1，2則η的分布列為η012則Eη=所以ξ、η的數(shù)學(xué)期望分別為、1（2）P(ξ>η)=P(ξ<η)=所以甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為。3．甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92. （1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率； （2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差.解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為A、B.設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為P1，乙為P2.（2分）則P（A）=P1=0.6,P(B)=P2012P0.080.440.484．口袋里裝有大小相同的卡片八張，其中三張標(biāo)有數(shù)字1，三張標(biāo)有數(shù)字2，二張標(biāo)有數(shù)字3，第一次從口袋里任里任意抽取一張，放回口袋里后第二次再任意抽取一張，記第一次與第二次取到卡片上數(shù)字之和為.（Ⅰ）為何值時(shí)，其發(fā)生的概率最大？說明理由；（Ⅱ）求隨機(jī)變量的期望E。解（I）依題意，隨機(jī)變量的取值是2、3、4、5、6…………2分因?yàn)镻（=2）=；P（=3）=P（=4）=；P（=5）=；（Ⅰ）卡片上的數(shù)字都是奇數(shù)的概率；（Ⅱ）當(dāng)兩張卡片上的數(shù)字之和能被3整除時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，求在15次試驗(yàn)中成功次數(shù)的數(shù)學(xué)期望。（Ⅰ）；（Ⅱ）一次試驗(yàn)成功的概率為，從而，故。11．甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中6題，乙能答對(duì)其中的8題，規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測試，至少答對(duì)2題才算合格。（Ⅰ）求甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布及數(shù)學(xué)期望。（Ⅱ）求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率。解：（Ⅰ）依題意，甲答對(duì)試題數(shù)的概率分布如下：0123…………4分甲答對(duì)試題數(shù)的數(shù)學(xué)期望：……4分（Ⅱ）設(shè)甲、乙兩人考試合格的事件分別為則…理9分（文6分）甲、乙兩人考試均不合格的概率為：∴甲、乙兩人至少一個(gè)合格的概率為………理文均12分12．一出租車司機(jī)從飯店到火車站途中有6個(gè)交通崗，假設(shè)他在各交通崗遇紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是。（I）求這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個(gè)交通崗的概率；（II）求這位司機(jī)在途中恰好遇到三次紅燈的概率。解：（1）這位司機(jī)在第一、第二個(gè)交通崗都未遇到紅燈，第三個(gè)交通崗遇到了紅燈所以 6分（II）這位司機(jī)在途中恰好遇到三次紅燈的概率為 13分13．學(xué)校文娛隊(duì)的每位隊(duì)員唱歌、跳舞至少會(huì)一項(xiàng)，已知會(huì)唱歌的有2人，會(huì)跳舞的有5人，現(xiàn)從中選2人．設(shè)為選出的人中既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的人數(shù)，且．(=1\*ROMANI)求文娛隊(duì)的人數(shù)；(=2\*ROMANII)寫出的概率分布列并計(jì)算．解：設(shè)既會(huì)唱歌又會(huì)跳舞的有x人，則文娛隊(duì)中共有（7-x）人，那么只會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)是（7-2x）人．(=1\*ROMANI)∵，∴．……3分即．∴．∴x=2．……5分故文娛隊(duì)共有5人．……7分(=2\*ROMANII)的概率分布列為012P，……9分，……11分∴=1．…………13分14．一臺(tái)儀器每啟動(dòng)一次都隨機(jī)地出現(xiàn)一個(gè)10位的二進(jìn)制數(shù)，其中A的各位數(shù)字中，，出現(xiàn)0的概率為，出現(xiàn)1的概率為，例如：，其中，，記。當(dāng)啟動(dòng)儀器一次時(shí)，（1）求的概率；（2）求，且有3個(gè)1連排在一起其余無任2個(gè)1連排在一起的概率。解：（1）；（2）（注：分三類1110；110；10）15．