2025年高二升高三數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)講義第三章圓錐曲線的方程綜合測試含答案第三章圓錐曲線的方程綜合測試學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或2．若雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．3．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．4．已知曲線C上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)P到直線的距離小1，M，N是曲線C上不同的兩點(diǎn)，若，則線段MN的中點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．65．焦點(diǎn)在軸上，長軸長為10，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．6．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．7．雙曲線過焦點(diǎn)的弦AB，A、B兩點(diǎn)在同一支上且長為m，另一焦點(diǎn)為，則的周長為（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m8．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為1，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則的面積為（

）A． B．4 C．2 D．二、多選題9．已知曲線：，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示雙曲線，則B．若曲線表示橢圓，則且C．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線且離心率為，則D．若曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則10．已知點(diǎn)P是雙曲線的右支第一象限上的一點(diǎn)，為雙曲線E的左?右焦點(diǎn)，的面積為20，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上 B．雙曲線E的離心率為C．點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4 D．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為11．若P是雙曲線C：上一點(diǎn)，C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．漸近線方程為C．的最小值是2 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離是12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，為橢圓上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．橢圓的長軸長為C．若點(diǎn)Q在橢圓C上，則的最大值為D．點(diǎn)P到x軸的距離為三、填空題13．已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上，則PF的長為______．15．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸長與短軸長的比為，且過點(diǎn)，則該橢圓的方程是______.16．設(shè)為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線虛軸的下端點(diǎn)，為過點(diǎn)的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_________；四、解答題17．分別求滿足下列條件的曲線方程(1)以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；(2)過點(diǎn)，且漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．18．世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”——口徑拋物面射電望遠(yuǎn)鏡，反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為拋物面），其邊緣距離底部的落差約為米，是由我國天文學(xué)家南仁東先生于年提出構(gòu)想，歷時(shí)年建成的．它的一個(gè)軸截面是一個(gè)開口向上的拋物線的一部分，放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)．(1)求的方程；(2)一束平行于軸的脈沖信號射到上的點(diǎn)，反射信號經(jīng)過的焦點(diǎn)后，再由上點(diǎn)反射出平行脈沖信號，試確定點(diǎn)的坐標(biāo)，使得從入射點(diǎn)到反射點(diǎn)的路程最短．19．如圖，已知定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C：上任意一點(diǎn)，線段PD的垂直平分線與半徑CP相交于點(diǎn)M.(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)過定點(diǎn)且斜率為k的直線l與M的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)O到的直線l的距離.20．橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．21．已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，且直線與圓相切.(1)求橢圓的方程(2)是橢圓長軸兩個(gè)端點(diǎn)，點(diǎn)是異于點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，求證：三角形面積與三角形面積之比為定值.22．在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)為橢圓的左焦點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，已知橢圓長軸長為8，且.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、.求證：為定值.第三章圓錐曲線的方程綜合測試學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．焦點(diǎn)在直線上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】分別求得直線與x軸，y軸的交點(diǎn)得到拋物線的焦點(diǎn)即可.【詳解】解：直線與x軸的交點(diǎn)為（4，0），與y軸的交點(diǎn)為（0，-3），當(dāng)以（4，0）為焦點(diǎn)時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，當(dāng)由（0，-3）為焦點(diǎn)時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：B2．若雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】求出的值，利用橢圓的離心率公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)雙曲線、橢圓的焦距分別為、，離心率分別為、，則，可得，所以，橢圓的焦點(diǎn)在軸上，則.故選：C.3．中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的一條漸近線過點(diǎn)，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線方程，結(jié)合離心率與的關(guān)系求解即可【詳解】由題意可知，此雙曲線的漸近線方程為，則漸近線過點(diǎn)，即，，所以.故選：B.4．已知曲線C上任意一點(diǎn)P到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)P到直線的距離小1，M，N是曲線C上不同的兩點(diǎn)，若，則線段MN的中點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求出曲線的方程，再根據(jù)拋物線的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：依題意曲線上任意一點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和點(diǎn)到直線的距離相等，由拋物線的定義可知：曲線是以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線的方程為．分別設(shè)點(diǎn)M、N、Q到準(zhǔn)線的距離分別為，，d，則，所以中點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離為3，故選：A．5．焦點(diǎn)在軸上，長軸長為10，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)長軸長算出后，由離心率可得的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)殚L軸長為，故長半軸長，因?yàn)椋园虢咕?，故，又焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D6．已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且，若，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】利用橢圓定義和勾股定理可構(gòu)造齊次方程求得離心率.【詳解】設(shè)，則，由橢圓定義知：；，，即，，，橢圓的離心率.故選：C.7．雙曲線過焦點(diǎn)的弦AB，A、B兩點(diǎn)在同一支上且長為m，另一焦點(diǎn)為，則的周長為（

