專(zhuān)題11圓解答題分類(lèi)訓(xùn)練(4種類(lèi)型40道)

目錄

【題型1求半徑】...............................................................................1

【題型2求線(xiàn)段長(zhǎng)】...........................................................................18

【題型3求證是切線(xiàn)】.........................................................................35

【題型4角的數(shù)量關(guān)系】.......................................................................53

【題型1求半徑】

1.已知：如圖，2B是。。的直徑，C,。是。。上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)交ZM的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)￡,DELCE,連

⑵若tanN2DC=，8C=8,求O。的半徑.

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)2而

【分析】(1)連接。C,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，已知條件可得QE||0C,進(jìn)而根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得

^DAB=^AOC,根據(jù)圓周角定理可得乙4OC=2乙48C,等量代換即可得證；

(2)連接4C,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得ND=NB,進(jìn)而根據(jù)正切值以及已知條件可得AC的長(zhǎng)，勾

股定理即可求得48,進(jìn)而即可求得圓的半徑.

?■OCLCE,

DE1CE,

???OC||DE,

??Z-DAB=Z.AOC,

???AC=AC,

AZ-AOC=2/-ABC,

???Z-DAB=2/-ABC.

（2）解：連接AC,如圖所示:

4B是。。的直徑,

vAC=AC,

???Z-ADC=Z-ABC,

tan乙4DC=

tanZJlBC=—N=DCz

???BC=8,

.?.AC=4,

：-AB=4V5，

■■OO的半徑為2^.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，正切的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理，理解題

意添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，P是。。外一點(diǎn)，PA,PB分別切O。于點(diǎn)4B,P。與O。交于點(diǎn)H,AH=0H.

⑴求證：△力BP是等邊三角形；

⑵過(guò)點(diǎn)力作P0的平行線(xiàn)，與。。的另一個(gè)交點(diǎn)為C,連接CP.若4B=6,求O。的半徑和tan/CPB的值.

【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)詳解

（2）O。的半徑為2百，tanzCPS=竽

【分析】（1）連接。4。8,根據(jù)4"=。4=?！笨傻靡?。//=60。，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)長(zhǎng)定理即可求得

NAP。=30。，由此即可求解；

（2）作ACIIP。，根據(jù)等邊三角形的判和性質(zhì)可得BC是直徑，可得aBCP是直角三角形，根據(jù)垂徑定理，

含30。角的直角三角形的性質(zhì)可得半徑，根據(jù)解直角三角形的方法即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖所示，連接。4OB,

■■■PA,PB是。。的切線(xiàn)，

：.PA1OA,PB1OB,PA^PB,

.?ZO4P=NOBP=90°,

■■OA=OH,AH=OA,

.-.OA^AH^OH,即△AOH是等邊三角形，

：ZAOH=60°,

在RtZkAOP中，Z.APO=90°-60°=30°,

.-.^BPO=^APO=30°,則UPB=60°,且P4=PB,

??.△4BP是等邊三角形；

（2）解：如圖所示，延長(zhǎng)P。交。。于點(diǎn)尸，連接B。并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連接

由（1）可知，

-AC||PO,

.-.ABAC=90°,且NBA。=30°,

.-.^OAC=60°,且。力=OC,

.?.△aoc是等邊三角形，

.2。。=60°,

MBOP+ZPOX+AAOC=180°,且NBOP=zPOX=60°,

二點(diǎn)B,0,C三點(diǎn)共線(xiàn)，即點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，

??.BC是。。的直徑，

??.△BCP是直角三角形，

是等邊三角形，AB=6,乙4。。=60。，

.-.PB=PA=6,

：./.OBP=90°,NABP=60°,

△40。中，0D148,

：.AD=DB=\AB=3,sinN力。。=sin60°=縱="，

2402

An3

.??力。=磊=亙=2百，即。。的半徑為2百，

2

：.BC=20A=4百，

在RtZkBCP中，PB=6,BC=4V3,

.-.tanzCPF=尊=迪=迪，

BP63

綜上所述，。。的半徑為2百，tan/CPB=等.

【點(diǎn)睛】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握?qǐng)A的切線(xiàn)的性質(zhì)，切線(xiàn)長(zhǎng)定理，等腰三角形的判定和性質(zhì),

垂徑定理，含30。角的直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形的計(jì)算方法等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

3.如圖，48是O。的一條弦，￡是力B的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作。。的切線(xiàn)交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)。.

⑴求證：DB=DE；

(2)若4B=12,5￡>=5,求。。的半徑.

【答案】⑴見(jiàn)解析

（2洋

【分析】（1）由切線(xiàn)，可知4。3。=90。，即4。84+NE80=90。，由。2=。2,可得4。48=4。84由三

角形內(nèi)角和、對(duì)頂角相等可得NEBD=NBED,進(jìn)而結(jié)論得證；

（2）如圖，連接。凡作DF12B于F,則。E_L4B,4E=EB=6,EF=：BE=3,由勾股定理得，DF=4,

證明4OE=NBED,則sin“OE=^=sinNDEF=第，即焉=:計(jì)算求解，然后作答即可.

U/1UtLU/i□

【詳解】（1）證明：??,BD是。。的切線(xiàn)，

.'.^OBD=90°,^Z.OBA+/.EBD=90°,

'：OA=OB,

-\Z-OAB=Z-OBA,

-AOAB+/.CEA=180°-^ACE=90°,Z.CEA=乙BED,

；/EBD=乙BED,

；.DB=DE；

：.OE1AB,AE=EB=6,EF=1BE=3,

由勾股定理得，DF={DE2-EF2=4,

■：/-AOE+/.OAE=90°,/.CEA+A.OAE=90°,/.CEA=/.BED,

：.Z-AOE=乙BED,

.?.sinN40E=S=sinN0EF=需'即2='

解得，04=多

.■.O。的半徑為5

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正弦等知

識(shí).熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正弦是解題的關(guān)鍵.

