備戰(zhàn)中考數(shù)學(xué)專題37軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)【知識(shí)點(diǎn)及十二大題型】

【知識(shí)點(diǎn)軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)】

L平移

（1）定義：把一個(gè)圖形沿著某一直線方向移動(dòng)，這種圖形的平行移動(dòng)，簡(jiǎn)稱為平移。

（2）平移的性質(zhì)：平移后的圖形與原圖形全等；對(duì)應(yīng)角相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連的線段平行（或在同一條直線上）

且相等。

（3）坐標(biāo)的平移：點(diǎn)（x,y）向右平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁+a,y）；

點(diǎn)（x,y）向左平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁-a,y）；

點(diǎn)（x,y）向上平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁,y+a）；

點(diǎn)（x,y）向下平移。個(gè)單位長(zhǎng)度后的坐標(biāo)變?yōu)椋▁,y-a）。

2.軸對(duì)稱

（1）軸對(duì)稱：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)

于這條直線成軸對(duì)稱。這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)。

（2）軸對(duì)稱圖形：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸

對(duì)稱圖形。這條直線叫做它的對(duì)稱軸。

（3）軸對(duì)稱的性質(zhì)：關(guān)于某條直線對(duì)稱的圖形是全等形。

經(jīng)過(guò)線段中點(diǎn)并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線。

如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。軸對(duì)稱圖形

的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。

（4）線段垂直平分線的性質(zhì)

線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在線段的垂直平分線上。

（5）坐標(biāo)與軸對(duì)稱：點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（x,-y）；

點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-x,y）；

3旋轉(zhuǎn)

⑴旋轉(zhuǎn)

定義：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫做圖形的旋轉(zhuǎn)。點(diǎn)。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)

動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P',那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；③

旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

(2)中心對(duì)稱

定義：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這

個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱。這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心。這兩個(gè)圖形在旋轉(zhuǎn)后能重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)

稱點(diǎn)。

中心對(duì)稱的性質(zhì)：①中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，而且被對(duì)稱中心所平分;

②中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形。

(3)中心對(duì)稱圖形

定義：如果一個(gè)圖形繞一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。后能與自身重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形。這個(gè)點(diǎn)叫

做它的對(duì)稱中心。

(4)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為F(-x,-y)o

【題型1軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形的識(shí)別】

【例1】(2023?廣東東莞?一模)如所示圖形中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是()

【答案】A

【分析】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可,

如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)

圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形,

這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心.掌握中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的判斷是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：A.原圖既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

B.原圖是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

C.原圖不是軸對(duì)稱圖形，是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.原圖不是中心對(duì)稱圖形，是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意.

故選：A.

【變式1-1](2023.安徽合肥?校考一模)如果一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)至少旋轉(zhuǎn)72度才能與它本身重合，則下

列說(shuō)法正確的是（）

A.這個(gè)圖形一定是中心對(duì)稱圖形.

B.這個(gè)圖形既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.

C.這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)216度后能與它本身重合.

D.這個(gè)圖形既不是中心對(duì)稱圖形，也不是軸對(duì)稱圖形.

【答案】C

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，至少旋轉(zhuǎn)72。，旋轉(zhuǎn)72度可以與原圖形重合，則圖形可以平分成5個(gè)全等的部分，

因而是軸對(duì)稱圖形，不可能是中心對(duì)稱圖形，據(jù)此即可求解.

【詳解】解：???旋轉(zhuǎn)72。可以與原圖形重合，則圖形可以平分成5個(gè)全等的部分，因而可能是軸對(duì)稱圖形，不

可能是中心對(duì)稱圖形，故A,B,D錯(cuò)誤.

由于216。+72。=3,這個(gè)圖形旋轉(zhuǎn)216。后能與它本身重合，故C選項(xiàng)正確.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，要明確，旋轉(zhuǎn)某一個(gè)角度后，圖形與原圖形重合，這樣的圖形稱為旋轉(zhuǎn)

對(duì)稱圖形.

【變式1-212023?福建泉州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如所示的四個(gè)交通標(biāo)志圖中，為旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的是（）

&區(qū)

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的定義對(duì)四個(gè)圖形進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：題中所示的四個(gè)交通標(biāo)志圖中，只有選項(xiàng)D旋轉(zhuǎn)120。與原圖形重合，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形的概念：把一個(gè)圖形繞著一個(gè)定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度后，與初始圖形重合，這種

圖形叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角.

【變式1-3]（2023?山東青島?統(tǒng)考三模）下列圖形中，既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】本題考查中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念；根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形的定義逐項(xiàng)分析即可.

【詳解】解：左起第一和第二兩個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形；

第三個(gè)圖形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；

第四個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形.

所以既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形的有1個(gè).

故選：A.

【題型2與坐標(biāo)系有關(guān)的對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)問(wèn)題】

【例2】（2023?江蘇無(wú)錫?統(tǒng)考二模）如圖，在ABDE中，A.BDE=90°,BD=4e，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4西,0）,

tanzBDO=將"DE旋轉(zhuǎn)到△ABC的位置，點(diǎn)C在8。上，則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)為（）

A.（2V5,yV5）B.（3V5,|V5）C.傳代,2灼D.傳低［迷）

【答案】D

【分析】設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)P,連接PD,過(guò)點(diǎn)P作PF1久軸于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)P作于H,并延長(zhǎng)交x軸于

G,如圖，根據(jù)題意得：的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P,再由點(diǎn)C在BD上，可得PH=DH=

2vL并求出PD的長(zhǎng)，解直角三角形求出DG的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出DF、PF的長(zhǎng)，再求出OF的長(zhǎng)即

可得到答案.

