2025年高二升高三數(shù)學暑假培優(yōu)講義第04講空間向量及其運算含答案第04講空間向量及其運算【知識點梳理】知識點一：空間向量的有關(guān)概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點詮釋：（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點二：空間向量的線性運算(1)向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點詮釋：（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并；（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識點三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。知識點四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進而證面面平行）。知識點五：空間向量數(shù)量積的運算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點詮釋：（1）由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識點六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當a⊥b時，a·b＝0.知識點七：夾角問題1.定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2.利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角。知識點八：空間向量的長度定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2.利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解。【題型歸納目錄】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算題型二：共線向量定理的應用題型三：共面向量及應用題型四：空間向量的數(shù)量積題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度【典型例題】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算1．（2022·全國·高二課時練習）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．空間向量不可以平行移動C．如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量2．（2022·全國·高二課時練習）下列命題為真命題的是（

）A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若，則?的長度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個非零向量與滿足，則.3．（2022·全國·高二課時練習）化簡所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高二課時練習）正六棱柱中，設，，，那么等于（

）A． B． C． D．5．（2022·福建省福安市第一中學高二階段練習）如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．（多選題）6．（2022·福建寧德·高二期中）如圖正四棱柱，則下列向量相等的是（

）A．與 B．與C．與 D．與7．（2022·全國·高二課時練習）在長方體中，若，，，則與有相等模的向量共有______個．8．（2022·全國·高二課時練習）若、、、為空間不同的四點，則下列各式為零向量的序號是_______．①；②；③；④．9．（2022·全國·高二課時練習）化簡算式：______．10．（2022·全國·高二課時練習）已知為正方體且，，，則______．11．（2022·全國·高二課時練習）平行六面體中，若，，，那么______．12．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在長方體中，E為棱上任意一點.只考慮以長方體的八個頂點及點E的兩點為始點和終點的向量，分別寫出：(1)的相等向量，的負向量；(2)用另外兩個向量的和或差表示；(3)用三個或三個以上向量的和表示（舉兩個例子）.13．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在以長方體的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中．(1)試寫出與相等的所有向量；(2)試寫出的相反向量．14．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC?BD?EF，點E?F?G分別是BC?CD?DB的中點，請化簡下列算式，并標出化簡得到的向量.(1)；(2).題型二：共線向量定理的應用1．（2022·全國·高二課時練習）已知空間四邊形ABCD，點E?F分別是AB與AD邊上的點，M?N分別是BC與CD邊上的點，若，，，，則向量與滿足的關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高二課時練習）若，，，則??（

）A．可組成銳角三角形 B．可組成直角三角形C．可組成鈍角三角形 D．不構(gòu)成三角形3．（2022·全國·高二）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對4．（2022·全國·高二）下列命題中正確的是（

）.A．若與共線，與共線，則與共線.B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．若兩個非零空間向量與滿足，則D．若，則存在唯一的實數(shù)，使5．（2022·江蘇·高二課時練習）（多選題）下列命題中不正確的是（

）A．若與共線，與共線，則與共線B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．若兩個非零空間向量，，滿足，則∥D．若∥，則存在唯一的實數(shù)λ，使=λ6．（2022·全國·高二課時練習）在正方體中，點E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心，若，則______．7．（2022·江蘇·高二課時練習）設是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)______．．8．（2022·全國·高二課時練習）已知A，B，C三點共線，則對空間任一點O，存在三個不為0的實數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值為________.9．（2022·全國·高二課時練習）已知非零向量，不共線，則使與共線的的值是________．10．（2022·全國·高二課時練習）如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點，判斷與是否共線？11．（2022·湖南·高二課時練習）如圖，已知M，N分別為四面體A－BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點共線．12．（2022·湖南·高二課時練習）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．題型三：共面向量及應用1．（2022·上海市控江中學高二期中）下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．2．（2022·江蘇常州·高二期中）對于空間任意一點，若，則A，B，C，P四點（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．與點位置有關(guān)3．（2022·江蘇·高二課時練習）A，B，C三點不共線，對空間內(nèi)任意一點O，若，則P，A，B，C四點（

）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷是否共面4．（2022·江蘇· 高二期中）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（

）A． B． C． D．5．（2022·全國·高二課時練習）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（

）A．2 B． C．1 D．6．（2022·全國·高二課時練習）已知是不共面向量，，若三個向量共面，則實數(shù)等于_________．7．（2022·全國·高二課時練習）O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且，若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)t＝______．8．（2022·全國·高二課時練習）已知是空間任一點，四點滿足任三點均不共線，但四點共面，且，則________.9．（2022·江蘇·高二課時練習）如圖四棱錐中，四邊形為菱形，，則______．10．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，點為的重心，點在上，且，過點任意作一個平面分別交線段，，于點，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.11．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量，，，.(1)求證：四點共面；(2)平面平面.12．（2022·全國·高二課時練習）在長方體中，E是棱的中點，O是面對角線與的交點．試判斷向量與、是否共面．13．（2022·全國·高二課時練習）已知向量不共面，并且，判斷向量是否共面，并說明理由．14．（2022·湖南·高二課時練習）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，并且使．求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面．題型四：空間向量的數(shù)量積1．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點，則的值為（