4.己知：如圖，是。。的直徑，點(diǎn)C、。在O。上，過(guò)點(diǎn)。作DE1BC交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,且DE為。。

的切線(xiàn).

⑴若C為麗的中點(diǎn)，求證：BC=OB；

4

(2)若CE=2,sinB=于求。。的半徑.

【答案】①見(jiàn)解析

(2)5

【分析】(1)根據(jù)圓周角定理，切線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行解答即可;

(2)根據(jù)垂徑定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)列方程求解即可.

【詳解】(1)證明：,點(diǎn)C是麗的中點(diǎn)，即而=沅，

:.Z.BOC=(COD,

又???0E為。。的切線(xiàn)，點(diǎn)。是切點(diǎn)，。。是半徑，

ODIDE,

??,BE1DE,

OD\\BEf

Z.COD=Z.OCBf

???OB=OC,

.e.Z-OBC=Z-OCBf

???Z.BOC=Z.OCB=zJJBC,

??.BC=OB；

(2)解：如圖，連接AC交。。于點(diǎn)M,

E

???乙4cB=90°,

ACIBC,

由(1)可知，DEIBC,

??.DE\\AC,

又???ODWBC,

???四邊形CEDM是平行四邊形，

vZ-DEB=90°,

???四邊形CEOM是矩形，

??.DM=CE=2f

???OMLAC,

??.AM=MC,

OA=OB,

??.OM=；BC,

設(shè)半徑為％,貝I」0M=K-2,BC=2OM=2x-4f

4

在直角△ZCB,sinB=",AB=2%,

48

???AC=2%x-=-x,

由勾股定理得，

AB2=AC2+BC2,

BP(2X)2=(-X)+(2X—4)2,

4

解得x=5或x=g(舍去)，

即。。的半徑為5.

【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理、垂徑定理、勾股定理以及平行線(xiàn)的性質(zhì)和判斷是正確解答的

關(guān)鍵.

5.如圖，DE是。。的直徑，C4為。。的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C,交。E的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)力,點(diǎn)尸是。。上的一點(diǎn),

且點(diǎn)C是弧EF的中點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)交4C的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)2.

⑴求證：^ABD=90°；

⑵若BD=3,tan^DAB=-,求的半徑.

【答案】⑴見(jiàn)解析

喈

【分析】（1）連接。C,利用切線(xiàn)性質(zhì)得到N4C0=90。，再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等和等腰三角形的性質(zhì)

得到NOCD=乙CDF,進(jìn)而證明。CIIBD即可證得結(jié)論；

（2）先根據(jù)（1）中結(jié)論，結(jié)合已知求得4B=4,進(jìn)而利用勾股定理求得4D=NAB2+即＞=5,證明

△4”“△4。8得至哈^=黑，設(shè)。。的半徑為r,由歸求解即可,

【詳解】（1）證明：連接。C,

?.￡4為。。的切線(xiàn)，切點(diǎn)為C,

.-.^ACO=90°,

???點(diǎn)C是弧EF的中點(diǎn)，

.-.EC=FC,

:.乙EDC=4CDF,即NOOC=NW,

■：OD=OC,

：.Z.ODC=Z.OCD,

：.Z.OCD=Z.CDF,

：.OC\\BD,

：.Z.ABD=^ACO=90°；

(2)解：-：BD=3,/.ABD=90°,tan/￡MB=：,

4

：.AB=4,

在RtZ\/80中，由勾股定理得=北笆了訴=5,

-OCWBD,

,'.AAOC-AADB,

AO_OC

'而一訪(fǎng)'

設(shè)。。的半徑為r,則?=!

解得r=[,即0。的半徑為

OO

【點(diǎn)睛】本題考查切線(xiàn)性質(zhì)、等弧與圓周角的關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)、解直角三

角形、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

6.如圖，4B是。。的直徑，弦EF14B于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)尸作。。的切線(xiàn)交2B的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D,zX=30°.

(1)求ND的大??；

⑵取BE的中點(diǎn)M,連接MF,請(qǐng)補(bǔ)全圖形；若MF=g,求。。的半徑.

【答案】⑴30。

⑵圖形見(jiàn)解析，2加

【分析】(1)連接。尸，先求出乙4BE=60。，從而得出ZBEC=3O。，再根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的

一半得出〃。尸=24BEC=60°,最后根據(jù)切線(xiàn)的定義即可求解；

(2)連接。E,?！?，證明aEOB為等邊三角形，將。”的長(zhǎng)度用半徑表示出來(lái)，再證明

Z-MOF=乙DOF+乙BOM=90°,根據(jù)勾股定理列出方程求解即可.

【詳解】（1）解：連接。F,

MB是。。的直徑，

.-.Z.AEB=90°,

???44=30°,

???乙48月=90。-30。=60。,

-EF1AB,

.-.ZBEC=9O°-6O°=3O°,

???乙DOF=2乙BEC=60。,

??,DF為。。的切線(xiàn)，

.-.OF1DF,

.-.Z-D=90。一40。9=90°-60°=30°.