【詳解】解：設(shè)旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)尸，連接PD,過(guò)點(diǎn)尸作PFlx軸于點(diǎn)R過(guò)點(diǎn)尸作于X,并延長(zhǎng)交尤

軸于G,如圖，

根據(jù)題意得：48,8。的垂直平分線的交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心點(diǎn)P,

?.?點(diǎn)C在BD上,

.?.點(diǎn)P至必的距離相等，都是即PH=DH=2X4V^2V2,

：.PD=V2X2A/2=4,

??.DHG1

?tanZZ_B。。=—=-

DH3

山等

PG=隨，DG=yjGH2+DH2=—

33

設(shè)DF=%,貝!1GF=芋一%,

由勾股定理得「產(chǎn)=pG2一GF2=pD2一DF29

2

川-J）=42—x2,

解得x=?

.?加=第

：.PF=y/PD2-DF2=—

V￡）（4V5,0）,即0D=4小,

：,OF=OD-DF=^

點(diǎn)P的坐標(biāo)為傳代謂花）

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，解直角三角形，勾股定理等等，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定出

旋轉(zhuǎn)中心的位置是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023?廣東潮州?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，線段4B平移得到線段CD,點(diǎn)火-1,4）的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)C（l,2）,則點(diǎn)B（2,1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.（4,-1）B.（0,3）C.（4,1）D.（-4,1）

【答案】A

【分析】根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)確定出平移規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律解答即可.

【詳解】解：：點(diǎn)4（-1,4）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,2）,

平移規(guī)律為向右平移2個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位，

：.B（2,1）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（4,-1）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移

加，下移減.

【變式2-2］（2023?吉林長(zhǎng)春?二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知4（2,1）,現(xiàn)將A點(diǎn)繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到公,則&的坐標(biāo)是（）

A.（-1,2）B.（2,-1）C.（1,-2）D.（—2,1）

【答案】A

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行判斷作答即可.

【詳解】解：如圖，過(guò)力作力Blx軸于B,過(guò)冬作&&ly軸于當(dāng)，

,/將A點(diǎn)繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到4,

「

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，OBOB=2,A1B1=48=1,

.??4（-1,2）.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度的點(diǎn)的坐標(biāo).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活

運(yùn)用.

【變式2-3X2023?四川眉山?校考三模）平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)M（x,y）,已知滿足〃m+（5y-2）2=

0,則點(diǎn)M關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)N在第象限.

【答案】一

【分析】根據(jù)展E+(5y-2)2=0得到x=-J,y=j確定M的位置，后確定對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，解答即可.

45

【詳解】VV4x+3+(5y-2)2=0,

故點(diǎn)N在第一象限，

故答案為：一.

【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的非負(fù)性，關(guān)于y軸對(duì)稱縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變相反數(shù)，熟練掌握對(duì)稱點(diǎn)的確定是

解題的關(guān)鍵.

【題型3與幾何圖形有關(guān)的折疊問(wèn)題】

【例3】(2023?廣西南寧?校考二模)如圖，已知平行四邊形紙片4BCDQ1。＞48),將平行四邊形紙片沿過(guò)

點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)8落在邊4D上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E折痕為AE,點(diǎn)￡在邊BC上，連接BF,若AE=

4,8F=8,則四邊形力BEF的面積為()

A.64B.48C.32D.16

【答案】D

【分析】先證明四邊形力BEF為菱形，再根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?.?平行四邊形紙片4BCOQ4。＞4B),將平行四邊形紙片沿過(guò)點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)8落在邊4。

上，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為「折痕為4E,

：.AF||BE,AB=AF,BE=EF/BAE=MAE,

：.^FAE=/.BEA,

J.A.BAE=ABEA,

：.AB=BE,

：.AB=4F=BE=EF,

.?.四邊形力BEF為菱形,

四邊形2BEF的面積為-BF=|x8x4=16；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì).解題的關(guān)鍵是證明四邊形力BEF為

菱形.

【變式3-1］（2023?河南?統(tǒng)考中考模擬）將三角形紙片S4BC）按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊2C上,

記為點(diǎn)B',折痕為EF,已知4B=2C=3,BC=4.若以點(diǎn)B'、尸、。為頂點(diǎn)的三角形與△力BC相似，貝歷尸的

長(zhǎng)度是.

【答案】3或2

【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì).利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵.結(jié)合折疊的性

質(zhì)可設(shè)BF=B'F=x,則CF=4-分類討論:①當(dāng)N4BC=NB'FC時(shí)，此時(shí)△ABC八B'FC,得出叱=—,

ABBC

代入數(shù)據(jù)，即得出關(guān)于x的方程，解之即可；②當(dāng)乙="夕C時(shí)，此時(shí)AABCSAFB，C,同理求解即可.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可知BF=B'F,

設(shè)BF=B'F=x,則CF=BC-BF=4-x.

