第1頁（共1頁）2025年浙江省學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷（二）一、單項選擇題（本大題12小題，每小題3分，共36分。每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分。）1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=2x?4}，則A∩A．[2，3） B．（2，3] C．[2，3] D．（2，3）2．已知復(fù)數(shù)z滿足1+iz＝z﹣2i，則|z|＝（）A．32 B．52 C．1023．已知函數(shù)f（x）的定義域為[0，3]，則f（2x﹣1）的定義域為（）A．[0，3] B．[0，2] C．[0，7] D．[1，2]4．已知a→=(3，?1)，b→=(1，m)，若A．﹣3 B．3 C．?13 5．半徑為3cm的圓中，有一條弧，長度為π2cmA．π6 B．π4 C．π36．設(shè)a，b∈R，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．若a＞b＞0，則1a2＜1b2 B．若a＜b＜0，則（a﹣1）C．若a+b＝2，則2a+2b≥4 D．若a，b＞0且2a+1b7．“a＝0”是“函數(shù)f（x）＝sinx?1xA．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．人的眼皮有單眼皮與雙眼皮之分，決定眼皮單雙的基因有兩種，一種是顯性基因（記為B），另一種是隱性基因（記為b）；基因總是成對出現(xiàn)（如BB，bB，Bb，bb），而成對的基因中，只要出現(xiàn)了顯性基因，那么這個人就一定是雙眼皮；有一對夫妻，父親的基因為Bb，母親的基因是bb，不考慮基因突變，則他們的孩子是單眼皮的概率為（）A．0 B．14 C．12 9．已知f(θ)=1?sinθ+100cosθcosθ+100+100sinθ，則A．1+22 B．2?1 C．1+10．如圖，在以下四個正方體中，直線MN與平面ABC平行的是（）A．B． C．D．11．已知f(x)=1?x2，x≤1lnx，x＞1，則方程e（f（x））2﹣（x+e）fA．2 B．3 C．4 D．512．已知函數(shù)f（x）的定義域為R，f（x+y）f（x﹣y）＝f2（x）﹣f2（y），且當x＞0時，f（x）＞0，則下列正確的是（）A．f（x）是偶函數(shù) B．f（x）是周期函數(shù) C．當﹣1＜x＜0時，f（2﹣x）＜f（x+2） D．當0＜x＜1時，f（x2+1）＞f（2x）二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。每小題列出的四個選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選、多選、錯選均不得分。）13．下列命題正確的是（）A．（a2）3＝a6 B．3aC．（lg2）2+lg2×lg5+lg5＝2 D．若3a＝10，log925＝b，則lg5=14．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在（0，+∞）上單調(diào)遞增的是（）A．y＝cosx B．y＝x2+|x| C．y＝log2|x| D．y=15．如圖，該圖展現(xiàn)的是一種被稱為“正六角反棱柱”的多面體，上、下兩底面分別是兩個全等且平行的正六邊形A1B1C1D1E1F1，ABCDEF，它們的中心分別為O1，O，側(cè)面由12個全等的以正六邊形的邊為底的等腰三角形組成．若該“正六角反棱柱”的各棱長都為2，則下列命題正確的是（）A．異面直線O1A1與OA所成的角為π4 B．AB1⊥平面O1OAC．該多面體外接球的表面積為(43D．直線AB，與下底面所成角的正弦值為3三、填空題（本大題共4小題，每空4分，共16分.）16．對于任意實數(shù)x，（x）表示不小于x的最小整數(shù)，例如（1.2）＝2，（﹣0.2）＝0，[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如[1.2]＝1，[﹣0.2]＝﹣1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）＝（2x）?