(2)如圖，連接。E,OM,

?；OE=OB,乙4BE=60。，

??.△EOB為等邊三角形，

???點(diǎn)M為BE中點(diǎn)，

."OM=30。，OM1BE,

"M0F=乙DOF+乙BOM=60°+30°=90°,

設(shè)O。半徑為尸，

在RtZkOBM中，OM=sin600OB=爭(zhēng)，

???MF=V14,OF=r,

.?.內(nèi)△0MF中，根據(jù)勾股定理可得：OM2+OF2=MF2,

即俘r)+r2=(V14)2,解得：「=2五，

.??O。半徑為2五.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A周角定理，圓的切線(xiàn)的定義，直角三角形兩

個(gè)內(nèi)角互余，勾股定理等相關(guān)知識(shí).

7.如圖，48是。。的直徑，弦CD14B,垂足為X,E為前上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)￡作。。的切線(xiàn)，分別交DC/B

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)RG連接交CD于點(diǎn)、P.

⑴求證：EF=FP；

（2）連接40,若力D||FG,CD=8,cosF=，求。。半徑.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2年

【分析】（1）連接OE,要使EF=FP,需要乙FEP3PE,通過(guò)切線(xiàn)和垂直的已知條件，利用等角的余角相

等可得AFEP3PE,結(jié)論可得.

（2）設(shè)圓的半徑為r,在RtAODH中,利用勾股定理可以求得半徑八

【詳解】（1）證明：連接OE,

A

??石尸是圓的切線(xiàn)，

-'-OE1EF.

.-.ZOEF=90°.

??Z-OEA+Z-AEF=90°.

,：CDL4B,

??.ZJT/C=90。.

：/OAE+UPH=90°,

，：OA=OE,

???乙OAE=COEA.

；EF=4PH.

?：APH"EPF,

?，-Z.EPF=Z.AEF.

：.EF=PF.

(2)連接OD,設(shè)圓的半徑為小

???直徑49LCD于肛CD=8,

:,CH=DH=4.

-ADWFG,

；&DH;小

4

-'-cosZ-ADH=cosF=-

CH

???AD=---———=5

cosZ-ADH

??.AH=JAD2-DH2=3

：.OH=OA-AH=r-3.

在RtAODH中，???OH2+DH2=OD2,

（r-3）2+42=3

25

,,,OE—r——

6

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，圓周角定理和解直角三角形的知識(shí).使

用添加圓中常添加的輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，A4BC中，NC=90。，點(diǎn)￡在N8上，以3E為直徑的。。與NC相切于點(diǎn)。，與3C相交于點(diǎn)R

連接AD,DE.

⑴求證：乙4DE—DBE；

（2）右sin4=m，BC=6,求。。的半徑.

【答案】⑴見(jiàn)解析

【分析】（1）連接。D,如圖，根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到4。。4=90。，根據(jù)圓周角定理得到4引力=90。，然后

利用等角的余角相等得到結(jié)論；

（2）設(shè)。。的半徑為r,利用正弦的定義求出2B=10,再證明klDOsAacB,利J用相似比得到*=2

然后解方程即可.

【詳解】（1）證明：連接0。，如圖,

???江為切線(xiàn),

???ODLAD,

???4。。4=90。，

???BE為直徑,

??.NBOE=90。，

vZ.DBE+/L.BED=90°,4ZOE+4。DE=90。，

,：OD=OE

??/ODE=Z.OED,

???Z.ADE=乙DBE；

（2）解：設(shè)。。的半徑為r,

Rro

在中，sinZ=^=￡

??.48=|80="6=10,

vODLAD,BCLAC,

0D//BC,

???乙ADO=乙ACB,乙AOD=Z.ABC,

???AADO?NACB,

AOOD□[-.10—Y丁

布=而，即干=『

解得r=M

即。。的半徑為5

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，三角形相似、銳角三角函數(shù)、圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的切線(xiàn)

垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑.

9.如圖，在RtaABC中，ZC=9O°,4E是△ABC的角平分線(xiàn).HE的垂直平分線(xiàn)交48于點(diǎn)O,以點(diǎn)。為圓

心，CM為半徑作O0,交48于點(diǎn)F.

⑴求證：2c是。。的切線(xiàn);

⑵若4C=5,tanB=力求。。的半徑r的值.

【答案】（1）證明見(jiàn)詳解

【分析】（1）連接利用等腰三角形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義只要證得。磯力C即可；

（2）利用銳角三角函數(shù)和勾股定理先求得3C與42的值，只要證得△BOEs^BAC利用相似三角形的性

質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）連接

?ME的垂直平分線(xiàn)交48于點(diǎn)O,

：.OA=OE,

.,.zl=z2

?ME平分NB4C,

.,.zl=z.3,

.?.z2=z3,

.-.OEWAC.

vZC=90°,

???乙OEB=￡C=90。,

??.BC是。。的切線(xiàn).

（2）???RtA43c中,AC=5ftanB=^,

AC5

???taDnB=詼=五

??.BC=12,48=VieT正=13,

設(shè)。E=r,貝?。?。8=48—。4=13—丁，

-OEWAC,

???△BOE?△B4C,

OB_0E

：'~AB一~AC"

13-rr

即nn▽=1

解得丁=需

lo

.??。。的半徑『的值為黑

lo

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌

握切線(xiàn)的判定方法是解題的關(guān)鍵.

10.己知：如圖，AB是。。的直徑，C,。是。。上兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的切線(xiàn)交。4的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,DE1CE,

連接CD,BC.