；4ACB=Z.B'CF,

二可分類討論：①當(dāng)乙4BC=HFC時(shí)，貝I］此時(shí)ZiMBCsAB，F(xiàn)C,

?B，F(xiàn)CFprtX4-x

??—fR|J——,

ABBC34

解得：無(wú)=￡,

.?.此時(shí)BF的長(zhǎng)度是￡；

②當(dāng)/ABC=NFB（時(shí)，則止匕時(shí)^ABC“AFB'C,

?BfFCFttrtX4—x

??—,BJ——,

ABAC33

解得：％=2,

，此時(shí)BF的長(zhǎng)度是2.

故答案為：蓑或2.

【變式3-2］（2023?山西大同?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正六邊形48CDEF內(nèi)接于半徑為8cm的。。中，連接CE,

AC,AE,沿直線CE折疊，使得點(diǎn)。與點(diǎn)。重合，則圖中陰影部分的面積為（）

A.3275cm2B.8V3cm2C.8Tlem2D.（—+3it）cm2

【答案】A

【分析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)以及圓的對(duì)稱性可得出。M=MD=\OC=4cm,再根據(jù)直角三

角形的邊角關(guān)系求出CM,進(jìn)而求出CE,由圖形中各個(gè)部分面積之間的關(guān)系可得S陰影部分=2SACOE，根據(jù)三

角形的面積計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算即可.

【詳解】解：如圖，連接。。，交CE于點(diǎn)M,貝UODLCE,

由折疊可知OM=MO=(。。=|OC=4(cm),

^COM=—=60°,

6

在RtACOM中，

CM=V3OM=4V3(cm),

CE=2cM=8百(cm),

由題意可知，△ACE是等邊三角形，陰影部分面積等于S四邊形"OE

連接04點(diǎn)。為AACE的內(nèi)心，到三邊的距離相等,

$△04。=S^0AE=SL0EC,

S陰影部分=2s4C0E

1廠

=2x-x8V3x4

=32V3(cm2),

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形和圓，翻折的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系，掌握正六邊形和圓的性質(zhì)以及直

角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

【變式3-3]（2023?河南周口?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開(kāi)

田(4)

圖⑹圖⑺

（1）操作判斷

操作一：如圖（1）,正方形紙片4BCD,點(diǎn)E是BC邊上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B,C重合）任意一點(diǎn)，沿AE折疊AABE至I]

AAFE,如圖（2）所示；

操作二：將圖（2）沿過(guò)點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)G落在2E上，得到折痕MN,點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)記為H,

如圖（3）所示；

操作三：將紙片展平，連接如圖（4）所示.

根據(jù)以上操作，回答下列問(wèn)題：

①B,M,N三點(diǎn)一（填“在”或“不在”）一條直線上；

②AE和BN的位置關(guān)系是一，數(shù)量關(guān)系是一；

③如圖（5）,連接AN,改變點(diǎn)E在BC上的位置，_（填“存在”或“不存在”）點(diǎn)E,使AN平分NZME.

（2）遷移探究

蘇鈕同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片ABC。，AB=4,BC=6,按照（1）中的方式操作，得到圖（6）或圖

（7）.請(qǐng)完成下列探究：

①當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，如圖（6）,BE和CN有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；

②當(dāng)DN的長(zhǎng)為1時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng).

【答案】（1）①在，②AELBN,相等；③不存在；

（2）①言=|,理由見(jiàn)解析；②BE=2或冷.

【分析】（1）①E的對(duì)稱點(diǎn)為。，BFLEE',MFVEE',即可判斷；②由①4E1BN,由同角的余角相等

得NB4E=乙CBN,由AAS可判定△ABEdBCN,由全等三角形的性質(zhì)即可得證；③由AAS可判定ADAN三

△MAN,由全等三角形的性質(zhì)得AM=4D,等量代換得與力矛盾，即可得證；

（2）①由（1）中的②可判定A4BEsABCN,由三角形相似的性質(zhì)即可求解；②當(dāng)N在CO上時(shí)，AABEs

△BCN,由三角形相似的性質(zhì)即可求解；當(dāng)N在2D上時(shí)，同理可判定AABE由三角形相似的性

質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解：①E的對(duì)稱點(diǎn)為0，

BF1EE',MF1EE',

：.B、F、M共線，

故答案為：在；

②由①知：B、F、M共線，N在FM上，

AE1BN,

???^AMB=90°,

???4ABM+乙BAE=90°,

???四邊形4BCD是正方形，

4ABe=乙BCN=90°,

AB=BC,

???4CBN+AABM=90°,

???4BAE=4CBN,

在△力呂后和仆BCN中

2BAE=4CBN

Z.ABC=乙BCN,

.AB=BC

.?△ABE三△BCN(AAS),

???AE=BN,

故答案為：相等；

③不存在，理由如下：

假如存在，

???4N平分2D4E,

???Z-DAN=4MAN,

???四邊形/BCD是正方形，

AMLBN,

???乙D=4AMN=90°,

在△D4N和△MZN中

'LD=乙AMN

乙DAN=乙MAN

、AN=ANN

??.△DANMZN（AAS）,

???AM=AD,

AD=AB,

???AB=AM,

???AB是RtUBM的斜邊，

???AB>AM,

??.AB=AM與48>AM矛盾，

故假設(shè)不成立，所以答案為：不存在;

