2025年高一升高二數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)講義第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題2025年高一升高二數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)講義第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一．平面向量范圍與最值問題常用方法：1．定義法第一步:利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題第三步:得出結(jié)論2．坐標(biāo)法第一步:根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)第二步:將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步:運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解3．基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論4．幾何意義法第一步:先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡第二步:根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果知識(shí)點(diǎn)二．極化恒等式1．平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：（1）（2）（2）兩式相加得：2．極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式（1）平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的。（2）三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）AABCM知識(shí)點(diǎn)三.在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大.【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：坐標(biāo)法題型三：基底法題型四：幾何意義法題型五：極化恒等式【典型例題】題型一：定義法例1．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，且，則向量在向量方向上的投影的最小值為_________．例2．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））已知中，，，，點(diǎn)P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．-4 B．-2 C．2 D．4例3．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)二模）在梯形中，與相交于點(diǎn)Q．若，則________；若，N為線段延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________．例4．（2022·天津南開·二模）已知平行四邊形中，，，，則________；若，，則的最大值為________．例5．（2022·北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）若，且，則___________，的最大值為___________.例6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中（文））如圖，設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知，c＝1且．(1)求b邊的長(zhǎng)；(2)求△ABC的面積；(3)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段EF交AD于G，且△AEF的面積為△ABC面積的一半，求的最小值．題型二：坐標(biāo)法例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若，設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(2)若，向量，，求的最小值及對(duì)應(yīng)的x值．例8．（2022·甘肅平?jīng)觥じ咭黄谀┮阎妊苯侨切沃校边叺拈L(zhǎng)為，點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)N在線段上，則的最小值為（

）A． B． C． D．例9．（2022·甘肅定西·高一階段練習(xí)）菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)在邊上（包含端點(diǎn)），則的最小值為（

）A． B． C． D．例10．（2022·北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．若為線段的中點(diǎn)，則C．的最小值為D．的最大值比最小值大例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)在以為圓心2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．2例12．（多選題）（2022·云南·昆明一中高一期中）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含邊）內(nèi)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)P在BD上時(shí)，則B．的取值范圍為C．若點(diǎn)P在BD上時(shí)，D．若P，Q在線段BD上，且，則的最小值為1例13．（多選題）（2022·浙江·高一階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．若為線段的中點(diǎn)，則C．的最小值為 D．的最大值比最小值大題型三：基底法例14．（2022·山東臨沂·高一期中）在中，，，，，則__________，若點(diǎn)在線段上，則的最大值為___________．例15．（2022·浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）在梯形中，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn).(1)求；(2)若，求；(3)若，求的最小值；例16．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，則與的夾角大小為___________，若，則的最小值為___________.例17．（2022·北京市第十二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正三角形的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．最大值為6 B．為定值6 C．最小值為3 D．為定值3例18．（2022·天津南開·三模）在等腰梯形中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段和上，且，，當(dāng)__________時(shí)，則有最小值為__________．題型四：幾何意義法例19．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）如圖，圓，圓半徑均為4，兩圓外切于點(diǎn)O，點(diǎn)A是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________，最大值為___________例20．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿足，則的最小值為_________．例21．（2022·浙江·嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高一期中）已知平面向量,若,則在上投影向量的模長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．例22．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知△ABC的外接圓半徑長(zhǎng)為1，則的最小值為（

）A． B． C． D．例23．（2022·遼寧·高一期中）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是正八邊形邊上的一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．題型五：極化恒等式例24．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，，，，，點(diǎn)在邊上，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．例25．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形的邊長(zhǎng)為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8例26．（2022·遼寧·大連二十四中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角中，，為的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段.設(shè)為線段上的點(diǎn)，則的最小值為___________.例27．（2022·湖南·高一階段練習(xí)）已知P是等邊三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·四川省平昌中學(xué)高一階段練習(xí)）若向量的模均為2，且，則的最大值（

）A． B．1 C．2 D．2．（2022·江蘇·無(wú)錫市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2022·上海交大附中高一階段練習(xí)）已知向量、，，，若對(duì)任意單位向量，均有，則的最大值為（

）A． B． C． D．4．（2022·江蘇·東?？h教育局教研室高一期中）已知向量，，當(dāng)取最大值時(shí)，銳角的值為（

）A． B． C． D．5．（2022·貴州黔東南·高一期中）已知向量，，且，，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．7 D．56．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知平面向量均為單位向量，．=0，，則的最大值是（