D

E

(1)求證：Z.DAB=2AABC；

1

(2)若tanN4DC=}BC=4,求O。的半徑.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）V5

【分析】（1）連接0C,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，已知條件可得DE〃OC,進(jìn)而根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得

Z.DAB=/LAOC,根據(jù)圓周角定理可得乙4OC=2乙4BC,等量代換即可得證；

（2）連接4C,根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可得乙0=/&進(jìn)而根據(jù)正切值以及已知條件可得ZC的長(zhǎng)，勾

股定理即可求得進(jìn)而即可求得圓的半徑.

【詳解】（1）連接。C,如圖，

EC是。。的切線(xiàn),

A0C1CE,

DE1CE,

??.OC//DE,

???Z.DAB=Z-AOC,

AC—AC,

???Z-AOC=2(ABC,

/,DAB=2Z.ABC.

(2)連接/C

vZB是。。的直徑,

Z.ACB=90°,

■：AC=AC,

Z.ADC=Z.ABC,

1

vtanZy4DC=

m1AC

tan乙48C=-=

乙D

???BC=4,

???AC—2,

AB=VXC2+BC2=V22+42=2近,

???AO=^AB=V5.

即。。的半徑為心.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，正切的定義，同弧所對(duì)的圓周角相等，勾股定理，理解題

意添加輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.

【題型2求線(xiàn)段長(zhǎng)】

11.如圖，4ff是。。的直徑，過(guò)8作。。的切線(xiàn)，與弦的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)C,AD=DC,￡是直徑48上

一點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)與直線(xiàn)2c交于點(diǎn)尸，連接力足

(1)求證：而=麗；

(2)若tanNBAF=］。。的半徑長(zhǎng)為6,求斯的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

⑵m

【分析】(1)連接BD,根據(jù)圓周角定理、切線(xiàn)性質(zhì)以及題中力D=DC可得

^BAD=/.ABD=/.CBD=ZC=45°,從而得出結(jié)論；

(2)連接。D,由(1)知D014B,得出ADOE?AFBE,得出黑=霧，在RtAABF中，tan^BAF=^,QO

Drbe4

的半徑長(zhǎng)為6,解得BF=3,從而9=黑，設(shè)BE=x,0E=2x,貝/E+0E=0B=6,解得久=2,即

3DC,

BE=2,在RtAEBF中，利用勾股定理得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：連接BD,如圖所示：

c

???45是。。的直徑，

AAABD=90°,即BOIAC,

???過(guò)5作。。的切線(xiàn)，

-AD=DCf

???乙BAD=乙ABD=Z.CBD=4。=45°,

BD=AD,

AD=BD；

(2)解：連接0D,如圖所示：

在等腰RtAABO中，乙408=90。，

???Z.DE0=乙BEF,乙D0E=乙FBE=90°,

AD0E?XFBE,

tDO_0E

BFBE'

11DCC

在RtAZBF中，tan^BAF=。。的半徑長(zhǎng)為6,則tan/BAF==京=彳，解得BF=3,

447iD1

|=,設(shè)BE=x,0E=2x,則BE+OE=x+2x=OB=6,解得x=2,

在RtAEBF中，4EBF=9Q°,BE=2,BF=3,則利用勾股定理得EF=□:薩=揚(yáng)工3i=后.

【點(diǎn)睛】本題考查圓綜合，涉及到圓周角定理、直角三角形的性質(zhì)、切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性

質(zhì)、正切函數(shù)求線(xiàn)段長(zhǎng)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題意準(zhǔn)確作出輔助線(xiàn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

12.如圖，以4B為直徑作。。，點(diǎn)C在。。上，連接AC,BC,過(guò)點(diǎn)C作CD14B于點(diǎn)E,交。。于點(diǎn)。,

點(diǎn)廠(chǎng)是BD上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作。。的切線(xiàn)交4B的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,若BCIIOF.

⑴求證：乙4=乙G；

（2）若黑=￡。。的半徑為8,求FG的長(zhǎng).

/1CD

【答案】①證明見(jiàn)解析

（2）6

【分析】（1）根據(jù)半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，可得入4cB=90。，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得

立力=90。—NCB4根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)可得N0FG=90。，根據(jù)三角形內(nèi)角和可得“=90?！狽G0F,根據(jù)平行線(xiàn)

的性質(zhì)可得NCB4=/0GF,即可證明41=/G；

（2）根據(jù)垂徑定理可得CE=DE,根據(jù)正切的定義可得tan/CAE=[,由（1）得乙4=NG,故tanz.G=M=

jru

P即可求得.

【詳解】（1）證明：以⑶為直徑作。。，點(diǎn)C在。。上

：.Z.ACB=90°

.??44=90。-4cBz

-OF1FG

.?"FG=90°

.?.4G=900-Z-GOF

-BCWOF

.,.Z.CBA=Z-OGF

：.Z-A=Z-G

(2)-CD1AB

：.CE=DE

rp

‘tan“心病DE4

AE3

又??271=乙G

OF4

.,.tanZ.CAE=tan/G=—=-

FG3

：.FG=1x8=6

【點(diǎn)睛】本題考查了半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，三角形內(nèi)角和，切線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì),

垂徑定理，正切的定義等，熟練掌握以上性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，在山△ABC中，乙4BC=90。，以直角邊AB為直徑的。。交AC于點(diǎn)。，在AC上截取/E=48,連

接3E交O。于點(diǎn)乩

⑴求證：zESC=

1

⑵若。。的半徑長(zhǎng)r=5,tanzCFE=求CE的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）CE=y.