（2）解：①篙號(hào)，理由如下：

由（1）中的②得：

Z-BAE=乙CBN,

AABE=Z.C=90°,

??.△ABEBCN,

.BE_AB_2

??CN~BC~3；

②當(dāng)N在CD上時(shí)，

CN=CD-DN=3,

由①知：AABEfBCN,

.BE_AB_2

"CN~BC~39

2

???BE=-CN=2,

3

當(dāng)N在/D上時(shí)，

AN=AD-DN=5,

???/,BAE=乙CBN=乙ANB,

Z.ABE=乙BAN=90°,

???AABENAB,

.BE_AB

ABAN

,.,BE—_—4，

45

BE=當(dāng)，

綜上所述：BE=2或蔡.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形相似的判

定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，“十字架”典型問(wèn)題的解法是解題的關(guān)鍵.

【題型4與拋物線有關(guān)的折疊問(wèn)題】

【例4】(2023?廣西貴港?統(tǒng)考三模)拋物線y=—2/+|x+c與x軸交于&、8兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè),

與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D(3,2)為拋物線上一點(diǎn)，且直線CDI比軸，點(diǎn)M是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式與A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0,且以4E,D,M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求此時(shí)點(diǎn)加的坐標(biāo).

(3)過(guò)點(diǎn)M作直線CD的垂線，垂足為N,若將ACMN沿CM翻折，點(diǎn)N的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為NI則是否存在點(diǎn)使

點(diǎn)N'則恰好落在無(wú)軸上？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明段理由.

【答案】(1)丫=一：/+|%+2；2(—1,0),5(4,0)

(2)M(0,2)或d，—2)或(手,一2)

(3)存在，M(l,3)或(5,-3)

【分析】(1)可先求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，將其代入拋物線的解析式求得c的值，令y=0,求得x的值，進(jìn)而求得

點(diǎn)4,8的坐標(biāo)；

(2)分為力。為邊和力。為對(duì)角線兩種情形，當(dāng)4D為邊時(shí)，分為團(tuán)4DME,團(tuán)4DEM,前者觀察點(diǎn)M和點(diǎn)C重合,

后者點(diǎn)M的縱坐標(biāo)和點(diǎn)。坐標(biāo)互為相反數(shù)，進(jìn)而求得結(jié)果，點(diǎn)為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)M和點(diǎn)C重合；

(3)證明CNMN，是正方形，求得CM的解析式為：y=x+2和y=—x+2,進(jìn)一步求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：：CDII久軸，0(3,2),

??”(0,2),

把x=0,y=2代入y=—|x2+|x+c得c=2,

1,3

y=--%+-x+2,

由一+|%+2：0解得X]---1,x2—4,

(2)如圖1,

圖I

當(dāng)為邊時(shí)，回4%%。，此時(shí)風(fēng)和點(diǎn)C重合，Mi(0,2),

團(tuán)4%邑。時(shí)，點(diǎn)M2的縱坐標(biāo)和點(diǎn)。的縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即乃^=-2,

1,3

—-X2+-x+2——2,

22

3±V41

???X=

2

3-V41\/3+V41\

"3，-2，“2--，-2，

當(dāng)為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M和點(diǎn)C重合,

綜上所述：”（0,2）或（上/,一2）或（9/,一2）;

（3）如圖2,

由折疊知，/.CNM=Z.CN'M=90°,

VZ.NCN'=90°,

.,?四邊形CNMM是矩形，

VCN=CM時(shí)，

二矩形CNMN堤正方形，

CM平分乙NCN，,

當(dāng)CM1平分4NCNJ時(shí)，

直線CM】的解析式為：y=x+2,

由一+|久+2=X+2得，X]=1,刀2=°（舍去），

當(dāng)x=l時(shí)，y=l+2=3,

AM!（1,3）,

當(dāng)C“2平分/心。％'時(shí)，

直線CM?的解析式為：y=—X+2,

由一+|x+2=—%+2得，￡3=5,物=°（舍去），

當(dāng)x=5時(shí)，y=-5+2=-3

-3),

綜上所述：M(l,3)或(5,-3).

【點(diǎn)睛】本題以二次函數(shù)為背景，考查了求二次函數(shù)的解析式，求一次函數(shù)的解析式，解一元二次方程，平

行四邊形的分類，正方形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是正確分類，畫(huà)出圖形.

【變式4-1](2023?山東棗莊??？寄M預(yù)測(cè))已知：如圖，拋物線y=-/+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)。，它的對(duì)稱軸

為直線尤=2,動(dòng)點(diǎn)P從拋物線的頂點(diǎn)4出發(fā)，在對(duì)稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向下運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)

間為t秒，連接。P并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)B,連接。4AB.