）A． B． C． D．7．（2022·河北石家莊·高一階段練習(xí)）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的直徑均為均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)P為前輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過(guò)程中，的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．68．（2022·四川·雅安中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，扇形的半徑為1，且，點(diǎn)C在弧上運(yùn)動(dòng)，若，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．29．（2022·北京·人大附中高一階段練習(xí)）如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．為定值16 B．為定值10 C．最大值為8 D．與的位置有關(guān)二、多選題10．（2022·福建·三明一中高一期中）已知，是平面內(nèi)夾角為的兩個(gè)單位向量，向量在該平面內(nèi)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最小值為11．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形，其中，點(diǎn)E在弧上.（

）A． B．若，則C．若，則 D．的最小值為12．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高一期中）已知的重心為G，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則的面積是面積的C．若，，則D．若，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，13．（2022·山西·大同一中高一階段練習(xí)）已知的重心為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則的面積是面積的C．若，，則D．若，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，三、填空題14．（2022·福建·三明市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．以A為圓心，AE為半徑，作圓弧交AD于點(diǎn)F，若P為劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．15．（2022·山東棗莊·高一期中）若是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)滿足，且（其中，），則的最小值為______．16．（2022·寧夏·銀川一中高一期中）已知為等邊三角形，，所在平面內(nèi)的點(diǎn)滿足的最小值為____________．17．（2022·江蘇揚(yáng)州·高一期中）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形，其中，點(diǎn)E在弧上.的最小值為___________18．（2022·上海市七寶中學(xué)高一期中）非零向量滿足，則的最小值為_______.19．（2022·浙江臺(tái)州·高一期中）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，，，若對(duì)任意實(shí)數(shù)，點(diǎn)都滿足，則的最小值為________．20．（2022·上海市第二中學(xué)高一期中）在中，,,有下述三個(gè)結(jié)論：①若G為的重心，則；②若P為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則為定值2；③若M、N為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的編號(hào)________________．21．（2022·北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）已知平面向量滿足與的夾角為，記，則的取值范圍是___________.22．（2022·四川省廣漢中學(xué)高一階段練習(xí)（理））已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為線段上一點(diǎn)（包含端點(diǎn)），則的取值范圍為______．23．（2022·遼寧·沈陽(yáng)市第一二〇中學(xué)高一期中）已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，若點(diǎn)是區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)（不包括邊界），且，則的取值范圍是______．24．（2022·江蘇·鹽城市伍佑中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形ABCD的項(xiàng)點(diǎn)A、B分別在x軸非負(fù)半軸和y軸非負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，AB＝2，BC＝1，設(shè)∠DAx＝θ，若，則的取值范圍為______．25．（2022·湖北荊州·高一期中）在中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，且，，則的取值范圍是__________．26．（2022·湖南·高一期中）已知，，，，點(diǎn)P為平面ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足.（1）已知，則_________；（2）已知，則的取值范圍為_________.第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一．平面向量范圍與最值問題常用方法：1．定義法第一步:利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題第三步:得出結(jié)論2．坐標(biāo)法第一步:根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)第二步:將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步:運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解3．基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論4．幾何意義法第一步:先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡第二步:根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果知識(shí)點(diǎn)二．極化恒等式1．平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：（1）（2）（2）兩式相加得：2．極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式（1）平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的。（2）三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）AABCM知識(shí)點(diǎn)三.在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)。解決這類問題，通常有下列五種解題技巧:(1)利用基本不等式求范圍或最值；(2)利用三角函數(shù)求范圍或最值；(3)利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；(4)根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；(5)利用二次函數(shù)求范圍或最值.要建立所求量(式子)與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量(式子)的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍(也就是函數(shù)的定義域)找完善，避免結(jié)果的范圍過(guò)大.【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：坐標(biāo)法題型三：基底法題型四：幾何意義法題型五：極化恒等式【典型例題】題型一：定義法例1．（2022·浙江省江山中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量滿足，且，則向量在向量方向上的投影的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】由兩邊同時(shí)平方可求的最小值，再根據(jù)向量投影定義求向量在向量方向上的投影的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，所以，因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队盀?，?dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)等號(hào)成立，故向量在向量方向上的投影的最小值為，故答案為：.例2．（2022·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)（理））已知中，，，，點(diǎn)P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．-4 B．-2 C．2 D．4【答案】A【解析】【分析】結(jié)合向量運(yùn)算以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】設(shè),,所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.故選：A例3．（2022·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)二模）在梯形中，與相交于點(diǎn)Q．若，則________；若，N為線段延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_________．【答案】