【分析】（1）連接4F，由圓周角定理及直角三角形的性質(zhì)可得NB4F+乙4BF=90。，乙4BF+Z_E8C=90。,

進(jìn)而可得NB4F=乙EBC,再利用等腰三角形的性質(zhì)可證明結(jié)論；

（2）過(guò)￡點(diǎn)作EG_LBC于點(diǎn)G,證明列比例式，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義可求得EG=4,

BG=8,AABCFEGC,列比例式可求解CG的長(zhǎng)，再利用勾股定理可求解.

【詳解】（1）證明：連接4F,

A

MB為。。的直徑，

???乙4萬(wàn)8=90°,

：.Z-BAF+匕ABF=90°,

???乙4BC=90。，

：.Z.ABF+Z.EBC=^°,

：.Z.BAF=Z-EBC,

-AB=AE,Z.AFB=^°,

.-.Z.BAF=^BAC,

-.^EBC=^BAC；

(2)解：過(guò)E點(diǎn)作EG，8c于點(diǎn)G,

.-.AAFB=ABGE=90°,

,:乙BAF=乙EBG,

???△BAF?AEBG,

AB_BF_AF

'''BE~~EG~~BG9

vtanzBy4F=tanzCBE=

：,AF=2BF,

?MB=204=10,

：.BF=2V5,AF—4V5?

,：AF1BE,AB=AE,

：,BE=2BF=4后

._2V5_4V5

Z亦一而一智

解得EG=4,BG=8,

???乙ABC=^EGC=9。。,ZC=ZC,

.?.△ABCFEGC,

EG_CG

ABBC

.4_CG

??邁―8+CG，

解得CG4,

；.CE=7CG2+EG2=J(y)2+42=y.

【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，圓周角

定理等知識(shí)的綜合運(yùn)用，掌握相關(guān)的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，P為。。外一點(diǎn)，PA,PB是。。的切線(xiàn)，A,B為切點(diǎn)、,點(diǎn)C在。。上，連接040C,AC,

BC,延長(zhǎng)。C交BP于點(diǎn)。.

⑴求證：2NC8D+N0DB=90。；

⑵連接0B,若4CII08,。。的半徑為3,CD=2,求AP的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

(2)6

【分析】(1)連接B0,延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)E,連接CE,先根據(jù)圓周角定理可得ABCE=90。，4B0C=2乙BEC,

再根據(jù)圓的切線(xiàn)的性質(zhì)可得NOBP=90°,從而可得NBOC=2乙CBD,然后根據(jù)NBOC+乙ODB=90。即可得

證；

(2)連接0B,延長(zhǎng)AC交PB于點(diǎn)M,先利用勾股定理可得BD=4,再證出△DCM?△DOB,根據(jù)相似三角

形的性質(zhì)可得DM=:然后根據(jù)切線(xiàn)長(zhǎng)定理可得4P=8P,設(shè)4P=BP=x,則PM=x-募，最后證出

△P4M?△ODB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得.

【詳解】（1）證明：如圖，連接B。，延長(zhǎng)交O。于點(diǎn)E,連接CE,

由圓周角定理得：NBCE=90。，乙BOC=2乙BEC,

NCBE+NBEC=90。，

???PB是。。的切線(xiàn)，

.-.Z.OBP=90°,即“8E+NCBD=90。，

/.Z.BEC=乙CBD,

???乙BOC=2乙CBD,

又vABOC+Z.ODB=180°-zOFP=90°,

???24。8。+乙。。8=90。.

(2)解：如圖，連接。B,延長(zhǎng)/C交尸B于點(diǎn)M,

???。。的半徑為3,CO=2,

???OB=OC=3,OD=5,

???NO8P=90。，

???BD=y/oD2-OB2=4,

-AC||OB,

:.ADCM?ADOB,^AMP=^OBP=90°,

DMCD口DM2

:前=昉，即n丁=二，

解得=￡

■■PA,PB是。。的切線(xiàn)，

NOaC+NP4M=90°,PA=PB,

12

設(shè)/P=BP=x,則PM=BP-BM=BP_(BD—DM)=%-彳，

???OA=OC,

???Z-OAC=Z.OCA=乙DCM,

???4DCM+/OOB=90。,

Z.PAM=乙ODB,

在和aODB中，L湍絲曲灣90。，

；APAM?AODB,

APPMnnx%_王

—=——,即1二=Z_5,,

ODOB53

解得％=6,

所以AP的長(zhǎng)為6.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、切線(xiàn)長(zhǎng)定理、圓的切線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，較

難的是題(2),通過(guò)作輔助線(xiàn)，構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵.

15.如圖，。4是O。的半徑，48與。。相切于點(diǎn)/，點(diǎn)C在。。上且2C=4B,。為AC的中點(diǎn)，連接。

連接CB交OD于點(diǎn)E,交04于點(diǎn)足

⑴求證：OE=OF；

(2)若。E=3,sinzXOD=求BF的長(zhǎng).

【答案】①見(jiàn)解析

(2)2710

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)及切線(xiàn)的性質(zhì)得出NCED=N4FB,得出NOEF=4OFE,則可得出結(jié)論;

(2)設(shè)4。=3久，OA=5x,則。。=4x,求出％=1,由銳角三角函數(shù)的定義可得出答案.