）A．1 B． C． D．（多選題）2．（2022·全國·高二課時練習）設，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．3．（2022·全國·高二課時練習）在棱長為2的正四面體中，點滿足，點滿足，則點與平面的位置關(guān)系是______；當最小且最小時，______．4．（2022·全國·高二課時練習）化簡：________.5．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學高二階段練習）在三棱錐中，已知，，，則___________6．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二期中）已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于1，點，分別是，的中點，則的值為_________.7．（2022·全國·高二單元測試）在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當最短時，_______．8．（2022·全國·高二課時練習）已知空間四邊形中，，則______．9．（2022·全國·高二課時練習）三棱錐中，，，，則______．10．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，若E?F分別是AB?AD的中點，則___________，___________，___________，___________.11．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．12．（2022·江蘇·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．13．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體中，G、H分別是側(cè)面和的中心．設，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判斷與是否垂直．題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角1．（2022·全國·高二）在正四面體中，、分別為棱、中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·荊門市龍泉中學高二期中）在平行六面體中，，，，，則（

）A． B． C．0 D．3．（2022·湖南·高二期末）如圖所示，平行六面體中，，，若線段，則（

）A．30° B．45° C．60° D．90°4．（2022·江蘇·高二課時練習）已知空間向量滿足，，則與的夾角為（

）A．30° B．45°C．60° D．以上都不對5．（2022·全國·高二課時練習）如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（

）A．B．C．向量與的夾角是D．與所成角的余弦值為6．（2022·全國·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.7．（2022·河南濮陽·高二開學考試（理））空間四邊形，，，則的值為__________．8．（2022·全國·高二課時練習）如圖，正方體的棱長是，和相交于點．(1)求；(2)求與的夾角的大??；(3)判斷與是否垂直．9．（2022·福建省連城縣第一中學高二階段練習）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長度為4，且.用向量法求:(1)的長;(2)直線與所成角的余弦值.10．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學校高二期末）平行六面體，(1)若，，，，，，求長；(2)若以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．11．（2022·全國·高二課時練習）已知是空間向量，根據(jù)下列各條件分別求：(1)；(2)；(3)；(4).12．（2022·全國·高二課時練習）已知都是空間向量，且，求.13．（2022·全國·高二課時練習）已知在平行六面體中，，，，且.（1）求的長；（2）求與夾角的余弦值.14．（2022·全國·高二課時練習）如圖，平行六面體中，，，與AB、AD的夾角都為求：（1）的長；

（2）與AC所成的角的余弦值．題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度1．（2022·遼寧·遼河油田第一高級中學高二期末）在平形六面體中，其中，，，，，則的長為（

）A． B． C． D．2．（2022·湖北·高二期末）若、、為空間三個單位向量，，且與、所成的角均為，則（

）A．5 B． C． D．（多選題）3．（2022·全國·高二）在四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，，則下列選項正確的是（