【解析】【分析】易得四邊形為平行四邊形，設(shè)，再將用表示，根據(jù)共線，求得，再將用表示，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可求出；根據(jù)求得，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可求出答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以且，則可設(shè)，故，因?yàn)楣簿€，所以，解得，所以，因?yàn)?，所以，所以；因?yàn)?，所以，所以，又，所以，因?yàn)?，所以，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，故，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.例4．（2022·天津南開·二模）已知平行四邊形中，，，，則________；若，，則的最大值為________．【答案】

【解析】【分析】由求出，然后由平方后求得，把用表示后求數(shù)量積化為的函數(shù)可得最大值．【詳解】由已知，所以，所以，；因?yàn)?，，所以，，，所以時(shí)，取得最大值．故答案為：；．例5．（2022·北京市十一學(xué)校高一階段練習(xí)）若，且，則___________，的最大值為___________.【答案】

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【解析】【分析】由直接求出；把轉(zhuǎn)化為，即可求出的最大值.【詳解】因?yàn)椋?；因?yàn)?，，?dāng)，即同向時(shí)，等號(hào)成立.所以的最大值是.故答案為：3；.例6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高一期中（文））如圖，設(shè)△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，AD為BC邊上的中線，已知，c＝1且．(1)求b邊的長(zhǎng)；(2)求△ABC的面積；(3)設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，AC上的動(dòng)點(diǎn)，線段EF交AD于G，且△AEF的面積為△ABC面積的一半，求的最小值．【答案】(1)4(2)(3)【解析】【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可；（2）以為基底表示，然后根據(jù)算出，再通過(guò)面積公式計(jì)算面積；（3）設(shè)，利用△AEF的面積為△ABC面積的一半，得到xy＝2，再以為基底分別表達(dá)三點(diǎn)共線和E，G，F(xiàn)三點(diǎn)共線，對(duì)應(yīng)系數(shù)得到的表達(dá)式，然后計(jì)算數(shù)量積的最值.(1)由條件，由正弦定理得：，由余弦定理化簡(jiǎn)可得：4c＝b，又c＝1，所以：b＝4．(2)因?yàn)镈為中點(diǎn)，所以，設(shè)，則，∵，即∴故△ABC的面積為．(3)設(shè)，因?yàn)椤鰽EF的面積為△ABC面積的一半，所以xy＝2，設(shè)，則，又E，G，F(xiàn)共線，所以設(shè)，則，所以：，解得：，則，又，，又xy＝2，所以化簡(jiǎn)可得：，又y≤4，所以，所以，即當(dāng)x＝1時(shí)．題型二：坐標(biāo)法例7．（2022·云南·昆明一中高一期中）在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和點(diǎn)，，且，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若，設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；(2)若，向量，，求的最小值及對(duì)應(yīng)的x值．【答案】(1)(2)最小值為，【解析】【分析】（1）設(shè)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)從而得出的坐標(biāo)，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)計(jì)算公式即可得，即可求出的最小值；（2）由題意得，再根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角恒等變換可得，即可解出．(1)設(shè)，又，所以所以，所以當(dāng)時(shí)，最小值為．(2)由題意得，，，則因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值1．所以時(shí)，取得最小值．所以的最小值為，此時(shí)．例8．（2022·甘肅平?jīng)觥じ咭黄谀┮阎妊苯侨切沃?，斜邊的長(zhǎng)為，點(diǎn)M是線段上一點(diǎn)，且，點(diǎn)N在線段上，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，再設(shè)，得出，結(jié)合求解二次函數(shù)的最小值即可【詳解】以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示．因?yàn)?，?設(shè)，因?yàn)楣簿€，則，∴，∴，其中．則，故，因?yàn)閷?duì)稱軸，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，且，即的最小值為，故選：B例9．（2022·甘肅定西·高一階段練習(xí)）菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)在邊上（包含端點(diǎn)），則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)，以為原點(diǎn)，、所在直線為、軸建立直角坐標(biāo)系，，其中，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】如圖：設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危瑒t，以為原點(diǎn)，、所在直線為、軸建立直角坐標(biāo)系，易得，、、，設(shè)，，其中，則，所以，，，，，則，所以，當(dāng)時(shí)，取最小值．故選：C.例10．（2022·北京市海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．B．若為線段的中點(diǎn)，則C．的最小值為D．的最大值比最小值大【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，作出輔助線，利用相似求出邊長(zhǎng)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而利用向量解決四個(gè)選項(xiàng).【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥x軸于點(diǎn)G，作CH⊥y軸于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CH交HC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，則，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，則，，則，即，解得：或（舍去），則，，，A說(shuō)法正確；若為線段的中點(diǎn)，則，所以，則，解得：，則，B說(shuō)法正確；設(shè)，則，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，故最小值為，C選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤；，則，因?yàn)?，則，所以，解得：，，所以的最大值比最小值大，D說(shuō)法正確.故選：C例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)在以為圓心2為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，且，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，建立直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)，并設(shè)，則，求出向量的數(shù)量積，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，即，設(shè)(其中)，則，所以，因?yàn)?，則，可得，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取的最小值，最小值為.故選：B.例12．（多選題）（2022·云南·昆明一中高一期中）在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，P，Q在正方形（含邊）內(nèi)，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)P在BD上時(shí)，則B．的取值范圍為C．若點(diǎn)P在BD上時(shí)，D．若P，Q在線段BD上，且，則的最小值為1【答案】ACD【解析】【分析】利用向量共線定理推論可判斷A，利用向量的線性運(yùn)算幾何表示可判斷B，利用向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律可判斷C，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)镻在在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD（含邊）內(nèi)，且，所以，則，故B錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)P在BD上時(shí)，，所以，故C正確；若P，Q在線段BD上，且，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值為1，故D正確.故選：ACD.例13．（多選題）（2022·浙江·高一階段練習(xí)）如圖，在四邊形中，，為線段的中點(diǎn)，為線段上一動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．若為線段的中點(diǎn)，則C．的最小值為 D．的最大值比最小值大【答案】ABD【解析】【分析】如圖1，補(bǔ)全圖形，則在直角中，求得相應(yīng)線段長(zhǎng)度判斷A，再建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法依次討論BCD即可得答案.【詳解】解：如圖1，補(bǔ)全圖形，則在直角中，，則，，，又，所以，A正確；故以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向?yàn)檩S建立平面直角坐標(biāo)系，如圖2.所以，，所以，當(dāng)為線段的中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)，故由得，解得，故，B正確；，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故C錯(cuò)誤；，故由得，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，時(shí)，取得最大值，故，D正確.故選：ABD題型三：基底法例14．（2022·山東臨沂·高一期中）在中，，，，，則__________，若點(diǎn)在線段上，則的最大值為___________．【答案】