[3x]，若集合A={y|y=f(x)，?2≤x＜?43}，則集合A17．拋擲一枚均勻的正方體骰子（各面分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6），事件A表示“朝上一面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P（A+B）＝．18．某水產(chǎn)單位對其投放的網(wǎng)箱產(chǎn)量（單位：kg）進行了樣本統(tǒng)計，得到樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如下圖所示，請根據(jù)頻率分布直方圖估計該水產(chǎn)單位所有網(wǎng)箱產(chǎn)量的上四分位數(shù)為kg．19．設(shè)函數(shù)y＝f（x）的定義域為D，若函數(shù)y＝f（x）滿足條件：存在[a，b]?D，使得y＝f（x）在[a，b]上的取值范圍是[a2，b2]，則稱f（x）為“半縮函數(shù)”．若函數(shù)f（x）＝log5（5x+t﹣2）為“半縮函數(shù)”，則實數(shù)四、解答題（本大題共3小題，共34分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）20．（11分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為2，c﹣b＝2，cosA=?1（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求sinC的值；（Ⅲ）求cos(2A+π21．（11分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，DD1⊥平面ABCD，DC＝2DA＝4，DD1=23，DC1（1）求證：DA⊥DB；（2）求三棱錐C﹣A1C1D的體積；（3）線段C1D1上是否存在點E，使得平面EBD與平面ABB1A1的夾角為π4？若存在，求D1E22．（12分）已知函數(shù)f（x）＝loga1+kxx?1（a＞0，a（1）求實數(shù)k的值，并判斷函數(shù)f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性（不需要證明）；（2）當x∈（p，a﹣2）時，函數(shù)f（x）的值域是（1，+∞），求實數(shù)a與p的值；（3）當a≥6時，設(shè)函數(shù)g（x）＝﹣ax2+8（x﹣1）af（x）﹣5，若存在實數(shù)λ，使得不等式﹣5≤g（x）≤5對任意的x∈（1，λ]恒成立，求λ的最大值φ（a）．

2025年浙江省學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)模擬試卷（二）參考答案與試題解析一、單項選擇題（本大題12小題，每小題3分，共36分。每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，不選、多選、錯選均不得分。）1．【解題有據(jù)】先求出集合A，B，再由交集的定義求解即可．【解題有法】解：因為x2﹣2x﹣3≤0，所以（x+1）（x﹣3）≤0，即﹣1≤x≤3，所以A＝{x|﹣1≤x≤3}，且B＝{x|x≥2}，所以A∩B＝[2，3]．故選：C．2．【解題有據(jù)】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)模長公式求解．【解題有法】解：由1+iz＝z﹣2i，得z=1+2i所以|z|=(?123．【解題有據(jù)】根據(jù)函數(shù)f（x）的定義域得出2x﹣1的取值范圍，解不等式求出x的取值范圍即可．【解題有法】解：函數(shù)f（x）的定義域為[0，3]，令0≤2x﹣1≤3，即1≤2x≤4，解得0≤x≤2；∴f（2x﹣1）的定義域為[0，2]．故選：B．4．【解題有據(jù)】根據(jù)平面向量垂直的坐標運算求解參數(shù)．【解題有法】解：若a→⊥b→，所以所以m＝3．故選：B．5．【解題有據(jù)】利用弧長公式即可計算得解．【解題有法】解：設(shè)扇形的弧長為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，則l=π2cm，r＝3cm，此弧所對的圓心角α=π6．