【詳解】（1）證明：???0C=04。為AC的中點(diǎn),

：.0D1AC,

.?ZDCE+/DEC=9O。，

??48與。相切于點(diǎn)4,

：.0ALAB,

??ZOAB=90°,

：.Z-FAB+Z-B=90°,

-AC=AB,

：.Z-ACB=(B,

：.Z-CED=乙AFB,

,.ZCED=乙OEF,^AFB=(OFE,

.,.Z.OEF=Z-OFE,

；.OE=OF；

(2)解：-sinZ-AOD=-

AD3

:'~OA~5

設(shè)AD=3%,OA=5%,

：.OD=4%,

'：OE=OF=3,

:.DE=4x—3,AF—5x—3,

.,.AC=2AD=6x,

.,.AB=6x,

'：Z-ACB=乙B,

.,.tanZ.ACB=tan/8,

DF_AF4x-3_5x-3

"CD-'ABf3x―6x

解得久=1

■-AF=2,AB=6,

■■BF=Y/AF2+AB2=2V10

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn).熟練掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵.

16.如圖，4B為。。的直徑，弦CD14B,過(guò)點(diǎn)/作。。的切線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)￡.

⑴求證：乙BAD=LE；

⑵若。。的半徑為5,AD=6,求CE的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)詳解

【分析】本題考查了圓的切線(xiàn)的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握知識(shí)

點(diǎn)是解題的.

(1)先證明4EIICD,貝=由麗=麗，得至!=繼而求證；

(2)連接2C,48為。。的直徑，CDLAB,^]AC=AD=6,^ACB=^ACE=90°,^BC=AB2-AC2

=8,再證明△EaCs/kABC即可.

【詳解】(1)證明：??/￡是。。的切線(xiàn)，48為。。的直徑，

E

“EAB=90°,

,:CD1AB,

/.Zl=^EAB=90°,

：.AE||CD,

:/BCD=Z-E,

---BD=BD,

：.Z-BAD=乙BCD,

：.Z-BAD=Z-E.

（2）解：如圖，連接4C,

MB為。。的直徑，CDLAB,

：.AC=AD=6f^ACB=/.ACE=90°,

???半徑為5

=10,

:?BC=y]AB2-AC2=8,

-Z.ACE=Z.EAB=90°,

?"+Z.EAC=Z.EAC+Z.CAB=90°,

.?*ZE=乙CAB,

在Rt△E"和Rt△ZCB中，

^ACE=^BCA=90°f4E=^CAB,

??.△E4C?△48。,

EC_AC

：,~AC-~BCf

AC2369

---EC=^=T=2-

17.如圖，AB為O。的直徑，過(guò)點(diǎn)N作O。的切線(xiàn)AM,C是半圓AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)/、8重合），連結(jié)

AC,過(guò)點(diǎn)C作CDLAB于點(diǎn)E,連接BD并延長(zhǎng)交4M于點(diǎn)尸.

⑴求證：^CAB=^AFB；

(2)若。。的半徑為5,AC=8,求OF的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

32

(2)￡?F=y

【分析】本題考查切線(xiàn)的判定和性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理，掌握切線(xiàn)的性質(zhì)和判斷方法,

垂徑定理，圓周角定理以及勾股定理是正確解答的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)以及圓周角定理即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及垂徑定理進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】(I)證明：:aM是。。的切線(xiàn)，

???Z-BAM=90°,

???于點(diǎn)&

???Z-CEA=90°,

???CDWAF,

???Z.CDB=Z-AFB,

Z-CDB=Z.CAB,

???Z.CAB=Z.AFB.

(2)解：連結(jié)4解

CE=DE,

???是CD的垂直平分線(xiàn),

AC=AD=8,

???O。的半徑為5,

???AB—10,

BD=6,

???48是。。的直徑，

Z.BDA=90°,

Z.BAD=Z.AFB,

???tanZ.BAD=tanZ.AFB,

AD_BD

??赤一布’

AD2=DF-BD,

32

???nDz?F)

18.如圖，AB為O。的直徑，弦CD148于點(diǎn)H,O。的切線(xiàn)CE與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E,AF||CE,”與。。

(2)若。。的半徑為6,AH=20H,求4E的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析；

(2)4E的長(zhǎng)為12.

【分析】此題考查圓周角定理、切線(xiàn)的性質(zhì)定理、垂徑定理、銳角三角函數(shù)，正確地作出輔助線(xiàn)是解題的

關(guān)鍵.

(1)連接力c、oc、BC,由切線(xiàn)的性質(zhì)證明CE1OC,而4B為。。的直徑，所以NOCE=N力CB=90。，由

AF\\CE,^Z-CAF=Z.ACE=Z.B,貝!]CF=4C,由垂徑定理得4D=4C,則CF=A￡),可證明4F=CD,所以

AF=CD；

由。的半徑為AH=20H,得到。。=。。"+。//=求得因?yàn)槎?"=

(2)O6,4=26,0H=2,C/CUbcos

乙COE,所以。石=身=9=18,進(jìn)而即可求解.

(JnZ

【詳解】(1)解：連接AC、OC、BC,則。。=。4

c

??￡E與。。相切于點(diǎn)C,

.,.CE10C,

MB為。。的直徑，

.?ZOCE=〃CB=90。，

.-.Zi4CE+zOCi4=90°,4B=90。，

,：A.0CA=/-OAC,

.,.Z-ACE=乙B,

-AFWCE,

：.Z-CAF=Z-ACE=Z-B,

.-.CF=AC,

'-'CD1AB,

.\AD=AC,

.-.CF=AD,

.-.AF=CF+AC=AD+AC=CD,

：.AF=CD.

(2)解：:。。的半徑為6,AH=2OH,

,-.OC=OA=2OH+OH=6,

.?.OH=2,

?.2OHC=NOCE=90°,

OHOC“八口

-=-=cos^COE,

初=富等=18,

：.AE=OE-OA=18-6=12,

ME的長(zhǎng)為12.