(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)當(dāng)三點(diǎn)40,B構(gòu)成以為。B為斜邊的直角三角形時(shí)，求t的值;

(3)將APTIB沿直線P8折疊后，那么點(diǎn)4的對(duì)稱點(diǎn)4能否恰好落在坐標(biāo)軸上？若能，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條

件的t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(l)y=-/+4￡；(2,4)

(2)1秒

(3)能，(5-V5)秒或2逐秒或(5+遮)秒

【分析】(1)根據(jù)拋物線過(guò)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線x=2,待定系數(shù)求解析式即可求解；

(2)設(shè)B(x,-%2+4%).三點(diǎn)4,0,B構(gòu)成以為OB為斜邊的直角三角形，勾股定理得出。屁+AB?=OB?,

eir3

繼而得出直線OB的解析式為y=-x,當(dāng)％=2時(shí),y=3,得出"P=4—3=1,進(jìn)而即可求

242

解；

(3)分三種情況討論，①點(diǎn)兒在%軸正半軸上；②點(diǎn)&在y軸負(fù)半軸上，③點(diǎn)4在%軸負(fù)半軸上，分別畫(huà)出

圖形，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理即可求解.

(c=0

【詳解】(1)解：由題意得，

12X(-1)

?＜：0

???拋物線的解析式為y=-%2+4%；

y——x2+4x=—(x—2)2+4,

???頂點(diǎn)”的坐標(biāo)為(2,4)；

(2)如圖1,

設(shè)8(%,—%2+4%).

???三點(diǎn)4。，8構(gòu)成以。3為斜邊的直角三角形，

???0A2+AB2=0B2,

即2?+42+(x—2)2+(―%2+4%—4)2=/+(―x2+4%)2,

整理，得2/-9%+10=0,

解得%1=|，%2=2(舍去),

???8(-,-

'2'4'

設(shè)直線。8的解析式為y=kx,則|k=*

3

解得k=一，

2

3

???y--x.

2

當(dāng)％=2時(shí)，y=3,

.??2尸=4-3=1,

???t=1-1=1（秒）；

（3）分三種情況：

①若點(diǎn)4在無(wú)軸正半軸上，如圖2,

可得「。2+&。2=p22,

即(4一t)2+(2V5—2)2=產(chǎn)，

解得￡=5—V5；

②若點(diǎn)兒在y軸負(fù)半軸上，如圖3,連接441交。8于E

圖3

可得。①=0A=2V5,

??.Z.OArA=Z.OAA1,

???OAr\\APf

Z.OArA=乙4/P,

???Z-OAA1=/.ArAP,

???AAt1OP,

.??/LOEA=/.PEA=90°.

在△04E與△P4E中，

Z-OAE=/-PAE

AE—AE,

.Z-OEA=Z.PEA

OAE三△PZE(ASA),

???OA=PA=2V5,

：.t=2V5；

③若點(diǎn)兒在x軸負(fù)半軸上，如圖4.

即4)2+(24+2)2=t2,

解得t=5+V5；

綜上所述，所有滿足條件的t的值為(5-V5)秒或2而秒或(5+V5)秒.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問(wèn)題，特殊三角形問(wèn)題，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)

是解題的關(guān)鍵.

【變式4-2](2023?山西臨汾?統(tǒng)考一模)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-弓X一4與x軸交于4B兩點(diǎn)(點(diǎn)8在點(diǎn)4的右側(cè)),與y軸交

42

(2)求直線8。的函數(shù)表達(dá)式.

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使NPCB=N4BC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)4(—2,0),B(8,0),C(0,-4)

432

(2)y=-x-—

(3)存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,-4)或(g,等)

【分析】(1)根據(jù)當(dāng)y=0時(shí)，可得;一一|X一4=0,解一元二次方程即可得出點(diǎn)4,B的坐標(biāo)，根據(jù)當(dāng)x=0

時(shí)，y=-4即可得點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)過(guò)點(diǎn)。作DElx軸于點(diǎn)E,先利用勾股定理的逆定理判斷出N4CB=90。，再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)、三角形

中位線定理可得。C為AADE的中位線，從而可得D(-2,8),然后利用待定系數(shù)法求解即可得；

(3)分兩種情況：①點(diǎn)P在BC下方和②點(diǎn)P在BC上方，再根據(jù)平行線的性質(zhì)、等腰三角形的三線合一分別求

出與PC平行的直線，然后結(jié)合二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得.

【詳解】(1)解：當(dāng)y=0時(shí)，：/一|刀一4=0,

解得--2,x2=8,

?..點(diǎn)8在點(diǎn)4的右側(cè)，

???0),5(8,0),

當(dāng)x=0時(shí)，y=-4,

???C(0,-4).

(2)解：如圖，過(guò)點(diǎn)。作DElx軸于點(diǎn)E,

V4(-2,0),B(8,0),C(0,-4),

AOA=2,OB=8,OC=4,

：.AB=8-(-2)=10,AC=V22+42=2心BC=V42+82=4后

：.AC2+BC2=AB2,

：.Z.ACB=90°,

又：將△ABC沿BC所在的直線折疊得到△DBC,點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D,

...4,C,D三點(diǎn)在一條直線上，

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：CD-AC,BD=AB,

'：0C1AB,DELAB,

：.DE||OC,

為AaDE的中位線，4。=。《=2,

：.DE=20C=8,

；.D(2,—8),

設(shè)直線BD的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

將點(diǎn)B(8,0),D(2,-8)代入得：解得

則直線80的函數(shù)表達(dá)式為y="一學(xué)