【解題有據(jù)】結(jié)合不等式的性質(zhì)檢驗選項A，B，C，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性檢驗選項D．【解題有法】解：若a＞b＞0，則a2＞b2＞0，所以1a2＜1b2，A正確；若a＜所以（a﹣1）2＞（b﹣1）2，B錯誤；若a+b＝2，則2a+2b≥22a?2b=22a+b因為f（x）=2所以當a，b＞0，2a+1所以f（a）＞f（b），所以a＞b，D正確．故選：B．7．【解題有據(jù)】先根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷出a＝0時，為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷當為奇函數(shù)時，a＝0，故可以判斷為充要條件．【解題有法】解：f（x）的定義域為{x|x≠0}，關(guān)于原點對稱當a＝0時，f（x）＝sinx?1f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣（?1x）＝﹣sinx+1x=?（sinx?1x）＝﹣f當函數(shù)f（x）＝sinx?1x+a為奇函數(shù)時，f（﹣x）+f又f（﹣x）+f（x）＝sin（﹣x）﹣（?1x）+a+sinx?1x+a所以“a＝0“是“函數(shù)f（x）＝sinx?1x+a8．【解題有據(jù)】利用列舉法能求出結(jié)果．【解題有法】解：有一對夫妻，父親的基因為Bb，母親的基因是bb，不考慮基因突變，則所有的基本事件有：Bb，Bb．bb，bb，則他們的孩子是單眼皮的概率為P=24=9．【解題有據(jù)】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換求出三角函數(shù)值．【解題有法】解：由于sinπ4=cos故選：B．10．【解題有據(jù)】證明直線與平面垂直判定A；由直線與平面相交的定義判斷B與C；由直線與平面平行的判定判斷D．【解題有法】解：A中，連接MG，可得MG⊥BC，由正方體的結(jié)構(gòu)特征可得NG⊥BC，又NG∩MG＝G，∴BC⊥平面MNG，可得BC⊥MN，同理可得，AB⊥MN，又AB∩BC＝B，∴MN⊥平面ABC；B中，∵AC∥BN，則平面ABC與平面ANBC為同一平面，N∈平面ANBC，M?平面ANBC，則直線MN與平面ABC相交；C中，∵BC∥AN，則平面ABC與平面ANBC為同一平面，N∈平面ANBC，M?平面ANBC，則直線MN與平面ABC相交；D中，由CM＝AN，CM∥AN，可得四邊形ANMC為平行四邊形，得MN∥CA，∵CA?平面ABC，MN?平面ABC，∴MN∥平面ANBC．故選：D．11．【解題有據(jù)】方程轉(zhuǎn)化為（ef（x）﹣x）（f（x）﹣1）＝0，即f（x）=xe或f（【解題有法】解：方程e（f（x））2﹣（x+e）f（x）+x＝0，即（ef（x）﹣x）（f（x）﹣1）＝0，解得f（x）=xe或f（x）＝1，題意轉(zhuǎn)化為求f（x）=xe或∵f(x)=1?x2，x≤1lnx，x＞1，∴當x＞1時，f∵f（x）=xe或f（x）＝1，∴l(xiāng)nx=x令g（x）＝lnx?xe（x＞1），則g'（x）=1x?1e，∴g（x）在（1，e）上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，∴當x＝e時，g∴g（x）≤g（e）＝0，故f（x）=xe只有唯一解x＝又lnx＝1，解得x＝e，∴當x＞1時，方程e（f（x））2﹣（x+e）f（x）+x＝0只有一個解x＝e，當x≤1時，f（x）＝1﹣x2，∵f（x）=xe或f（x）＝1，∴1﹣x2=xe或1﹣x2＝1，即ex2+x﹣e解得x=?1+1+4e22e＜∴當x≤1時，方程e（f（x））2﹣（x+e）f（x）+x＝0有3個解，綜上所述，方程e（f（x））2﹣（x+e）f（x）+x＝0的解的個數(shù)為4個，故選：C．12．【解題有據(jù)】對于A，令x＝y(tǒng)＝0，得f（0）＝0，令x＝0，將y變換為﹣y，得到f（﹣y）+f（y）＝0判定；對于B，先證明f（x）是增函數(shù)，可得f（x）不是周期函數(shù)判斷；對于C，D運用單調(diào)性可判斷．