）A． B．C．若，則 D．若直線與交于點O，則4．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））如圖，在平行六面體中，，，，，，點為棱的中點，則線段的長為______．5．（2022·江蘇省響水中學高二期中）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為__________.6．（2022·全國·高二課時練習）設空間中有四個互異的點A?B?C?D，若，則的形狀是___________.7．（2022·四川·南部縣第二中學高二階段練習（理））已知空間向量??是兩兩互相垂直的單位向量，=___________.8．（2022·江蘇·揚州中學高二期中）在平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長度都為，且兩兩夾角為，則的長為________.9．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二階段練習）如圖：二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，則的長等于__________.10．（2022·浙江·義烏市商城學校高二階段練習）如圖，二面角等于，A、是棱l上兩點，BD、AC分別在半平面、內(nèi)，，，且，則CD的長等于________.11．（2022·遼寧丹東·高二期末）六面體的所有棱長都為2，底面ABCD是正方形，AC與BD的交點是O，若，則___________.12．（2022·江蘇宿遷·高二階段練習）如圖，三棱柱中，，，點，分別在和上，且滿足，.(1)證明：平面；(2)若為中點，求的長.13．（2022·全國·高二課時練習）已知三個平面兩兩垂直且交于點O，若空間一點P到三個平面的距離分別為2，3，6，則線段OP的長度為多少？14．（2022·湖南·高二課時練習）如圖，已知平行六面體中，，，，，求的長．15．（2022·全國·高二課時練習）如圖，已知在平面內(nèi)，D是斜邊的中點，，且O到平面的距離為，，，求線段的長.16．（2022·浙江·樂清市第二中學高二階段練習）如圖，棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形），是棱的中點，點在線段上，點在線段上，且，.(1)用向量，，表示；(2)求.第04講空間向量及其運算【知識點梳理】知識點一：空間向量的有關(guān)概念1．空間向量(1)定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．(2)長度或模：空間向量的大?。?3)表示方法：①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點是A，終點是B，也可記作：eq\o(AB,\s\up8(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up8(→))|.知識點詮釋：（1）空間中點的一個平移就是一個向量；（2）數(shù)學中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2．幾類常見的空間向量名稱方向模記法零向量任意00單位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－aeq\o(AB,\s\up8(→))的相反向量：eq\o(BA,\s\up8(→))相等向量相同相等a＝b知識點二：空間向量的線性運算(1)向量的加法、減法空間向量的運算加法eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝a＋b減法eq\o(CA,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝a－b加法運算律①交換律：a＋b＝b＋a②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)(2)空間向量的數(shù)乘運算①定義：實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當λ>0時，λa與向量a方向相同；當λ<0時，λa與向量a方向相反；當λ＝0時，λa＝0；λa的長度是a的長度的|λ|倍．②運算律結(jié)合律：λ(μa)＝μ(λa)＝(λμ)a.分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.知識點詮釋：（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結(jié)合律，這樣就可以自由結(jié)合運算，可以將向量合并；（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．（3）空間向量加法的運算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，即：因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉(zhuǎn)化為首尾相接的向量；②首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，即：；知識點三：共線問題共線向量(1)定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．(2)方向向量：在直線l上取非零向量a，與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.(3)共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.(4)如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數(shù)乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數(shù)λ，使得eq\o(OP,\s\up8(→))＝λa.知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．（3）共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。知識點四：向量共面問題共面向量(1)定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．(2)共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).（4）共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進而證面面平行）。知識點五：空間向量數(shù)量積的運算空間向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0.(2)常用結(jié)論(a，b為非零向量)①a⊥b?a·b＝0.②a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝|a|2.③cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|).(3)數(shù)量積的運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c知識點詮釋：（1）由于空間任意兩個向量都可以轉(zhuǎn)化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．（2）兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果是數(shù)而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．（3）兩個向量的數(shù)量積是兩向量的點乘，與以前學過的向量之間的乘法是有區(qū)別的，在書寫時一定要將它們區(qū)別開來，不可混淆．知識點六：利用數(shù)量積證明空間垂直關(guān)系當a⊥b時，a·b＝0.知識點七：夾角問題1.定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，則∠AOB叫做向量與的夾角，記作，如下圖。根據(jù)空間兩個向量數(shù)量積的定義：，那么空間兩個向量、的夾角的余弦。知識點詮釋：（1）規(guī)定:（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向;如果,那么與垂直,記作。2.利用空間向量求異面直線所成的角異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到。在求異面直線所成的角時，應注意異面直線所成的角與向量夾角的區(qū)別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角。知識點八：空間向量的長度定義：在空間兩個向量的數(shù)量積中，特別地，所以向量的模：將其推廣：；。2.利用向量求線段的長度。將所求線段用向量表示，轉(zhuǎn)化為求向量的模的問題。一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解?！绢}型歸納目錄】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算題型二：共線向量定理的應用題型三：共面向量及應用題型四：空間向量的數(shù)量積題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角題型六：利用空間向量的數(shù)量積求線段的長度【典型例題】題型一：空間向量的有關(guān)概念及線性運算1．（2022·全國·高二課時練習）下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．空間向量不可以平行移動C．如果兩個向量不相同，那么它們的長度不相等D．同向且等長的有向線段表示同一向量【答案】D【解析】【分析】根據(jù)零向量的規(guī)定可以確定A錯誤；根據(jù)空間向量是自由向量可以確定B；根據(jù)相等向量的定義可以確定C、D.【詳解】對于A：零向量的方向是任意的，A錯誤；對于B：空間向量是自由向量可以平移，B錯誤；對于C、D：大小相等方向相同的兩個向量為相等向量即同一向量，所以C中向量大小可以相等，只要方向不同即為向量不同，C錯誤；D符合定義，正確.故選：D.2．（2022·全國·高二課時練習）下列命題為真命題的是（