如圖A、B兩點(diǎn)之間有6條網(wǎng)線并聯(lián)，他們能通過的最大信息量分別為1、1、2、2、3、4，現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大信息量；=1\*GB3①、設(shè)選取的三條網(wǎng)線由A到B可通過的信息總量為x，當(dāng)x≥6時(shí)，才能保證信息暢通，求線路信息暢通的概率；=2\*GB3②求選取的三條網(wǎng)線可通過信息總量的數(shù)學(xué)期望。1112234解：=1\*GB3①即線路信息暢通的概率為……6分=2\*GB3②信息總量x分布列x456789P線段同過信息量的數(shù)學(xué)期望為6.5．．．．．．．．．．．．．．13分16．某中學(xué)籃球隊(duì)進(jìn)行投籃訓(xùn)練，每人在一輪練習(xí)中最多可投籃4次，現(xiàn)規(guī)定一旦命中即停止該輪練習(xí)，否則一直投到4次為止.已知運(yùn)動(dòng)員甲的投籃命中率為0.7.求一輪練習(xí)中運(yùn)動(dòng)員甲的投籃次數(shù)ξ的分布列，并求出ξ的期望Eξ（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）；求一輪練習(xí)中運(yùn)動(dòng)員甲至少投籃3次的概率.解：(1)ξ的可能取值為1，2，3，4，ξ=1時(shí)，P（ξ=1）=0.7ξ=2時(shí)，P（ξ=2）=0.7(1-0.7)=0.21;ξ=3時(shí)，P（ξ=3）=0.7(1-0.7)2=0.063ξ=4時(shí)，P（ξ=4）=0.7(1-0.7)3+(1-0.7)4=0.027.∴ξ的分布為ξ1234P0.70.210.0630.027∴Eξ=1×0.7+×2×0.21+3×0.063+4×0.027=1.4(2)P(ξ≥3)=P(ξ=3)+P(ξ=4)=0.063+0027=0.09甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員，甲射擊一次命中10環(huán)的概率為，乙射擊一次命中10環(huán)的概率為s，若他們各自獨(dú)立地射擊兩次，設(shè)乙命中10環(huán)的次數(shù)為ξ，且ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ=，表示甲與乙命中10環(huán)的次數(shù)的差的絕對(duì)值.(1)求s的值及的分布列，(2)求的數(shù)學(xué)期望.解:(1)依題意知ξ∽B(2，s)，故Eξ=2s=，∴s=．…………2分的取值可以是0，1，2.乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為0次的概率是，乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為1次的概率是，乙兩人命中10環(huán)的次數(shù)均為2次的概率是，∴(=0)=．…………6分甲命中10環(huán)的次數(shù)為2次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為0次的概率是，甲命中10環(huán)的次數(shù)為0次且乙命中10環(huán)的次數(shù)為2次的概率是．∴(=2)==，∴(=1)=1(=0)(=2)=．………10分故的分布列是012………12分（2）E=．…………14分18．一位學(xué)生每天騎自行車上學(xué),從他家到學(xué)校有5個(gè)交通崗,假設(shè)他在交通崗遇到紅燈是相互獨(dú)立的,且首末兩個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為p,其余3個(gè)交通崗遇到紅燈的概率均為.(1)若,求該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率;(2)若該學(xué)生至多遇到一次紅燈的概率不超過,求p的取值范圍.解:(1)記該學(xué)生在第個(gè)交通崗遇到紅燈,答：該學(xué)生在第三個(gè)交通崗第一遇到紅燈的概率為……………6分(2)該學(xué)生至多遇到一次紅燈指沒有遇到紅燈（記為A）或恰好遇到一次紅燈（記為B）……………7分…9分……………11分又所以p的取值范圍是……………12分19．一些零件中有10個(gè)合格品與3個(gè)次品，安裝機(jī)器時(shí)，從這批零件中任取一個(gè).各個(gè)零件被抽到的可能性相同，如果每次取出的產(chǎn)品都不放回此批產(chǎn)品中，求：（Ⅰ）直到取出合格品為止時(shí)所需抽取次數(shù)的分布列和E；（Ⅱ）在取得合格品以前已取出的不合格品數(shù)的分布列和E.（精確到0.01）解：（Ⅰ）的取值為1，2，3，4當(dāng)=1時(shí)，即只取一次就取到合格品，∴P（=1）=（2分）當(dāng)=2時(shí)，即第一次取到次品，而第二次取到合格品，∴P（=2）=，（4分）類似地，P（=3）=P（=4）=（6分）∴的分布列為1234P∴E=