19.如圖，AB是。。的直徑，點(diǎn)C在。。上，。是BC的中點(diǎn)，4D的延長(zhǎng)線(xiàn)與過(guò)點(diǎn)B的切線(xiàn)交于點(diǎn)E,AD^BC

的交點(diǎn)為F.

E

⑴求證：BE=BF；

⑵若。。的半徑是2,BE=3,求4F的長(zhǎng).

【答案】⑴證明見(jiàn)解析

屣

【分析】(1)根據(jù)在同圓中等弧所對(duì)的圓周角相等得出=根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得

NC=90。，根據(jù)直角三角形中兩個(gè)銳角互余可得NC4D+N4FC=90。，根據(jù)對(duì)頂角相等可得

〃MD+NEFB=90。，根據(jù)圓的切線(xiàn)垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑可得418E=90。，根據(jù)直角三角形中兩個(gè)銳角

互余可得NE+NBA。=90。，根據(jù)等角的余角相等可得=根據(jù)等角對(duì)等邊即可證明；

(2)連接BD,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得=90。，根據(jù)直角三角形中兩個(gè)銳角互余可得

^EAB+^ABD=90°,根據(jù)等角的余角相等可得此力8=4精。，根據(jù)題意可得48=4,根據(jù)直角三角形中

兩直角邊的平方和等于斜邊的平方求得4E=5,根據(jù)銳角三角形函數(shù)的定義可求得根據(jù)等腰三角

形底邊上的高與底邊上的中點(diǎn)重合可得EF=即可求解.

【詳解】(1)證明：是沅的中點(diǎn)，

：.BD=CD,

：.Z-BAD=Z.CAD,

MB是。。的直徑，

.-.ZC=9O°,

.?ZC40+〃1FC=90。，

-：Z-AFC=(EFB,

??zCZO+乙EFB=90°,

???BE與。。相切于點(diǎn)

."BE=90。,

.?ZE+4840=90。，

.,.zE=乙EFB,

：.BE=BF.

(2)解：連接80,如圖:

MB是。。的直徑，

???乙41汨=90。，

.\Z-EAB+Z.ABD=90°,

-/.ABE=乙EBD+Z.ABD=90°,

：.Z-EAB=乙EBD,

???。。的半徑是2,

：,AB=4,

-BE=3,

在中，AE=^AB2+BE2=742+32=5,

DFBF3

.,.sinzEBZ)=sinZ-EAB=—BE=—AE=75，

39

:.ED=BE?sinZ-EBD=3x-=-,

，:BE=BF,BD1EF,

918

；.EF=2DE=2X-=-,

-1o7

：.AF=AE-EF=S--=-.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，直角三角形的性質(zhì)，切線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角

三角形函數(shù)的定義，等角的余角相等等，熟練掌握?qǐng)A周角定理、等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)

鍵.

20.如圖，過(guò)。。外一點(diǎn)P作。。的兩條切線(xiàn)P4PB,切點(diǎn)分別為，，B,4C是。。的直徑，連接CB并

⑵延長(zhǎng)8P交C4的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)￡.若O。的半徑為VLsinE=:求BC的長(zhǎng).

【答案】⑴見(jiàn)解析

(2)竽

【分析】(1)連接08,利用切線(xiàn)的性質(zhì)和切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到N04P=乙。8P=90。，PA=PB,利用等腰三角

形性質(zhì)和等量代換得到P。=PB,利用等量代換即可證明PO=PA；

(2)連接。8,AB,在RtaP/E中，利用sinE=g,得到設(shè)PZ=%,PE=3%.則PO=PB=P4=、,

AE=2V2X.在RSOBE中，利用sinE=器=覆立等式算出x的值，進(jìn)而得到4C,利用勾股定理得到CD,

Ur.o

證明△CBACAD,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出BC.

【詳解】(1)證明：連接。B,如圖1.

PB是。。的切線(xiàn)，。4OB是。。的半徑,

ZD+ZC=9O°,41+42=90。..

???OB=OC,

乙C=z2,

Z1=乙D,

PD=PB.

又PA=PB,

??.PD=PA.

(2)解：連接。AB,如圖2.

設(shè)PA=久，PE=3x.貝！JPO=PB=PA=%,AE=2五x.

在RtZiOBE中，sinE=^=]=±解得x=1.

0E3V2+2V2%3

AD=2,CD=JAC2+AD2=2V3.

??,/C是。。的直徑，

???Z,CBA=90°.

vLCBA=2LCAD=90°,,ZC=ZC,

???△CBACAD.

.BC_AC

,,就一

Ck2V2X2V24V3

DC=------——=.

2V33

【點(diǎn)睛】本題考查了切線(xiàn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理、相似三角形的判定

和性質(zhì)、解直角三角形、熟練掌握切線(xiàn)的性質(zhì)，能夠正確作出輔助線(xiàn)是解答問(wèn)題的關(guān)鍵.

【題型3求證是切線(xiàn)】

21.如圖，為。。的直徑，點(diǎn)C、點(diǎn)。為。。上異于/、2的兩點(diǎn)，連接CD,過(guò)點(diǎn)C作CE1DB,交

的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E,連接/C、AD.

c

D

(1)若乙4BD=2/BDC,求證：CE是O。的切線(xiàn).

⑵若O。的半徑為打，tanzBDC=求/C的長(zhǎng).