##1.5【解析】【分析】利用向量，則，關(guān)鍵是求出，用和表示，，結(jié)合可求出，即可求解；再根據(jù)點(diǎn)在線段上可設(shè)，，用和表示，，根據(jù)的范圍即可求解.【詳解】由題，因?yàn)?，所以，又，則，因?yàn)?，，則，因?yàn)椋瑒t，所以，所以；因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，的最大值為，故答案為：；.例15．（2022·浙江師范大學(xué)附屬中學(xué)高一期末）在梯形中，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn).(1)求；(2)若，求；(3)若，求的最小值；【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，所以，求解計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意得，所以；（3）根據(jù)題意得，且，再分析單調(diào)性求解即可.(1)因?yàn)?，所以，所以，所?(2)由（1）知，，因?yàn)?，所以，所以，所?(3)因?yàn)?，，則，因?yàn)?，解得，設(shè)，，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值：.例16．（2022·北京市第十二中學(xué)三模）為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為2，則與的夾角大小為___________，若，則的最小值為___________.【答案】

##

【解析】【分析】根據(jù)平面向量夾角的定義直接得出結(jié)果；根據(jù)題意可知E為AC的中點(diǎn)，利用平面向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算可得，結(jié)合平面向量夾角的范圍即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，如圖，由為等比三角形，得，所以；因?yàn)?，所以點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，則，又，所以，，又，所以，所以.故答案為：；.例17．（2022·北京市第十二中學(xué)高一階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為2的正三角形的邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．最大值為6 B．為定值6 C．最小值為3 D．為定值3【答案】B【解析】【分析】設(shè),根據(jù)向量的加減運(yùn)算表示出，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律，可求得答案.【詳解】設(shè)，則，則,故，故選：B例18．（2022·天津南開·三模）在等腰梯形中，已知，，，，動(dòng)點(diǎn)E和F分別在線段和上，且，，當(dāng)__________時(shí)，則有最小值為__________．【答案】