）A．若兩個空間向量所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量B．若，則?的長度相等且方向相同C．若向量?滿足，且與同向，則D．若兩個非零向量與滿足，則.【答案】D【解析】【分析】由空間向量的模長、共線、共面等相關(guān)概念依次判斷4個選項即可.【詳解】空間中任意兩個向量必然共面，A錯誤；若，則?的長度相等但方向不確定，B錯誤；向量不能比較大小，C錯誤；由可得向量與長度相等，方向相反，故，D正確.故選：D.3．（2022·全國·高二課時練習）化簡所得的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】依據(jù)向量加減法運算規(guī)則去求化簡即可,【詳解】故選：D4．（2022·全國·高二課時練習）正六棱柱中，設，，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依據(jù)正六棱柱的結(jié)構(gòu)特征并利用向量加減法的幾何意義去求.【詳解】正六棱柱中，故選：B5．（2022·福建省福安市第一中學高二階段練習）如圖所示，在平行六面體中，M為與的交點，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運算法則和空間向量基本定理相關(guān)知識求解即可.【詳解】由題意得，.故選：D（多選題）6．（2022·福建寧德·高二期中）如圖正四棱柱，則下列向量相等的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)相等向量的定義，結(jié)合正四棱柱的結(jié)構(gòu)特征依次判斷選項即可.【詳解】由正四棱柱可知，A：，但與方向相反，故A不符題意；B：，但與方向不同，故B不符題意；C：，且與方向相同，故C符題意；D：，且與方向相同，故D符題意.故選：CD.7．（2022·全國·高二課時練習）在長方體中，若，，，則與有相等模的向量共有______個．【答案】7【解析】【分析】長方體體對角線相等，故可得到與有相等模的向量【詳解】如圖，與有相等模的向量有，共7個故答案為：78．（2022·全國·高二課時練習）若、、、為空間不同的四點，則下列各式為零向量的序號是_______．①；②；③；④．【答案】②④【解析】【分析】利用空間向量加法與減法法則化簡①②③④中的向量，可得結(jié)果.【詳解】對于①，；對于②，；對于③，；對于④，.故答案為：②④.9．（2022·全國·高二課時練習）化簡算式：______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的減法法則，計算即可.【詳解】.故答案為：.10．（2022·全國·高二課時練習）已知為正方體且，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用正方體結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)向量加減法去求【詳解】正方體中，則故答案為：11．（2022·全國·高二課時練習）平行六面體中，若，，，那么______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)平行六面體結(jié)構(gòu)特征和向量加減法幾何意義去求【詳解】平行六面體中，則故答案為：12．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在長方體中，E為棱上任意一點.只考慮以長方體的八個頂點及點E的兩點為始點和終點的向量，分別寫出：(1)的相等向量，的負向量；(2)用另外兩個向量的和或差表示；(3)用三個或三個以上向量的和表示（舉兩個例子）.【答案】(1)，，；，，，(2)，，，（答案不唯一）(3)，（答案不唯一）【解析】【分析】（1）根據(jù)相等向量，相反向量的定義，結(jié)合圖形分析求解.（2）由向量加減運算法則，結(jié)合圖形分析求解.（3）由向量加法運算法則，結(jié)合圖形分析求解.(1)解：的相等向量有：，，；的負向量即相反向量有：，，，.(2)由向量加減運算法則得：，，，（答案不唯一）(3)由向量加法運算法則得：，（答案不唯一）13．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在以長方體的八個頂點的兩點為始點和終點的向量中．(1)試寫出與相等的所有向量；(2)試寫出的相反向量．【答案】(1)、、、(2)、、、【解析】【分析】（1）依據(jù)相等向量的定義寫出與相等的所有向量；（2）依據(jù)相反向量的定義寫出的相反向量．(1)與相等的所有向量為、、、(2)的相反向量為：、、、14．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC?BD?EF，點E?F?G分別是BC?CD?DB的中點，請化簡下列算式，并標出化簡得到的向量.(1)；(2).【答案】(1)，作圖答案見解析(2)，作圖答案見解析【解析】【分析】利用空間向量的線性運算求解.(1)解：；向量如圖所示.(2)因為點E?F?G分別為BC?CD?DB的中點.所以，，所以.向量如圖所示.題型二：共線向量定理的應用1．（2022·全國·高二課時練習）已知空間四邊形ABCD，點E?F分別是AB與AD邊上的點，M?N分別是BC與CD邊上的點，若，，，，則向量與滿足的關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由空間向量減法運算法則，得共線、共線，所以共線，繼而得解.【詳解】由，，得，所以共線，同理，由，，得，所以共線，所以共線，即.故選：B.2．（2022·全國·高二課時練習）若，，，則??（

）A．可組成銳角三角形 B．可組成直角三角形C．可組成鈍角三角形 D．不構(gòu)成三角形【答案】D【解析】【分析】由共線定理判斷是否共線可知.【詳解】由題知，所以共線所以??不構(gòu)成三角形.故選：D3．（2022·全國·高二）若空間中任意四點O，A，B，P滿足，其中m＋n＝1，則（

）A．P∈AB B．P?ABC．點P可能在直線AB上 D．以上都不對【答案】A【解析】【分析】由已知化簡可得，即可判斷.【詳解】因為m＋n＝1，所以m＝1－n，所以，即，即，所以與共線．又，有公共起點A，所以P，A，B三點在同一直線上，即P∈AB.故選：A.4．（2022·全國·高二）下列命題中正確的是（

）.A．若與共線，與共線，則與共線.B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．若兩個非零空間向量與滿足，則D．若，則存在唯一的實數(shù)，使【答案】C【解析】【分析】舉反例判斷A，D，根據(jù)共面向量的定義判斷B，根據(jù)向量共線定理判斷C.【詳解】A中，若，則與不一定共線；B中，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面；C中，∵，∴，∴與共線，故正確；D中，若，，則不存在，使.故選：C【點睛】本題主要考查了空間向量及其線性運算，屬于基礎題.5．（2022·江蘇·高二課時練習）（多選題）下列命題中不正確的是（

