甘肅省武威市2025屆高三上學(xué)期1月期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案一、選擇題1.若函數(shù)f(x)=ax^3+bx^2+cx+d在x=1處有極值，則必有：A.a=0B.b=0C.c=0D.d=02.已知函數(shù)f(x)=(x^2-1)^2/x^2，其定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞），則f(x)的值域?yàn)椋篈.（-∞，-4]∪[0，+∞）B.（-∞，-4）∪（0，+∞）C.（-∞，-4）∪[0，+∞）D.（-∞，-4]∪[0，+∞）3.在等差數(shù)列{an}中，若a1=2，d=3，則前10項(xiàng)的和S10為：A.160B.180C.200D.2204.設(shè)函數(shù)f(x)=log2(3x-1)，其定義域?yàn)椋?/3，+∞），則f(x)的值域?yàn)椋篈.（-∞，0）∪（0，+∞）B.（-∞，0）∪[0，+∞）C.（0，+∞）D.（0，+∞）∪[0，+∞）5.已知等比數(shù)列{an}的公比q≠1，若a1=3，S3=21，則q的值為：A.2B.3C.1/2D.1/3二、填空題6.若函數(shù)f(x)=(x^2-2x+1)^2/(x^2-1)的極值為3，則a的值為_(kāi)_____。7.在等差數(shù)列{an}中，若a1=1，d=2，則前5項(xiàng)的平均值為_(kāi)_____。8.設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)^2/(x^2+1)，則f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為_(kāi)_____。三、解答題9.已知函數(shù)f(x)=(x-1)^3-3x+2，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間。10.在等比數(shù)列{an}中，若a1=3，S5=243，求公比q和第5項(xiàng)an。（答案略）四、解答題11.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+1，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)，并求出f(x)的極值點(diǎn)。12.在三角形ABC中，AB=5，AC=6，∠A=45°，求BC的長(zhǎng)度。五、證明題13.證明：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1+a3=6，a2+a4=12，則數(shù)列{an}的公差d為3。14.證明：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有不等式x^2+1≥2x成立。六、綜合題15.已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+5，求函數(shù)f(x)的圖像，并分析其性質(zhì)，包括對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)、開(kāi)口方向等。16.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(2,3)，點(diǎn)B在直線y=2x+1上，且三角形OAB為等腰直角三角形，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。本次試卷答案如下：一、選擇題1.答案：C解析：函數(shù)f(x)在x=1處有極值，意味著f'(1)=0。由于f(x)=ax^3+bx^2+cx+d，其導(dǎo)數(shù)f'(x)=3ax^2+2bx+c，代入x=1得3a+2b+c=0。只有c=0時(shí)，方程成立。2.答案：A解析：函數(shù)f(x)=(x^2-1)^2/x^2在x≠0時(shí)有定義。分母x^2>0，所以函數(shù)的值域只取決于分子的符號(hào)。分子(x^2-1)^2始終非負(fù)，且在x=±1時(shí)取最小值0。因此，值域?yàn)椋?∞，-4]∪[0，+∞）。3.答案：C解析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=n(a1+an)/2。由a1=2和d=3，得到an=a1+(n-1)d=2+3(n-1)。代入n=10，得到an=2+3(10-1)=29。因此，S10=10(2+29)/2=200。4.答案：A解析：函數(shù)f(x)=log2(3x-1)的定義域?yàn)閤>1/3。由于對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于1，f(x)隨x增大而增大。當(dāng)x=1/3時(shí)，f(x)趨向于負(fù)無(wú)窮，當(dāng)x趨向于正無(wú)窮時(shí)，f(x)趨向于正無(wú)窮。因此，值域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞）。5.答案：A解析：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為Sn=a1*(1-q^n)/(1-q)。已知a1=3，S3=21，代入公式得21=3*(1-q^3)/(1-q)。解這個(gè)方程得到q=2。二、填空題6.答案：1解析：由極值條件f'(x)=0，得3(x^2-2x+1)^2-2(x^2-2x+1)(2x-2)=0。化簡(jiǎn)得x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0。由于極值為3，代入x=1得3=1-2+1-2+1，解得a=1。7.答案：3解析：等差數(shù)列前n項(xiàng)和的平均值為a1+an/2。由a1=1和d=2，得an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)。當(dāng)n=5時(shí)，an=1+2(5-1)=9。因此，平均值為(1+9)/2=5。8.答案：-1解析：f(x)在x=0處的導(dǎo)數(shù)等于f'(0)。由f(x)=(x-1)^2/(x^2+1)，得f'(x)=[2(x-1)(x^2+1)-(x-1)^2*2x]/(x^2+1)^2。代入x=0得f'(0)=-1。三、解答題9.答案：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）和（1，+∞）解析：f'(x)=3(x-1)^2-3=3(x-1)(x-2)。令f'(x)=0，得x=1或x=2。當(dāng)x<1時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)1<x<2時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>0。因此，f(x)在（-∞，1）和（1，+∞）上單調(diào)遞增。10.答案：公比q=3，第5項(xiàng)an=81解析：由S5=a1*(1-q^5)/(1-q)=243，得3*(1-q^5)/(1-q)=243。解得q=3。由an=a1*q^(n-1)，得a5=3*3^4=81。四、解答題11.答案：f'(x)=3x^2-3解析：由f(x)=x^3-3x+1，得f'(x)=3x^2-3。極值點(diǎn)滿足f'(x)=0，即3x^2-3=0，解得x=±1。由于f''(x)=6x，f''(1)=6>0，f''(-1)=-6<0，所以x=1是極小值點(diǎn)，x=-1是極大值點(diǎn)。12.答案：BC=7解析：由余弦定理得BC^2=AB^2+AC^2-2*AB*AC*cos(∠A)。代入AB=5，AC=6，∠A=45°得BC^2=25+36-2*5*6*√2/2=61-30√2。因此，BC=√(61-30√2)≈7。五、證明題13.答案：d=3解析：由a1+a3=6和a2+a4=12，得a1+(a1+2d)=6和(a1+d)+(a1+3d)=12。解得a1=2，d=3。14.答案：不等式成立解析：由均值不等式得x^2+1≥2√(x^2*1)=2x。因此，x^2+1≥2x成立。六、綜合題15.答案：對(duì)稱(chēng)軸x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)(2,1)，開(kāi)口向上解析：函數(shù)f(x)=x^2-4x+