【解析】【分析】先求出，，，，則，代入結(jié)合均值不等式即可求出答案.【詳解】因?yàn)樵诘妊菪沃?，已知，，，，可知，所以，，，，則.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，即最小值．故答案為：；.題型四：幾何意義法例19．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）如圖，圓，圓半徑均為4，兩圓外切于點(diǎn)O，點(diǎn)A是圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)B是圓上任意一點(diǎn)，則的最小值為___________，最大值為___________【答案】

-64

8【解析】【分析】由題容易分析出當(dāng)都為直徑時(shí)，取得最小值；的最大值，可以用數(shù)量積的幾何意義和基本不等式求解.【詳解】當(dāng)都為直徑時(shí)，的模長(zhǎng)同時(shí)取最大值8，且夾角余弦值取到最小值-1，所以的最小值為；要求的最大值，顯然夾角為銳角，由平面向量數(shù)量積的定義，等于乘以在方向上的投影，如圖，對(duì)于給定的，當(dāng)且僅當(dāng)圓在點(diǎn)處的切線垂直于時(shí)，最大易知，作垂足為，垂足為設(shè)，則則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等.故答案為：-64；8.例20．（2022·浙江嘉興·模擬預(yù)測(cè)）平面向量滿足，則的最小值為_________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，利用平面向量的幾何意義及平面向量等和線定理進(jìn)行求解.【詳解】由題記，則由，得，且．作圖，如右圖所示：為正三角形，，由，得C在直線上，又∵，∴，即點(diǎn)D在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的圓上，∴．故答案為：．例21．（2022·浙江·嘉興市第五高級(jí)中學(xué)高一期中）已知平面向量,若,則在上投影向量的模長(zhǎng)的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】利用這個(gè)條件把向量的終點(diǎn)放在單位圓上，固定，從而就可以讓運(yùn)動(dòng)起來(lái)，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合求解【詳解】如圖,以為原點(diǎn),向量所在直線為軸,建立如圖平面直角坐標(biāo)系向量的終點(diǎn)在單位圓上即點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng),為在上的投影由圖知,當(dāng)直線BE與圓下方相切時(shí),最小設(shè)直線BE與軸交點(diǎn)為在中,所以在Rt中,,所以即在上的投影最小值為5所以在上的投影最小值為故選:D例22．（2022·安徽·合肥一六八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））已知△ABC的外接圓半徑長(zhǎng)為1，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先分析取最小值的狀態(tài)，結(jié)合數(shù)量積的意義和二次函數(shù)可求答案.【詳解】由題意，為鈍角時(shí)，取到最小值；如圖，為的中點(diǎn)，在上的投影向量為；由可知當(dāng)在上的投影長(zhǎng)最長(zhǎng)時(shí)，即與圓相切時(shí)，可取到最小值；，當(dāng)時(shí)，，所以的最小值為.故選：B.例23．（2022·遼寧·高一期中）《易經(jīng)》是闡述天地世間關(guān)于萬(wàn)象變化的古老經(jīng)典，如圖所示的是《易經(jīng)》中記載的幾何圖形——八卦圖．圖中正八邊形代表八卦，中間的圓代表陰陽(yáng)太極圖，其余八塊面積相等的圖形代表八卦田．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是正八邊形邊上的一點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，計(jì)算出，分析可知當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在方向上的射影取最大值，結(jié)合平面向量數(shù)量積的幾何意義可求得結(jié)果.【詳解】過(guò)點(diǎn)作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，觀察圖形可知，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，在方向上的射影取最大值，且，則，所以，，故的最大值為.故選：C.題型五：極化恒等式例24．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，，，，，點(diǎn)在邊上，則的最大值為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】C【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，將向量用坐標(biāo)表示，又可將轉(zhuǎn)化為，即可求出的最大值【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，，，.連接，設(shè)線段的中點(diǎn)為，連接，則，.連接，，因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，所以，又，，所以，所以的最大值為.故選：C例25．（2022·北京·人大附中模擬預(yù)測(cè)）窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)．圖1是一張由卷曲紋和回紋構(gòu)成的正六邊形前紙窗花．圖2中正六邊形的邊長(zhǎng)為4，圓的圓心為該正六邊形的中心，圓的半徑為2，圓的直徑，點(diǎn)在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【解析】【分析】計(jì)算得出，求出的取值范圍，由此可求得的取值范圍，從而可得最小值.【詳解】如下圖所示，由正六邊形的幾何性質(zhì)可知，、、、、、均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)位于正六邊形的頂點(diǎn)時(shí)，取最大值，當(dāng)點(diǎn)為正六邊形各邊的中點(diǎn)時(shí)，取最小值，即，所以，.所以，.的最小值為.故選：D.例26．（2022·遼寧·大連二十四中模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等腰直角中，，為的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到線段.設(shè)為線段上的點(diǎn)，則的最小值為___________.【答案】##-0.5【解析】【分析】根據(jù)題意，，，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】連接MD，則，，所以，由于為等腰直角三角形，為線段上的點(diǎn)，因此，所以，即的最小值為.故答案為：.例27．（2022·湖南·高一階段練習(xí)）已知P是等邊三角形ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且，，則的最小值是（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【解析】【分析】作出輔助線，利用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積運(yùn)算法則得到，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)B，P，O三點(diǎn)共線時(shí)，PO取得最小值2，從而求出最小值.【詳解】設(shè)AC中點(diǎn)為O，連接OB，則OB＝3，因?yàn)?，所以P點(diǎn)在以B為圓心，1為半徑的圓上，所以，顯然，當(dāng)B，P，O三點(diǎn)共線時(shí)，PO取得最小值2，．故選：A【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·四川省平昌中學(xué)高一階段練習(xí)）若向量的模均為2，且，則的最大值（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算率，將展開，可得，然后根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，即，故選：C2．（2022·江蘇·無(wú)錫市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知向量，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用向量公式求出向量與的夾角及模長(zhǎng)，利用三角形面積公式求得面積，運(yùn)用三角函數(shù)性質(zhì)求得最值.【詳解】，,，其中，故，，故當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取最大值為.故選：C.3．（2022·上海交大附中高一階段練習(xí)）已知向量、，，，若對(duì)任意單位向量，均有，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】由，得恒成立，從而可得，再結(jié)合，即可求解【詳解】因?yàn)?，所以，所以恒成立，所以恒成立，所以，所以，所以，所以的最大值為，故選：A4．（2022·江蘇·東?？h教育局教研室高一期中）已知向量，，當(dāng)取最大值時(shí)，銳角的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先表示出，由輔助角公式得，結(jié)合正弦函數(shù)的最大值即可求解.【詳解】，當(dāng)時(shí)，取最大值2.故選：C.5．（2022·貴州黔東南·高一期中）已知向量，，且，，則的最大值為（