）．A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m【答案】C【解析】【分析】由雙曲線定義得到，，兩式相加得到，進(jìn)而求出周長.【詳解】由雙曲線的定義得：①，②，兩式相加得：，即，所以，故的周長為.故選：C8．已知，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，若點(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為1，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則的面積為（

）A． B．4 C．2 D．【答案】D【解析】【分析】先求出雙曲線的漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離結(jié)合條件求出，然后由雙曲線的定義結(jié)合余弦定理可得出，由條件求出,，結(jié)合三角形的面積公式可得出答案.【詳解】雙曲線的漸近線方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)到該雙曲線漸近線的距離為1，所以．由題意，則

（1）由余弦定理可得（2）將（1）代入（2）可得．因?yàn)?，所以，，所以，故的面積為．故：D二、多選題9．已知曲線：，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示雙曲線，則B．若曲線表示橢圓，則且C．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線且離心率為，則D．若曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線，橢圓的特征一一計(jì)算可得；【詳解】解：對于A：若曲線：表示雙曲線，則，解得或，故A錯(cuò)誤；對于B：若曲線：表示橢圓，則，解得且，故B正確；對于C：若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線且離心率為，則，所以，則，解得，故C正確；對于D：橢圓的焦點(diǎn)為，若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，則，則，解得（舍去）；若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，則，則，解得，符合題意，故，故D正確；故選：BCD10．已知點(diǎn)P是雙曲線的右支第一象限上的一點(diǎn)，為雙曲線E的左?右焦點(diǎn)，的面積為20，則下列說法正確的是（