(3)解：在拋物線上存在點(diǎn)P,使乙PCB=乙48。，

①如圖，當(dāng)點(diǎn)P在下方時(shí)，

D

■:乙PCB=/.ABC,

：.PC||AB,

???點(diǎn)C,P的縱坐標(biāo)相等，

???點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為一4,

令y=-4,則工工2—-4=-4,解得久1=6,冷=0(舍去)，

42

...P(6,-4)；

②如圖，當(dāng)點(diǎn)P在BC上方時(shí),

由(2)可知，A,C,。三點(diǎn)在一條直線上，BD=AB,乙4cB=90。，

:.乙ABC=乙DBC,

■:乙PCB=乙ABC,

:?乙PCB=乙DBC,

：.PC||BD,

則可設(shè)直線PC的函數(shù)表達(dá)式為y=(%+c，

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4),

c=-4,

???直線PC的函數(shù)表達(dá)式為y=-%

當(dāng)士久-4=工％2一￥工一4時(shí)，解得%1=△,次=0(舍去)，

3423

...點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為當(dāng)，

當(dāng)尤=上時(shí)，y=ix--4=—,

3/339

，嗚,嗯，

綜上，在拋物線上存在點(diǎn)P,使NPCB=N4BC,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,-4)或腎,等).

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)的綜合、折疊的性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰三角形的三線合一

等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題(3),正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

【變式4-3](2023?湖南岳陽(yáng)?統(tǒng)考一模)如圖①，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線&:y=/++c經(jīng)過(guò)

點(diǎn)4(1,0)和點(diǎn)B(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線/與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)。，與拋物線出交于點(diǎn)E,

且。。=0A.

(1)求拋物線&的解析式；

(2)如圖②,點(diǎn)P是拋物線Fi上位于x軸下方的一動(dòng)點(diǎn)，連接CP、EP,CP與直線/交于點(diǎn)Q,設(shè)^E「。和4ECQ

的面積為Si和S2,求fl的最大值；

(3)如圖③，將拋物線后沿直線％=根翻折得到拋物線尸2,且直線/與拋物線尸2有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求機(jī)的值.

【答案】(l)y=x2*4-4%+3；

(2*的最大值為白；

(3)m=

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)結(jié)合(1)求得直線/的解析式為y=x-l,過(guò)點(diǎn)「作/5”，》軸，交ZE于點(diǎn)貝|PM||CD,易得△MPQ?

△DCQ即翳=瞿，由△EPQ和AECQ的底在同一直線上，且有相同的高，故?=翳=?，由(1)可知CD=4,

CQCDCQC/J

2

設(shè)P(a,a2—4a+3),則—1),貼PM=—(a—2+：,因?yàn)镻M的最大值為三代入即可求解；

(3)求得拋物線y=/-4%+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-1),將(2,-1)沿直線x=m翻折得(2小一2,-1),故將拋

物線F]：y=%2-4%+3沿直線x=m翻折得到拋物線尸?為y=[x-(2m-2)]2—1,即y=x2-

(4m-4)x+4m2-8m+3,令——(4m-4)x+4m2—8m+3=%-1即——(4m-3)x+4m2—8m+

4=0,由直線/與拋物線&有且只有一個(gè)交點(diǎn)，貝必=0,即可求解.

【詳解】⑴解:將點(diǎn)峰(1,0)和點(diǎn)B(3,0)代入y=/+日+c得:

(1+b+c=0

(9+36+c=0'

解得Pc：；，

拋物線&的解析式為:y=x2-4x+3；

(2)'：OD=OA,71(1,0),

則￡)(0,—1),

設(shè)直線/的解析式為y=kx+n,

7c+n=0

n=-1

解得:仁1

可得直線/的解析式為：y=x-l,

過(guò)點(diǎn)P作PMlx軸，交4E于點(diǎn)

則PMICD,

Z.△MPQ~XDCQ,

.PQ_PM

…CQ-CD

△EPQ和AECQ的底在同一直線上，且有相同的高,

則皂=S^EPQ=絲,

$2S^ECQCQ

,S]_PQ_PM

**S2~CQ~CD

由⑴可知1(0,3),￡)(0,-1),

CD=4,

設(shè)P(a,小—4a+3),

則M(a,a—1),

.?.PM=(a—1)—(a2—4a+3)

4

???PM的最大值為￡

則翳的最大值為詈=：=卷

金的最大值為白；

?32lo

(3)拋物線y=/-4%+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：

(2,-1)，

將(2,-1)沿直線久=m翻折得：(2m-2,-1),

故將拋物線&：y=x2-4x+3沿直線％=m翻折，

得到拋物線尸2：y=[x-(2m-2)]2-1,

即：y=x2—(4m—4)x+4m2—8m+3,

令％2—(4m—4)%4-4m2—8m+3=%—1,

即/—(4m—3)x+4m2—8m+4=0

△=(4m—3)2—4(4m2—8m+4)

=8m—7,

又.?,直線/與拋物線F2有且只有一個(gè)交點(diǎn)，

8m—7=0,

?7

..m=-.

8

【點(diǎn)睛】本題考查了代入法求一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合，相似三角形的判定和

性質(zhì)，翻折問(wèn)題，交點(diǎn)情況即一元二次方程解的情況；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，靈活求解.