【解題有法】解：對于A，令x＝y(tǒng)＝0，則f2（0）＝f2（0）﹣f2（0），得f（0）＝0，令x＝0，得f（y）f（﹣y）＝f2（0）﹣f2（y），代入f（0）＝0，整理可得f（y）[f（﹣y）+f（y）]＝0．用﹣y替換y，則f（﹣y）[f（y）+f（﹣y）]＝0，故[f（y）+f（﹣y）]2＝0，故f（﹣y）+f（y）＝0，即f（﹣y）＝﹣f（y），故f（x）是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，設(shè)x2＞x1＞0，則f（x2）＞0，f（x1）＞0，且f2(x2)?f2(x1)=[f(x2)+f(x1故f2則f（x2）＞f（x1）．又f（0）＝0，f（x）是奇函數(shù)，故f（x）是單調(diào)遞增函數(shù)，得不出f（x）是周期函數(shù)，故B錯誤；對于C，﹣1＜x＜0時，則0＜﹣x＜﹣1，所以2＜2﹣x＜3，1＜x+2＜2，所以2﹣x＞x+2，f（2﹣x）＞f（x+2），故C錯誤；對于D，0＜x＜1時，x2+1﹣2x＝（x﹣1）2＞0，所以x2+1＞2x，f（x2+1）＞f（2x），故D正確．故選：D．二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分。每小題列出的四個選項中有多個是符合題目要求的，全部選對得6分，部分選對得部分分，不選、多選、錯選均不得分。）13．【解題有據(jù)】利用指數(shù)冪運算法則判斷A；利用根式的性質(zhì)、運算法則判斷B；利用對數(shù)的運算法則、換底公式判斷CD．【解題有法】解：對于A，（a2）3＝a6，故A正確；對于B，3a?4a=a1對于C，（lg2）2+lg2×lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1，故C錯誤；對于D，若3a＝10，log925＝b，則a＝log310＝log9100，則ba=log925log914．【解題有據(jù)】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性逐一判斷即可．【解題有法】解：對于A，函數(shù)y＝cosx為偶函數(shù)，但在（0，+∞）上不單調(diào)，不符合題意；對于B，函數(shù)y＝x2+|x|為偶函數(shù)，在（0，+∞）上，y＝x2+x為增函數(shù)，符合題意；對于C，函數(shù)y＝log2|x|為偶函數(shù)，在（0，+∞）上，y＝log2x為增函數(shù)，符合題意；對于D，函數(shù)y=x故選：BC．15．【解題有據(jù)】對于A：根據(jù)OA平分∠A1'OB1'，即可求解；對于B：利用線面垂直的判定定理即可判斷；對于C：利用勾股定理求出球半徑即可；對于D：直線AB1與下底面所成的角為θ，解三角形即可求解．【解題有法】解：對于A，設(shè)A1，B1在下底面的射影分別為A1′，B1'，則OA平分∠A1'OB1'，所以異面直線O1A1與OA所成的角為π6，故A對于B，易知OO1垂直于底面，所以O(shè)O1⊥A1'B1'，又OA平分∠A1′OB1′，所以O(shè)A⊥A1′B1′，因為OA∩OO1＝O，所以A1'B1'⊥平面O1OA，從而A1B1⊥平面O1OA，故B正確；對于C，設(shè)A1B1的中點為G，G在下底面上的射影為H，上、下兩底面間的距離為d，外接球的半徑為R，則OA＝2，OH=3，AG=所以d2=(3從而所求外接球的表面積為(43+12)π，故對于D，設(shè)直線AB1與下底面所成的角為θ，由上面可知d=23?1，所以sinθ＝23故選：BCD．三．填空題（共4小題）16．【解題有據(jù)】根據(jù)題意，將定義域分為x=?2，x∈(?2，?53)，x∈[?53【解題有法】解：根據(jù)題意，集合A={y|y=f(x)，?2≤x＜?4對于函數(shù)y＝f（x）＝（2x）[3x]，﹣2≤x＜?4當x＝﹣2時，2x＝﹣4，3x＝﹣6，此時f（x）＝（2x）?[3x]＝（﹣4）×（﹣6）＝24，當x∈(?2，?53)時，2x∈(?4，?103)，3x∈(?6，?5)，此時f（當x∈[?53，?32)時，2x∈[?103，?3)，3x∈[?5，?當x∈[?32，?43)時，2x∈[?3，?83)，3x∈[?所以A＝{10，15，18，24}，所以A中元素的和為10+15+18+24＝67．故答案為：67．17．