）A．雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上 B．雙曲線E的離心率為C．點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4 D．點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為【答案】ACD【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)判斷AB，由三角形面積公式結(jié)合雙曲線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而判斷CD.【詳解】由題意可知，雙曲線E的焦點(diǎn)在x軸上，離心率，設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為20，所以，，又，所以.故選：ACD11．若P是雙曲線C：上一點(diǎn)，C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．漸近線方程為C．的最小值是2 D．焦點(diǎn)到漸近線的距離是【答案】BCD【解析】【分析】由焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得值，由雙曲線方程可得漸近線方程，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)可得雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值，由點(diǎn)到直線距離公式求得焦點(diǎn)到漸近線的距離判斷各選項(xiàng)．【詳解】依題意可知，所以A答案錯(cuò)誤；雙曲線的方程為，所以漸近線的方程為，，漸近線方程為，焦點(diǎn)到漸近線的距離是，故選：BCD．12．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，焦距為，為橢圓上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，，，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．B．橢圓的長軸長為C．若點(diǎn)Q在橢圓C上，則的最大值為D．點(diǎn)P到x軸的距離為【答案】ACD【解析】【分析】對于A選項(xiàng)，由可得，從而有；對于B選項(xiàng)，再由橢圓的定義結(jié)合勾股定理解關(guān)于的方程，解得；對于C選項(xiàng)，可由橢圓的性質(zhì)得；對于D選項(xiàng)，設(shè)在軸上的投影為，得到，結(jié)合勾股定理，進(jìn)而求解即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，由題意得，，，因?yàn)?，所以，則，故，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，所以，，在中，，解得，所以橢圓的長軸長為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)樵跈E圓上，則，故C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，設(shè)在軸上的投影為，則，則，所以，又，解得，則到軸的距離為，故D選項(xiàng)正確；故選：ACD.三、填空題13．已知雙曲線的漸近線方程為，則__________．【答案】【解析】【分析】首先可得，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到、，再跟漸近線方程得到方程，解得即可；【詳解】解：對于雙曲線，所以，即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，，又雙曲線的漸近線方程為，所以，即，解得；故答案為：14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線上，則PF的長為______．【答案】5【解析】【分析】把點(diǎn)代入拋物線方程解得，根據(jù)拋物線定義．【詳解】的焦點(diǎn)為點(diǎn)在拋物線上，則，解得根據(jù)拋物線的定義故答案為：5．15．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，長軸長與短軸長的比為，且過點(diǎn)，則該橢圓的方程是______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)焦點(diǎn)的不同分類討論，先設(shè)出橢圓的方程，再代入點(diǎn)即可求解.【詳解】當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由題意，設(shè)橢圓方程為，又橢圓過點(diǎn)，所以，所以此時(shí)橢圓方程為；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，由題意，設(shè)橢圓方程為，又橢圓過點(diǎn)，所以，所以此時(shí)橢圓方程為.故答案為:或16．設(shè)為雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)，為雙曲線虛軸的下端點(diǎn)，為過點(diǎn)的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)，且，則雙曲線的離心率為_________；【答案】【解析】【分析】由得為圓的直徑，，再由得，求得，即可求出離心率.【詳解】如圖，不妨設(shè)在第二象限，由知即為圓的直徑，連接，易得，將代入解得，則，又，，即，則，離心率為.故答案為：.四、解答題17．分別求滿足下列條件的曲線方程(1)以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；(2)過點(diǎn)，且漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由題意得出的值后寫橢圓方程（2）待定系數(shù)法設(shè)方程，由題意列方程求解(1)的短軸頂點(diǎn)為(0，－3)，(0，3)，∴所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c＝3．又，∴a＝6．∴．∴所求橢圓方程為．(2)根據(jù)雙曲線漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程，把代入得m＝1．所以雙曲線的方程為．18．世界上單口徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”——口徑拋物面射電望遠(yuǎn)鏡，反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞其對稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為拋物面），其邊緣距離底部的落差約為米，是由我國天文學(xué)家南仁東先生于年提出構(gòu)想，歷時(shí)年建成的．它的一個(gè)軸截面是一個(gè)開口向上的拋物線的一部分，放入如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)．(1)求的方程；(2)一束平行于軸的脈沖信號射到上的點(diǎn)，反射信號經(jīng)過的焦點(diǎn)后，再由上點(diǎn)反射出平行脈沖信號，試確定點(diǎn)的坐標(biāo)，使得從入射點(diǎn)到反射點(diǎn)的路程最短．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線中即可求得拋物線方程；（2）由拋物線焦點(diǎn)弦性質(zhì)可知，知，由此可得結(jié)果.(1)由題意知：拋物線過點(diǎn)，設(shè)拋物線，，解得：，拋物線的方程為：.(2)由題意知：弦為拋物線的焦點(diǎn)弦，當(dāng)為通徑時(shí)，從入射點(diǎn)到反射點(diǎn)的路程最短，，，即.19．如圖，已知定點(diǎn)，點(diǎn)P是圓C：上任意一點(diǎn)，線段PD的垂直平分線與半徑CP相交于點(diǎn)M.(1)當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；(2)過定點(diǎn)且斜率為k的直線l與M的軌跡交于A、B兩點(diǎn)，若，求點(diǎn)O到的直線l的距離.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用橢圓的定義知：M軌跡是以C，D為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，且且，即可求橢圓方程；（2）設(shè)直線為：聯(lián)立的軌跡方程，由，結(jié)合韋達(dá)定理、向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列方程求得，從而得直線方程，由點(diǎn)線距離公式求到直線的距離.(1)由已知得：且，則，∴根據(jù)橢圓的定義：M的軌跡是以C，D為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓.∴，，，則點(diǎn)M的軌跡方程為.(2)由題設(shè)，直線l為，代入M的軌跡方程并整理得：.設(shè)，，則，.由，解得.所以，故O到直線l的距離.20．橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與圓相切，與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程．【答案】(1)(2)或【解析】【分析】（1）由已知條件可確定橢圓的a,b,c，從而得到橢圓方程；（2）對直線討論斜率存在和不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線，由直線與圓相切可得，然后將直線與橢圓聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，由弦長公式即可得到答案.(1)由橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，離心率為，可得半焦距且，