）A．1 B．3 C．7 D．5【答案】D【解析】【分析】利用數(shù)量積及余弦函數(shù)的性質(zhì)可求模的最大值.【詳解】設(shè)向量，的夾角為，則．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)即，共線反向時(shí)等號(hào)成立，∴的最大值為5．故選：D.6．（2022·河南·南陽(yáng)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知平面向量均為單位向量，．=0，，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】把模轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算后結(jié)合已知可得．【詳解】由題意，所以，，所以的最大值為1．故選：C．7．（2022·河北石家莊·高一階段練習(xí)）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓A（前輪），圓D（后輪）的直徑均為均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)P為前輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過(guò)程中，的最大值為（

）A．2 B．4 C． D．6【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，表示出的表達(dá)式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，求得答案.【詳解】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，過(guò)A作的垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，圓A的方程為，可設(shè)，所以，故，所以當(dāng)，即時(shí)，的最大值為6，故選：D．8．（2022·四川·雅安中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，扇形的半徑為1，且，點(diǎn)C在弧上運(yùn)動(dòng)，若，則的最大值是（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意將，兩邊同時(shí)平方可得，再三角代換，利用三角函數(shù)的值域求法即可解出．【詳解】由題意得，，，，由，等式兩邊同時(shí)平方，得，所以，令，則，則，其中，因?yàn)?，所以，所以，即的最大值?故選：B．9．（2022·北京·人大附中高一階段練習(xí)）如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．為定值16 B．為定值10 C．最大值為8 D．與的位置有關(guān)【答案】A【解析】【分析】結(jié)合向量運(yùn)算求得正確答案.【詳解】，設(shè)，，.故選：A二、多選題10．（2022·福建·三明一中高一期中）已知，是平面內(nèi)夾角為的兩個(gè)單位向量，向量在該平面內(nèi)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．的最小值為【答案】BD【解析】【分析】令，，設(shè)，然后根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算逐項(xiàng)分析即可.【詳解】因?yàn)?，是平面?nèi)夾角為的兩個(gè)單位向量，所以設(shè)，，設(shè)，又因?yàn)?，所以，則,，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，，所以不一定等于0，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選：BD.11．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形，其中，點(diǎn)E在弧上.（