）A．若與共線，與共線，則與共線B．向量，，共面，即它們所在的直線共面C．若兩個非零空間向量，，滿足，則∥D．若∥，則存在唯一的實數(shù)λ，使=λ【答案】ABD【解析】【分析】舉反例判斷AD，根據(jù)共面向量的定義判斷B，根據(jù)向量共線定理判斷C【詳解】對于A，若，則與共線，與共線，但與不一定共線，所以A錯誤，對于B，共面向量的定義是平行于同一平面的向量，表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面，所以B錯誤，對于C，因為，所以，所以與共線，所以∥，所以C正確，對于D，若，，則不存在，使=λ，所以D錯誤，故選：ABD6．（2022·全國·高二課時練習）在正方體中，點E，F(xiàn)分別是底面和側(cè)面的中心，若，則______．【答案】##－0.5【解析】【分析】作圖，連接連接，，構(gòu)造三角形中位線解題﹒【詳解】如圖，連接，，則點E在上，點F在上，易知，且，∴，即，∴．故答案為：7．（2022·江蘇·高二課時練習）設是空間中兩個不共線的向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)______．．【答案】【解析】【分析】利用向量線性運算可得，由三點共線可得，由此可構(gòu)造方程組求得結(jié)果.【詳解】，，，三點共線，存在實數(shù)，使得，即，，解得：．故答案為：.8．（2022·全國·高二課時練習）已知A，B，C三點共線，則對空間任一點O，存在三個不為0的實數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值為________.【答案】0【解析】【分析】利用共線向量定理列出向量等式，再借助向量減法用表示即可得解.【詳解】因A，B，C三點共線，則存在唯一實數(shù)k使，顯然且，否則點A，B重合或點B，C重合，則，整理得：，令λ=k-1，m=1，n=-k，顯然實數(shù)λ，m，n不為0，因此，存在三個不為0的實數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=，此時λ+m+n=k-1+1+(-k)=0，所以λ+m+n的值為0.故答案為：09．（2022·全國·高二課時練習）已知非零向量，不共線，則使與共線的的值是________．【答案】【解析】【分析】由平面向量共線定理可設，由平面向量基本定理列方程即可求解.【詳解】若與共線，則因為非零向量，不共線，所以，即，所以，故答案為：10．（2022·全國·高二課時練習）如圖，四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形且不共面，M?N分別是AC?BF的中點，判斷與是否共線？【答案】共線.【解析】【分析】利用空間向量的線性運算，結(jié)合空間向量的共線定理，即可判斷.【詳解】因為M?N分別是AC?BF的中點，而四邊形ABCD?ABEF都是平行四邊形，所以.又，所以.所以，即，即與共線.11．（2022·湖南·高二課時練習）如圖，已知M，N分別為四面體A－BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點，且GM∶GA＝1∶3.求證：B，G，N三點共線．【答案】證明見解析【解析】【分析】設分別表示出,，利用向量共線證明B，G，N三點共線．【詳解】設則所以,∴.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三點共線．12．（2022·湖南·高二課時練習）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．【答案】證明見解析【解析】【分析】求出后可得它們共線，從而可證B，C，D三點共線．【詳解】，而，所以，故B，C，D三點共線．題型三：共面向量及應用1．（2022·上海市控江中學高二期中）下列條件中，一定使空間四點P?A?B?C共面的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】要使空間中的、、、四點共面，只需滿足，且即可.【詳解】對于A選項，，，所以點與、、三點不共面；對于B選項，，，所以點與、、三點不共面；對于C選項，，，所以點與、、三點不共面；對于D選項，，,所以點與、、三點共面.故選：D.2．（2022·江蘇常州·高二期中）對于空間任意一點，若，則A，B，C，P四點（

）A．一定不共面 B．一定共面C．不一定共面 D．與點位置有關(guān)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間共面向量的定義進行判斷即可.【詳解】由，所以A，B，C，P四點共面，故選：B3．（2022·江蘇·高二課時練習）A，B，C三點不共線，對空間內(nèi)任意一點O，若，則P，A，B，C四點（

）A．一定不共面 B．一定共面 C．不一定共面 D．無法判斷是否共面【答案】B【解析】【分析】利用空間向量共面定理即可判斷【詳解】因為，則即即由空間向量共面定理可知，共面，則P，A，B，C四點一定共面故選：B4．（2022·江蘇· 高二期中）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間四點共面的充要條件代入即可解決【詳解】由、、、四點共面，且其中任意三點均不共線可得，解之得故選：D5．（2022·全國·高二課時練習）已知空間、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，設為空間中任意一點，若，則（