【答案】①見(jiàn)解析

(2)4

【分析】(1)連接OC,可證明OC〃DE,由于CELD2,4CED=90°,所以NOCE=90。，OC1CE,根據(jù)切線(xiàn)

的判定即可求出答案.

(2)連接BC,由于N8Z)C=NA4C,所以tanNB4C=tanzBDC=，設(shè)BC=x,AC=2x,所以48=倔，列出方

程即可求出x的值.

【詳解】(1)解：連接OC,

■■■OC=OA,

：.Z-OCA=/-OAC,

：./.COB=2AOAC,

.:4BDC=￡OAC,UBD=2乙BDC,

:/COB=UBD,

■■.OC//DE,

"CELDB,乙CED=90。,

.?20*90°,0cleE,

??.CE是。。的切線(xiàn).

(2)連接SC,

?&DC=4AC,

.■.tanZ.BAC-tanZ.BDC=1,

-.AB是OO的直徑，

."C/=90°,

BC1

"7c-2'

設(shè)BC=x,AC=2x,

■■.AB=V5x,

■■QO的半徑為代，

?'-x=2,

-'-AC=2x=4.

【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線(xiàn)的判定，銳角三角函數(shù)的定義、圓周角定理

以及勾股定理.

22.如圖，。。的半徑0C與弦28垂直于點(diǎn)D,連接BC,0B.

⑴求證：2/4BC+AOBA=90°；

(2)分別延長(zhǎng)B。、CO交。。于點(diǎn)￡、F,連接2F,交BE于G,過(guò)點(diǎn)4作力MlBC,交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)M.若G是

2F的中點(diǎn)，求證：AM是。。的切線(xiàn).

【答案】⑴見(jiàn)解析

⑵見(jiàn)解析

【分析】(1)連接。4可知/。64=90。，根據(jù)圓周角定理即可證明；

(2)連接。4根據(jù)垂徑定理的推論，可知。E1AF,可證NGFO=/OBD,根據(jù)同弧所對(duì)圓周角相等可知

NAFC=N2BC,再證=即可知40II8C,進(jìn)而可證明4M是。。的切線(xiàn).

c

【詳解】(1)

連接。4

-0C1AB

.?ZODA=90°

*：OB=OA

：.Z.OBA=/,OAB

-Z.AOC=2(ABC、/-AOC+Z-OAB=90°

：.2Z,ABC+/.OBA=90°

(2)

連接。4

,??點(diǎn)G是4F的中點(diǎn)，且位于OE上

??.OEJ.”于點(diǎn)G

.\Z-OGF=90°=乙ODB

-：Z-GOF=Z.DOB

-\Z-GFO=Z.OBD

,：Z-AFC=Z-ABC

：.Z.OBA=Z-CBA

,：OA—OB

:.Z-OAB=Z.OBA

.,zOAB=Z.CBA

：.A0||BC

-AM1BC

MMJ.04即4。4M=90。

MM是O。的切線(xiàn).

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論、等腰三角形的判定及性質(zhì)、平行線(xiàn)的判定、

切線(xiàn)的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵.

23.如圖，48是O。的直徑，點(diǎn)尸是O。外一點(diǎn)，0P148,點(diǎn)朋■在O。上，連接4M交。P于點(diǎn)N,使得

ZOPM=2ZBXM.

⑴求證：PM是。。的切線(xiàn)；

⑵若。。的半徑為求的長(zhǎng).

5,tanzOPM-pqMN

【答案】①見(jiàn)解析

【分析】（1）首先根據(jù)圓周角定理得到NB0M=2乙4,然后等量代換得到N0PM=NB0M,然后結(jié)合。

得至IjNOPM+NP0M=90。，即NPMO=90。，進(jìn)而證明即可；

（2）過(guò)點(diǎn)M作MC,48,首先得到tan/BOM=箓=（設(shè)MC=3x,OC=4x,根據(jù)勾股定理求出MC=3,

。。=4,然后求出AM=Jac?+MC2=3前,然后證明出△4V0s2\4MC,得到笠=崇，求出4N=

苧，進(jìn)而求解即可.

【詳解】（1）"BM=BM

：.Z-BOM=2/-A

?.2OPM=2^LBAM

：/OPM=乙BOM

???0P1AB

?"BOM+乙POM=90°

；ZOPM+4POM=90°

"PMO=90°

???點(diǎn)M在O。上，

??.PM是。。的切線(xiàn)；

(2)如圖所示，過(guò)點(diǎn)M作MC_L4B

.-.tanz^OM=笑=:

C/C4

???設(shè)MC=3x,OC=4x

???若。。的半徑為5,

：.OA=OM=5

t-OM2=OC2+MC2,.即鏟=(4x)2+(3%)2

解得％=1(負(fù)值舍去)

??.MC=3,OC=4

：.AC=4。+C。=9

MM=y)AC2+MC2=3V10

-OPLAB,MCLAB

-.NO||MC

:.XANOFAMC

ANAOAN5

??贏=就，nn即嬴，

解得47=苧

.-.MN=AM-AN=3屈-苧=穿.

【點(diǎn)睛】此題考查了切線(xiàn)的判定，圓周角定理，相似三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，解直角三角形等知

識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線(xiàn)構(gòu)造直角三角形.

24.如圖，在中，NC=90。，點(diǎn)。在邊力C上，且=過(guò)點(diǎn)4作4。18。交8。的延長(zhǎng)線(xiàn)

于點(diǎn)。，以點(diǎn)。為圓心，。。的長(zhǎng)為半徑作。。交8。于點(diǎn)E.

⑴求證：4B是。。的切線(xiàn).

(