）A． B．若，則C．若，則 D．的最小值為【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)先利用，再按照數(shù)量積運(yùn)算即可；B選項(xiàng)由平行四邊形法則即可判斷；C選項(xiàng)通過(guò)解方程組即可；D選項(xiàng)先表示出，再結(jié)合正弦函數(shù)的范圍求出最小值.【詳解】，A錯(cuò)誤；由知，E為弧的中點(diǎn)，又，由平行四邊形法則可知?jiǎng)t，故，B正確.由知，，設(shè)，則解得故，C正確.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，D正確.故選：BCD.12．（2022·江蘇·揚(yáng)州中學(xué)高一期中）已知的重心為G，點(diǎn)E是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則的面積是面積的C．若，，則D．若，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)三角形重心的向量性質(zhì)判斷A，由向量的線性運(yùn)算求得與的關(guān)系，判斷B，由數(shù)量積的定義計(jì)算判斷C，設(shè)，計(jì)算數(shù)量積后求最小值，從而可計(jì)算出判斷D．【詳解】因?yàn)榈闹匦臑镚，所以，所以，A錯(cuò)；，B正確；，，是等腰三角形，，是銳角，，，，C正確；設(shè)，，，所以時(shí)，取得最小值，此時(shí)，D正確．故選：BCD．13．（2022·山西·大同一中高一階段練習(xí)）已知的重心為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．若，則的面積是面積的C．若，，則D．若，，則當(dāng)取得最小值時(shí)，【答案】AC【解析】【分析】利用平面向量的基底表示，結(jié)合重心的性質(zhì)，判斷選項(xiàng)AB，利用余弦定理計(jì)算角，根據(jù)平面向量的基底表示計(jì)算向量的數(shù)量積，從而判斷選項(xiàng)CD.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，則，則，即，由重心性質(zhì)可知成立，故A正確；，則，即，所以為邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則的面積是面積的，故B錯(cuò)誤；在中，由余弦定理得，則，故C正確；由余弦定理得，所以，則當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】一般計(jì)算平面向量的數(shù)量積時(shí)，如果不能采用定義或者坐標(biāo)公式運(yùn)算時(shí)，可利用向量的基底表示，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則將所求向量表示為已知向量的和或差進(jìn)行計(jì)算.三、填空題14．（2022·福建·三明市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．以A為圓心，AE為半徑，作圓弧交AD于點(diǎn)F，若P為劣弧EF上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用坐標(biāo)運(yùn)算求出，再利用輔助角公式即可求解.【詳解】解：如圖所示：建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由題意可設(shè)：，則，，，其中，∴的最小值為.故答案為：.15．（2022·山東棗莊·高一期中）若是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，點(diǎn)滿足，且（其中，），則的最小值為______．【答案】##【解析】【分析】利用模的運(yùn)算公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值.【詳解】依題意（其中，），，所以當(dāng)，時(shí)，取得最小值為.故答案為：16．（2022·寧夏·銀川一中高一期中）已知為等邊三角形，，所在平面內(nèi)的點(diǎn)滿足的最小值為____________．【答案】##【解析】【分析】構(gòu)造不等式去求的最小值【詳解】則（當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)等號(hào)成立）故答案為：17．（2022·江蘇揚(yáng)州·高一期中）折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹?zhàn)錾让娴哪苷郫B的扇子，如圖1.其平面圖如圖2的扇形，其中，點(diǎn)E在弧上.的最小值為___________【答案】?132##-6.5【解析】【分析】設(shè)，，則，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算律和定義，將化為關(guān)于的函數(shù)，利用三角函數(shù)知識(shí)可求出最小值.【詳解】設(shè)，，則，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以的最小值?故答案為：18．（2022·上海市七寶中學(xué)高一期中）非零向量滿足，則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量三角式，結(jié)合一元二次不等式解集的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因此有，于是有，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.19．（2022·浙江臺(tái)州·高一