【題型5利用軸對(duì)稱求最值】

[例5](2023?遼寧盤(pán)錦?統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形ABCO是矩形，AB=V10,AD=4A②點(diǎn)尸是邊/D上

一點(diǎn)(不與點(diǎn)A,。重合)，連接PB,PC.點(diǎn)N分別是P8,尸。的中點(diǎn)，連接MN,AM,DN,點(diǎn)片在

邊40上，MEWDN,則AM+ME的最小值是()

A.2A/3B.3C.3V2D.4V2

【答案】C

【分析】根據(jù)直線三角形斜邊中線的性質(zhì)可得AM=18P,DN=出,通過(guò)證明四邊形MNDE是平行四邊形,

可得ME=DN,則AM+ME=AM+DN=^(BP+CP),作點(diǎn)C關(guān)于直線4D的對(duì)稱點(diǎn)M,則BP+CP=BP+

PM,點(diǎn)B,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，BP+PM的值最小，最小值為BM.

【詳解】解：???四邊形48CD是矩形，

???Z.BAP=乙CDP=90°,ADWBC,

???點(diǎn)M,N分別是PB,PC的中點(diǎn)，

111

???AM=-BP,DN=-CP,MN=-BC,MN\\BC,

222

???ADWBC,MNWBC,

MNWBC,

又???MEWDN,

四邊形MNDE是平行四邊形，

ME=DN,

.-.AM+MEAM+DN=+CP),

如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線4。的對(duì)稱點(diǎn)M,連接PM,BM,

當(dāng)點(diǎn)8,P,M三點(diǎn)共線時(shí)，BP+PM的值最小，最小值為BM,

在RtABCM中，MC=2CD=24B=2同，BC=AD=4?

22

J(4V2)+(2V10)=6V2,

???AM+ME的最小值==3vL

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，直線三角形斜邊中線的性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，軸

對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理，線段的最值問(wèn)題等，解題的關(guān)鍵是牢固掌握上述知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用等量代換思想.

【變式5-1]（2023?江蘇鹽城?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知，等邊AABC中，AB=6,將A4BC沿力C翻折，得

到△力DC,連接BD,交AC于。點(diǎn)，E點(diǎn)在0。上，S.DE=2OE,尸是8c的中點(diǎn)，尸是4C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則

|PF-PE|的最大值為.

【答案】V3

【分析】由折疊可證四邊形48CD為菱形，B。是4C邊上的中線，如圖，連接AF.PM,交于M,4尸是

BC邊上的中線，NB4c的角平分線，貝IBM=2OM,AM=2MF,^CAF=30°,由DE=2OE,可得。M=OE,

則PE=PM,AE=AM,\PF-PE\=\PF-PM\,可知當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，|PF-PE|最大，最大為FM,

勾股定理求4F=VXC2-CF2=3V3,貝i]FM=|^F,計(jì)算求解即可.

【詳解】解：???△ABC為等邊三角形，AB=6,

AB=AC=BC=6,

???將△ABC沿AC翻折，得至以加兀，

???AD=CD=BC=AB=6,

.??四邊形4BCD為菱形，

：.DO=BO,AO=CO=3,BDVAC,

...BO是AC邊上的中線，

如圖，連接AF,PM,交BD于M,

DA

C

?.?尸是BC的中點(diǎn),

...AF是BC邊上的中線，ABAC的角平分線,

：.BM=20M,AM=2MF,/.CAF=30°,

"：DE=2OE,

：.OM=OE,

■:BDLAC,

：.PE=PM,AE=AM,

：.\PF-PE\=\PF-PM\,

當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，|PF-PE|最大，最大為FM,

;4CAF=30°,

ACF=3,

由勾股定理得，AF-<AC2-CF2=3V3,

：.FM=V3,

故答案為：V3.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，

等腰三角形的判定與性質(zhì)，含30。的直角三角形等知識(shí).根據(jù)題意確定最大值的情況是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2］（2023?江蘇宿遷?統(tǒng)考二模）如圖，菱形4BCD的邊長(zhǎng)為10,tan4=1，點(diǎn)M為邊力D上的一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)且不與點(diǎn)A和點(diǎn)。重合，點(diǎn)A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4,點(diǎn)N為線段CA的中點(diǎn)，連接DN,則線段DN

長(zhǎng)度的最小值是.

【答案】V65-5

【分析】根據(jù)44關(guān)于直線BM對(duì)稱，得到B4=10,取BC的中點(diǎn)K,NK是△ABC的中位線，則NK=5,

作DH1BC,根據(jù)tanA=（可求出DH=8,CH=6,在RtADHK中，由勾股定理求得DK的值，再根據(jù)三角

形的三邊關(guān)系即可求出答案.