）A．2 B． C．1 D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間四點共面的充要條件代入即可解決.【詳解】，即整理得由、、、四點共面，且其中任意三點均不共線，可得，解之得故選：B6．（2022·全國·高二課時練習）已知是不共面向量，，若三個向量共面，則實數(shù)等于_________．【答案】【解析】【分析】由題得存在，使得，解方程組即得解.【詳解】若向量，，共面，則存在，使得，∴，∴解得．故答案為：【點睛】本題主要考查共面向量定理，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.7．（2022·全國·高二課時練習）O為空間中任意一點，A，B，C三點不共線，且，若P，A，B，C四點共面，則實數(shù)t＝______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)四點共面的充要條件即可求出t的值.【詳解】P，A，B，C四點共面，且，，解得.故答案為:【點睛】本題考查四點共面，掌握向量共面的充要條件是解題的關(guān)鍵，屬于基礎題.8．（2022·全國·高二課時練習）已知是空間任一點，四點滿足任三點均不共線，但四點共面，且，則________.【答案】-1【解析】【分析】利用空間向量基本定理，及向量共面的條件，即可得到結(jié)論．【詳解】∵2x?3y?4z?，∴2x?3y?4z?，∵O是空間任意一點，A、B、C、D四點滿足任三點均不共線，但四點共面∴﹣2x﹣3y﹣4z＝1∴2x+3y+4z＝﹣1故答案為﹣1【點睛】本題考查空間向量基本定理，考查向量共面的條件，屬于基礎題．9．（2022·江蘇·高二課時練習）如圖四棱錐中，四邊形為菱形，，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得，進而得，即，再結(jié)合題意求解即可.【詳解】解：因為四棱錐中，四邊形為菱形，所以，所以，所以．所以，，，故．故答案為：10．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，點為的重心，點在上，且，過點任意作一個平面分別交線段，，于點，，，若，，，求證：為定值，并求出該定值.【答案】為定值4；證明見解析；【解析】【分析】聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于H，由題意，令為空間向量的一組基底，表示出.然后根據(jù)點，，，M共面，故存在實數(shù)，滿足，再表示出一組的表達式，因此其系數(shù)相同，從而證得結(jié)論.【詳解】聯(lián)結(jié)AG并延長交BC于H，由題意，令為空間向量的一組基底，則.聯(lián)結(jié)DM，點，，，M共面，故存在實數(shù)，滿足，即，因此，由空間向量基本定理知，，故，為定值.11．（2022·江西南昌·高二期中（理））已知平行四邊形ABCD，從平面AC外一點O引向量，，，.(1)求證：四點共面；(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運算可得,由空間向量,可判斷向量共面,進而可得點共面.（2）根據(jù)向量共線可得直線與直線平行,進而可證明線面平行,進而可證明面面平行.(1)∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴、、、四點共面；(2)∵，∴又因為平面,平面,所以平面又∵，∴，平面,平面,平面，又，平面所以，平面平面.12．（2022·全國·高二課時練習）在長方體中，E是棱的中點，O是面對角線與的交點．試判斷向量與、是否共面．【答案】共面【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運算法則，化簡得到，結(jié)合空間向量的共面定理，即可求解.【詳解】根據(jù)空間向量的運算法則，可得：，又由空間向量的共面定理，可得向量與，共面．13．（2022·全國·高二課時練習）已知向量不共面，并且，判斷向量是否共面，并說明理由．【答案】向量共面，理由見解析.【解析】【分析】利用空間向量基本定理得到，進而證明出結(jié)論.【詳解】設，則，故，解得：，故，由空間向量共面定理得：向量共面.14．（2022·湖南·高二課時練習）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，并且使．求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面．【答案】證明見解析【解析】【分析】利用共面向量定理證明，由可得四點共面.【詳解】證明：因為從所在平面外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，且滿足，則有向量，，，，而在中，有，所以故E，F(xiàn)，G，H四點共面，證畢.題型四：空間向量的數(shù)量積1．（2022·江蘇徐州·高二期中）如圖，在三棱錐中，兩兩垂直，為的中點，則的值為（

）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】【分析】先將轉(zhuǎn)化為，再按照數(shù)量積的定義及運算律計算即可.【詳解】由題意得，故.故選：D.（多選題）2．（2022·全國·高二課時練習）設，為空間中的任意兩個非零向量，下列各式中正確的有（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的定義與運算律一一判斷即可；【詳解】解：對于A：，故A正確；對于B：因為向量不能做除法，即無意義，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：AD3．（2022·全國·高二課時練習）在棱長為2的正四面體中，點滿足，點滿足，則點與平面的位置關(guān)系是______；當最小且最小時，______．【答案】