【解題有據(jù)】將事件A+B分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1、2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3、5”．則C，D互斥，轉(zhuǎn)化為求互斥事件概率．【解題有法】解：將事件A+B分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1、2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3、5”．則C，D互斥，且P(C)=13，∴P(A+B)=P(C+D)=P(C)+P(D)=23．故答案為：18．【解題有據(jù)】根據(jù)給定的頻率分布直方圖，利用上四分位數(shù)的定義計算得解．【解題有法】解：網(wǎng)箱產(chǎn)量在[35，45），[35，50）的頻率分別為0.4，0.8，因此75%分位數(shù)x∈（45，50），由0.08（x﹣45）＝0.75﹣0.4，解得x＝49.375，所以所有網(wǎng)箱產(chǎn)量的上四分位數(shù)為49.375kg．故答案為：49.375．19．【解題有據(jù)】由題意得，函數(shù)y＝f（x）是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍．【解題有法】解：因為函數(shù)f(x)=log所以存在[a，b]?D，使得y＝f（x）在[a，b]上的取值范圍是[a由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，y＝f（x）在[a，b]上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(a)=所以5a+t?2=5所以(?1)2?4×(t?2)＞0t?2＞0，解得四、解答題（本大題共3小題，共34分。解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。）20．【解題有據(jù)】（Ⅰ）由三角形的面積可得bc的值，再由余弦定理可得a的值；（Ⅱ）由正弦定理可得sinC的值；（Ⅲ）由二倍角公式可得sin2A，cos2A的hi，再由兩角和的余弦公式，可得cos（2A+π【解題有法】解：（Ⅰ）△ABC的面積為2，c﹣b＝2，cosA=?1可得sinA=1?co所以S△ABC=12bcsinA=12bc將c﹣b＝2兩邊平方，可得b2+c2＝4+2bc＝4+2×3＝10，由余弦定理可得a=b2+（Ⅱ）由b＝c﹣2，所以c（c﹣2）＝3，即c2﹣2c﹣3＝0，解得c＝3，由正弦定理可得：asinA=csinC，即sinC=（Ⅲ）因為cos2A＝2cos2A﹣1＝2×19?1=?79，sin2A＝2sinAcosA＝2×所以cos（2A+π3）＝cos2Acosπ3?sin2Asinπ321．【解題有據(jù)】（1）在平面ABCD內(nèi)過點D作AB的垂線，垂足為H，以D為原點DH為x軸，建立空間直角坐標系，由DC1⊥D1B結(jié)合已知條件求出B點坐標，利用向量坐標運算證明DA→?DB→=0（2）過作AH⊥CD于H，由等體積VC?（3）利用（1）中的空間直角坐標系，設(shè)D1E→=λD1C1→(0≤λ≤1)【解題有法】解：（1）證明：由題，在平面ABCD內(nèi)過點D作AB的垂線，垂足為H，以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標系D﹣xyz，則D（0，0，0），D1(0，0，23)，設(shè)B（a，b，0）（a＞0），則A（a，b﹣4，0），所以D1B→由DC1⊥D1B得D1B→又因為DA＝2，所以a2+(b?4)所以A(3，?1，0)，則DA→=(3，?1，0)，所以DA⊥DB；（2）因為DC＝2DA＝4，由（1）知∠ADB＝90°，所以∠ADC＝120°，如圖，過作AH⊥CD于H，則AH=AD?sin60°=3在直棱柱中平面CC1D1D⊥平面ABCD，平面CC1D1D∩平面ABCD＝DC，AH?平面ABCD，所以AH⊥平面CC1D1D，所以V=1（3）由（1）得平面ABB1A1的一個法向量為n1假設(shè)存在E點滿足條件，設(shè)D1E＝λD1C1（0≤λ≤1），則DE=DD設(shè)平面EBD的一個法向量為n2由n2→?令y2=3，則x2＝﹣3，z2＝﹣2λ