【詳解】解：如圖，連接84,取BC的中點(diǎn)K,連接NK,作DH1BC于"

,四邊形4BCD是菱形，

：.AB=BC=CD=AD=10,NA=乙DCB,

:點(diǎn)A關(guān)于直線BM的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)4,

：.BA'=BA=10,

:點(diǎn)N為線段CA的中點(diǎn)，點(diǎn)K是BC的中點(diǎn)，

：.NK是ATTBC的中位線，

：.NK=-BA'=5,

2

?「tan/=tanZ-DCH=—

CH3

：.DH=4%,CH=3x,

在中，由勾股定理得?！?+c”2=

：.16x2+9x2=100,

解得X=2（負(fù)值舍去），

ACH=6,DH=8,

VCK=KB=5,

：.HK=CH-CK=1,

：.DK=VDH2+KH2=V65,

■:DN>DK-NK,

：.DN>V65-5,

???DN的最小值為候—5,

故答案為：V65-5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，三角形中位線定理，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，三

角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【變式5-3](2023?浙江?統(tǒng)考二模)如圖，在正方形2BCD中，點(diǎn)E為邊BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)B關(guān)于4E的對(duì)

稱點(diǎn)夕，連接并延長(zhǎng)交4E延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BB，，BF.

(1)求證：BF=B'F.

⑵求NBB'D的度數(shù).

(3)若4B=2,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求點(diǎn)P到BC距離的最大值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)135°

(3)V2-1

【分析】(1)根據(jù)題意可得4E垂直平分B?，貝i]BF=B，F(xiàn)；

(2)如圖所示，連接AB',證明4B=4B'=4D,得到N4BB'=NAB'B,乙ADB'=4AB'D,根據(jù)四邊形內(nèi)

角和定理求出N4BB'+乙AB'B+^ADB'+^AB'D=270°,即可得到NBB'D=AAB'B+乙AB'D=135°；

(3)如圖所示，連接4C、BD交于O,設(shè)B所與2F交于先求出N4FD=45。，則點(diǎn)/在以點(diǎn)。為圓心，V2

為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，即劣弧BC上運(yùn)動(dòng)；過(guò)點(diǎn)。作OM18C交BC于N,交O。于M,則點(diǎn)P到BC距離的

最大值即為EM的長(zhǎng)，由此求出答案即可.

【詳解】(1)證明：：點(diǎn)2關(guān)于力E的對(duì)稱點(diǎn)為方，

...4E垂直平分

：.BF=B'F；

(2)解：如圖所示，連接4B',

垂直平分BB',

：.AB=AB',

:四邊形ABC。是正方形，

：.AB=AD,/.BAD=90°,

：.AB=AB'=40,

:.乙ABB'=/.AB'B,乙4DB'=Z.AB'D,

+^AB'B+/.ADB'+Z.AB'D+乙BAD=360°,

:.乙ABB'+^AB'B+Z.ADB'+Z.AB/D=270°,

:.乙BB'D=乙AB'B+^AB'D=135°；

(3)解：如圖所示，連接AC、BD交于。,設(shè)8夕與2F交于H,

由(2)得上FB'H=180°—4BB'D=45°,

■:FH1BB',

，4AFD=45°,

?..四邊形4BCD是正方形，

OA=OD=-AC=—AB=V2,/.AOD=90°,

22

點(diǎn)尸在以點(diǎn)。為圓心，魚(yú)為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，即劣弧BC上運(yùn)動(dòng)，

過(guò)點(diǎn)。作。M1BC交BC于N,交。。于則點(diǎn)尸到BC距離的最大值即為EM的長(zhǎng),

在RtAOBN中，BN=-BC=1,OB=V2,

2

ON=y/OB2-BN2=1,

：.ME=y/2-l,

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和定理，垂徑定理，等腰三角形的性質(zhì)

與判定等等，正確確定點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵.

【題型6根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)求面積、長(zhǎng)度、角度】

【例6】(2023?江蘇泰州?統(tǒng)考二模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，AABC的頂點(diǎn)力、C分別是直線y=-：久+4

與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B(-2,0)，點(diǎn)。是邊力C上的一點(diǎn)，DE1BC,垂足為E,點(diǎn)尸在力B邊上，且D、F兩點(diǎn)關(guān)

于y軸上某點(diǎn)成中心對(duì)稱，連接DF、EF.線段EF長(zhǎng)度的最小值為.

【答案】2V2

【分析】過(guò)點(diǎn)R￡＞分別作FG,DH垂直于y軸，垂足分別為G,H,證明Rt△FGK三Rt△DHK,由全等三角

形的性質(zhì)得出FG=DH,可求出產(chǎn)(一犯一2爪+4),根據(jù)勾股定理得出I=￡1尸2=8爪2-16爪+16=

8(m-l)2+8,由二次函數(shù)的性質(zhì)可得出答案；

【詳解】過(guò)點(diǎn)R。分別作FG,DH垂直于y軸，垂足分別為G,H,

*y.、

圖2

貝lj4FGK=乙DHK=90°,

記FD交y軸于點(diǎn)K,

???。點(diǎn)與尸點(diǎn)關(guān)于y軸上的K點(diǎn)成中心對(duì)稱，

：.KF=KD,

■:乙FKG=乙DKH,

???RtZkFGKwRt2kOHK,

：.FG=DH,

,直線/C的解析式為y=—|x+4,

Ax=0時(shí)，y=4,

Ai4(0,4),

又,.,8(—2,0),

設(shè)直線45的解析式為y=kx+b,

.(—2k+b=0

"tb=4'

解得仁卜

?,?直線AB的解析式為y=2x+4,

過(guò)點(diǎn)尸作FR軸于點(diǎn)R,

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m,

F(―m,—2m+4),

ER=2m,FR=-2m4-4,

9：EF2=FR2+ER2,

I=EF2