平面

【解析】【分析】由四點共面和三點共線的性質(zhì)（系數(shù)之和為1），由滿足可知與共面，由點滿足可知與共線.根據(jù)最小且最小時，確定出的具體位置，然后根據(jù)數(shù)量積進行計算.【詳解】解：由四點共面定理及三點共線定理可知：平面，直線，當最小且最小時，則是等邊的中心，是邊中點.所以，,又因為是邊中點，所以故.故答案為：平面，【點睛】本道題從空間四點共面和三點共線的常用結(jié)論，判斷出點的位置，然后又考查到向量加法的一個重要中線性質(zhì)，把數(shù)量積中一個向量用中線性質(zhì)表示出來，把數(shù)量積的求解變得簡單了許多，這是一道向量的綜合類題目，考查了向量的多個知識點.4．（2022·全國·高二課時練習）化簡：________.【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積運算律可得解.【詳解】故答案為：5．（2022·江蘇·泗陽縣實驗高級中學高二階段練習）在三棱錐中，已知，，，則___________【答案】【解析】【分析】用表示，根據(jù)條件列出方程建立的關(guān)系，利用等量代換計算即得.【詳解】設，顯然，則，即，而，即，于是得，，，則有，所以.故答案為：6．（2022·江蘇·沛縣教師發(fā)展中心高二期中）已知空間四邊形的每條邊和對角線的長都等于1，點，分別是，的中點，則的值為_________.【答案】##【解析】【分析】如圖，在正三棱錐中，以為基底，，，利用向量數(shù)量積性質(zhì)進行計算即可得解.【詳解】根據(jù)題意為正四面體，兩兩成角，所以，，所以.故答案為：7．（2022·全國·高二單元測試）在棱長為1的正四面體中，點滿足，點滿足，當最短時，_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意得到面，，從而求得最短時，得到為的中心，為的中點，求得的長，結(jié)合，由向量的運算公式，即可求得的值.【詳解】解：因為，，可得平面，，當最短時，面，且，所以為的中心，為的中點，如圖所示，又因為正四面體的棱長為，，所以，因為平面，所以，因為，所以.故答案為：.8．（2022·全國·高二課時練習）已知空間四邊形中，，則______．【答案】0【解析】【分析】根據(jù)向量的加法的幾何意義，將化為，結(jié)合數(shù)量積的運算法則和向量的線性運算，即可求得答案.【詳解】在空間四邊形中,,則,故答案為：09．（2022·全國·高二課時練習）三棱錐中，，，，則______．【答案】-2【解析】【分析】根據(jù)向量的減法運算，結(jié)合數(shù)量積的運算，可求得答案.【詳解】由題意得，故，,故答案為：-210．（2022·全國·高二課時練習）如圖所示，在棱長為1的正四面體ABCD中，若E?F分別是AB?AD的中點，則___________，___________，___________，___________.【答案】

0【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的定義分別求解.【詳解】在棱長為1的正四面體ABCD中，每個面都是正三角形.所以.因為E?F分別是AB?AD的中點，所以,所以的夾角為60°，所以；所以的夾角為0°，所以；所以的夾角為120°，所以；取CD的中點G，連結(jié)AG、BG，則.又,所以面ABG,所以AB，所以的夾角為90°.所以的夾角為90°，所以.故答案為：.11．（2022·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．【答案】24【解析】【分析】由線段的空間關(guān)系有，應用向量數(shù)量積的運算律及已知條件即可求.【詳解】由題設，可得如下四面體示意圖，則，又，，所以.故答案為：2412．（2022·江蘇·高二課時練習）如圖，在三棱錐中，平面，，，．(1)確定在平面上的投影向量，并求；(2)確定在上的投影向量，并求．【答案】(1)在平面上的投影向量為，；(2)在上的投影向量為，.【解析】【分析】（1）根據(jù)平面可得在平面上的投影向量，由空間向量的線性運算以及數(shù)量積的定義計算的值即可求解；（2）由投影向量的定義可得在上的投影向量，由數(shù)量積的幾何意義可得的值.(1)因為平面，所以在平面上的投影向量為，因為平面，面，可得，所以，因為，所以，所以.(2)由（1）知：，，所以在上的投影向量為：，由數(shù)量積的幾何意義可得：.13．（2022·全國·高二課時練習）如圖，在棱長為1的正方體中，G、H分別是側(cè)面和的中心．設，，．(1)用向量、、表示、；(2)求；(3)判斷與是否垂直．【答案】(1)，(2)(3)垂直【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算法則和向量的數(shù)量積的運算公式，準確運算，即可求解.(1)解：根據(jù)空間向量的運算法則，可得，.(2)解：根據(jù)空間向量的運算法則和數(shù)量積的運算公式，可得，則.(3)解：根據(jù)空間向量的運算法則，可得；則，所以與垂直．題型五：利用空間向量的數(shù)量積求兩向量的夾角1．（2022·全國·高二）在正四面體中，、分別為棱、中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設，，，設異面直線與所成角為，設，利用、、表示向量、，利用空間向量的數(shù)量積可求得的值.【詳解】設，，，設異面直線與所成角為，設，則，，由空間向量數(shù)量積的定義可得，則，，，故，故選：C.2．（2022·湖北·荊門市龍泉中學高二期中）在平行六面體中，，，，，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【解析】【分析】結(jié)合空間向量的數(shù)量積的定義及運算律求出和，進而結(jié)合余弦定理即可求出結(jié)果.【詳解】因為，則，即，,則，即，則故選：C.3．（2022·湖南·高二期末）如圖所示，平行六面體中，，，若線段，則（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間向量模公式，結(jié)合空間向量數(shù)量積的定義進行求解即可.【詳解】∵，∴，∴，，故選：C.4．（2022·江蘇·高二課時練習）已知空間向量滿足，，則與的夾角為（

