秘籍06平面向量四大定理概率預(yù)測(cè)☆☆☆☆題型預(yù)測(cè)選擇題、填空題☆☆☆☆考向預(yù)測(cè)投影向量與向量的投影的區(qū)別平面向量是近幾年小題的熱點(diǎn)必考題型，主要考察學(xué)生對(duì)于向量的轉(zhuǎn)化也就是基底思想的熟練程度，包含了對(duì)于復(fù)雜知識(shí)的簡單化也就是化歸與轉(zhuǎn)化的思想的掌握。近幾年的向量也出現(xiàn)過單選的壓軸題，考察的大多為向量的三大定理之一。還有新教材新加的投影向量也是今年的熱門知識(shí)點(diǎn)。【題型一】奔馳定理為內(nèi)一點(diǎn)，，則.重要結(jié)論：，，.結(jié)論1：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)，若、、的面積分別為、、，則：.即三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，權(quán)系數(shù)分別為向量所對(duì)的三角形的面積.結(jié)論2：對(duì)于平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，若點(diǎn)在的外部，并且在的內(nèi)部或其對(duì)頂角的內(nèi)部所在區(qū)域時(shí)，則有.結(jié)論3：對(duì)于內(nèi)的任意一點(diǎn)，若，則、、的面積之比為.即若三角形內(nèi)共點(diǎn)向量的線性加權(quán)和為零，則各向量所對(duì)的三角形面積之比等于權(quán)系數(shù)之比.結(jié)論4：對(duì)于所在平面內(nèi)不在三角形邊上的任一點(diǎn)，，則、、的面積分別為.1.設(shè)點(diǎn)在的內(nèi)部，且，若的面積是27，則的面積為（）A．9 B．8 C． D．72.在中，為其內(nèi)部一點(diǎn)，且滿足，則和的面積比是（）A．3：4 B．3:2 C．1:1 D．1:33.在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心1．（2021·四川涼山·統(tǒng)考三模）如圖，為內(nèi)任意一點(diǎn)，角，，的對(duì)邊分別為，，.總有優(yōu)美等式成立，因該圖形酷似奔馳汽車車標(biāo)，故又稱為奔馳定理.現(xiàn)有以下命題：①若是的重心，則有；②若成立，則是的內(nèi)心；③若，則；④若是的外心，，，則.則正確的命題有___________.2．（2022·全國·模擬預(yù)測(cè)）在中，點(diǎn)是的重心，過點(diǎn)作直線分別交線段，于點(diǎn)，（，不與的頂點(diǎn)重合），則的最小值為___________.（多選）3．（2021·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知點(diǎn)G為的重心，點(diǎn)D，E分別為AB，AC上的點(diǎn)，且D，G，E三點(diǎn)共線，，，，，記，，四邊形BDEC的面積分別為，，，則（）A． B． C． D．【題型二】極化恒等式基礎(chǔ)知識(shí)：簡化：在△中，是邊的中點(diǎn)，則.1.已知△是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是（）2.在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則的值是________.3.已知球的半徑為1，是球面上的兩點(diǎn)，且，若點(diǎn)是球面上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是A．B．C．D．4.如圖，已知正方形的邊長為2，為的中點(diǎn)，以為圓心，為半徑，作圓交于點(diǎn)，若為劣弧上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是____________.1．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）在邊長為2的等邊三角形中，為邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．2．（2022春·安徽合肥·高一合肥市第六中學(xué)校聯(lián)考期中）的外接圓的圓心為，滿足且，，，則（

）．A．36 B．24 C． D．3．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知直線：與圓：交于A，B兩點(diǎn)，Р為圓О上一點(diǎn)，當(dāng)弦長AB最小時(shí)，則的最大值為（

）A． B．C． D．【題型三】等和線等和線原理：1.如圖，中，是斜邊上一點(diǎn)，且滿足：,點(diǎn)在過點(diǎn)的直線上，若,,則的最小值為（）A．2B．C．3D．2.設(shè)，，是平面內(nèi)共線的三個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)是，，所在直線外任意-點(diǎn)，且滿足，若點(diǎn)在線段的延長線上，則（）A．， B．， C． D．3.如圖，∠BAC=2π3，圓M與AB、AC分別相切于點(diǎn)D、E，AD=1，點(diǎn)P是圓M及其內(nèi)部任意一點(diǎn)，且AP=xA．1,4+23B．4?23,4+23C．1．（2023春·安徽馬鞍山·高一馬鞍山市紅星中學(xué)?？计谥校┰诰匦蜛BCD中，，，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)A為圓心的單位圓上．若，則的最大值為（

）A．3 B． C． D．22．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在正方形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過，，到達(dá)，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．（多選）3．（2023·廣東深圳·深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長分別為a，b，c，已知，，的面積S滿足，點(diǎn)O為的外心，滿足，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【題型四】投影向量與向量的投影1.向量在方向上的投影：設(shè)為、的夾角，則為在方向上的投影.2.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量.當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為；當(dāng)時(shí)投影為.3.向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在方向上投影的乘積.1．（2023·云南昆明·昆明市第三中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知非零向量滿足，且向量在向量方向的投影向量是，則向量與的夾角是（

）A． B． C． D．2．（2023·湖南·校聯(lián)考二模）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．（多選）3．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）已知向量，，，則下列命題正確的是（

）A．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)， B．在上的投影向量為C．存在θ，使得 D．存在θ，使得（多選）1．（2023·福建·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知向量，，則（

）A． B．C．在上的投影向量是 D．在上的投影向量是2．（2023·安徽安慶·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知平面向量，滿足，，且，的夾角大小為，則在方向上的投影向量的坐標(biāo)為__________．3．（2023·青海西寧·統(tǒng)考二模）已知向量，滿足，，，則在上的投影為___________.高考模擬練習(xí)1．（2023·安徽·校聯(lián)考二模）如圖，在中，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AD上靠近D，A的三等分點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．（2023·山東濰坊·校考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，△ABC是邊長為8的等邊三角形，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，EF是以B為圓心，3為半徑的圓的直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2022·安徽·蕪湖一中校聯(lián)考三模）平面上有及其內(nèi)一點(diǎn)O，構(gòu)成如圖所示圖形，若將，，的面積分別記作，，，則有關(guān)系式．因圖形和奔馳車的很相似，常把上述結(jié)論稱為“奔馳定理”．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若滿足，則O為的（

）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心4．（2022秋·江西贛州·高三校聯(lián)考期中）奔馳定理：已知點(diǎn)O是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”．如圖，已知O是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．5．（2022春·河南安陽·高一統(tǒng)考期末）已知是內(nèi)的一點(diǎn)，若的面積分別記為，則.這個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.如圖，已知是的垂心，且，則（

）A． B． C． D．6．（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形中，E為邊上一點(diǎn)，且，與相交于F.若，則___________.7．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）已知，點(diǎn)D滿足，點(diǎn)E為線段CD上異于C，D的動(dòng)點(diǎn)，若，則的取值范圍是_________.8．（2019·四川眉山·仁壽一中?？家荒＃┤鐖D，在平面四邊形中，，，，若點(diǎn)為邊