）A．30° B．45°C．60° D．以上都不對【答案】D【解析】【分析】設與的夾角為θ，由，得，兩邊平方化簡可得答案【詳解】設與的夾角為θ，由，得，兩邊平方，得，因為，所以，解得，故選：D.5．（2022·全國·高二課時練習）如圖，一個結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為，且它們彼此的夾角都是，下列說法中正確的是（

）A．B．C．向量與的夾角是D．與所成角的余弦值為【答案】B【解析】選項，計算得，所以選項不正確；選項，，所以，所以選項正確；選項，向量與的夾角是，所以選項不正確；選項，與所成角的余弦值為，所以選項不正確.【詳解】選項，由題意可知，則，∴，所以選項不正確；選項，，又，∴，所以選項正確；選項，，，∴向量與的夾角是，所以選項不正確；選項，，，設與所成角的平面角為，∴，所以選項不正確.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答本題的關(guān)鍵是把幾何的問題和向量聯(lián)系起來，轉(zhuǎn)化為向量的問題，提高解題效率，優(yōu)化解題.把線段長度的計算，轉(zhuǎn)化為向量的模的計算；把垂直證明轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零；把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為向量的夾角計算.6．（2022·全國·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.【答案】【解析】根據(jù)向量與的夾角為鈍角，則·<0，求得λ的范圍，在將與共線且反向的情況排除即可.【詳解】∵向量與的夾角為鈍角，∴·＝解得.當與共線時，設＝k(k<0)，可得，解得，即當時，向量與共線且反向，此時·<0，但與的夾角不是鈍角.綜上：λ的取值范圍是.故答案為：7．（2022·河南濮陽·高二開學考試（理））空間四邊形，，，則的值為__________．【答案】0【解析】【詳解】∵，∴∴．答案：8．（2022·全國·高二課時練習）如圖，正方體的棱長是，和相交于點．(1)求；(2)求與的夾角的大?。?3)判斷與是否垂直．【答案】(1)(2)(3)垂直【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義直接計算，可得答案;（2）求得向量的模，求出，根據(jù)向量的夾角公式求得答案;（3）計算與的數(shù)量積，根據(jù)結(jié)果，可得答案.(1)正方體中，,故;(2)由題意知,,,，故，故，故與的夾角的大小為；(3)由題意，,,故與垂直.9．（2022·福建省連城縣第一中學高二階段練習）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱的長度為4，且.用向量法求:(1)的長;(2)直線與所成角的余弦值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）利用基底表達，求解，從而求出；（2）計算出，用向量夾角余弦公式求解.(1)，，故，所以的長為；(2)，由（1）知：，設直線與所成角為∴，∴直線與所成角的余弦值為.10．（2022·廣東·深圳市羅湖外語學校高二期末）平行六面體，(1)若，，，，，，求長；(2)若以頂點A為端點的三條棱長均為2，且它們彼此的夾角都是60°，則AC與所成角的余弦值．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】(1)由，可得，再利用數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出；(2)以為一組基底，設與所成的角為，由求解.(1)，，，，∴，；(2)∵，，∴，∵，∴，∵＝8，∴，設與所成的角為，則.11．（2022·全國·高二課時練習）已知是空間向量，根據(jù)下列各條件分別求：(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【解析】【分析】（1）利用空面向量的余弦夾角公式進行求解；（2）根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則計算出，進而求出夾角；（3）根據(jù)向量數(shù)量積的運算法則計算出，進而求出夾角；（4）根據(jù)向量數(shù)量積運算法則計算出，得到夾角.(1)，，故(2)因為，所以，故，因為，所以(3)因為，所以，故，因為，所以(4)，兩邊平方得：，故，故，因為，所以12．（2022·全國·高二課時練習）已知都是空間向量，且，求.【答案】【解析】【分析】由向量的數(shù)乘定義或者數(shù)量積性質(zhì)可得.【詳解】與同向，與反向，且另解：又向量的夾角范圍為，13．（2022·全國·高二課時練習）已知在平行六面體中，，，，且.（1）求的長；（2）求與夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由空間向量的加法法則可得，利用空間向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值，由此可求得的長；（2）計算出、的值，利用平面向量數(shù)量積可計算出的值，即可得解.【詳解】（1）由題可知，，那么，因此，的長為；（2）由題知，，則，，所以，.【點睛】本題考查利用空間向量法計算線段