2025年高二升高三數(shù)學(xué)暑假培優(yōu)講義專(zhuān)題1求數(shù)列的通項(xiàng)公式-(選擇性必修第二、三冊(cè))(含答案求數(shù)列的通項(xiàng)公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考?？嫉囊粚?zhuān)題，形式多樣，解題方法很多，常見(jiàn)的有累加法、累乘法、待定系數(shù)法、迭代法、取倒數(shù)法等，課外延申的還有不動(dòng)點(diǎn)法等，不管什么方法，一定要理解解題方法的本質(zhì)，清楚每種方法的適用范圍，避免出現(xiàn)“看得懂，模仿做還行，獨(dú)立思考就含糊”的情況.【方法一】觀察法適用范圍：給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜測(cè)通項(xiàng)公式；方法：通過(guò)觀察，得知數(shù)列各項(xiàng)之間數(shù)值的關(guān)系(比如數(shù)值之間的差或商成一定規(guī)律)或數(shù)值結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(比如數(shù)值的正負(fù)，分式，平方)從而求得通項(xiàng)公式.【典題1】寫(xiě)出下列數(shù)列{an}1?7，14，?21，28，…；214，332，551鞏固練習(xí)1(★)數(shù)列1,?22A．(?12)n?1B．(?222(★)下列可作為數(shù)列1,2,1,2,1,2,…的通項(xiàng)公式的是()A．a(chǎn)n=1+(?1)C．a(chǎn)n=2?sinnπ23(★★)寫(xiě)出以下各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)1,?12,14,?1(4)12,【方法二】an與S適用范圍：若得知Sn或an與方法：利用an與Sn的關(guān)系an=【典題1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿(mǎn)足關(guān)系【典題2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S①?n∈N?,an求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及前【典題3】已知{an}中，a鞏固練習(xí)1(★)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足S2(★★)已知無(wú)窮數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，并且an3(★★)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿(mǎn)足a2=?4，4(★★★)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，【方法三】累加法適用范圍：遞推式為an+1方法：得到an+1?a【典題1】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a【典題2】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a鞏固練習(xí)1(★)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=3,a2(★★)將正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)陣．根據(jù)這個(gè)排列規(guī)則，數(shù)陣中第20行從左至右的第3個(gè)數(shù)是．3(★★)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a4(★★★)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，(1)證明：數(shù)列{a(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：an=【方法四】累乘法適用范圍：遞推式為an+1方法：得到an+1an【典題1】已知{an}中，滿(mǎn)足a【典題2】設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且鞏固練習(xí)1(★★)已知數(shù)列a1，a2a1，a32(★★)在數(shù)列{an}中，a1=a2=13(★★)已知a1=3,a4(★★)已知a1=1,a【方法五】構(gòu)造法對(duì)于一些不是等差等比數(shù)列的數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，通過(guò)構(gòu)造等差或等比數(shù)列來(lái)求其通項(xiàng)公式是一種很好的思路，其中的情況多樣，方法有待定系數(shù)法、階差法、取倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法等.我們要理解其中構(gòu)造的技巧，做到舉一反三.情況1遞推公式為an+1=pan+q(p,q為常數(shù)，待定系數(shù)法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an+1+t=p(an+t)逐項(xiàng)相減法(階差法)：由an+1=pan+q得a【典題1】已知數(shù)列{an}中，a1情況2遞推公式為an+1=pan+kn+b(p,k,b待定系數(shù)法：an+1=pan+kn+b可化為a逐項(xiàng)相減法(階差法)：由an+1=pan+kn+b得an=pan?1【典題1】設(shè)數(shù)列{an}：a1情況3遞推公式為an=p取倒數(shù)法：遞推公式兩邊取倒數(shù)，1an=qan?1+tpan?1=【典題1】已知數(shù)列{an}中，a1=1【典題2】已知{an}中，a1=1，Sn是數(shù)列的前情況4遞推公式為an+1=pan+qn(其中p，q方法一在原遞推公式兩邊同除以qn+1，得an+1qn+1=方法二在原遞推公式兩邊同除以pn+1，得：an+1pn+1=方法三待定系數(shù)法設(shè)an+1+λqn+1=p(an【典題1】已知數(shù)列an滿(mǎn)足an+1=2情況5遞推公式為an+1方法一對(duì)數(shù)變換法：該類(lèi)型是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類(lèi)型，然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng).兩邊取對(duì)數(shù)得l設(shè)b∴原等式變?yōu)閎n+1方法二迭代法，反復(fù)迭代使用an+1=paan【典題1】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1鞏固練習(xí)1(★★)數(shù)列{an}中，a1=1，a2(★★)若數(shù)列{an}中，a1=3且3(★★)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=54(★★)已知數(shù)列{an}中，當(dāng)n≥2時(shí)，a5(★★)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=6(★★)已知數(shù)列{an}中，a1=7(★★)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和S8(★★★★)已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿(mǎn)足a0=1(1)證明an<an+1<2,n∈N(2)【方法六】分n奇偶討論法在有些數(shù)列問(wèn)題中，有時(shí)要對(duì)n的奇偶性進(jìn)行分類(lèi)討論以方便問(wèn)題的處理.形如an+1(1)若an+1+an=d(d(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時(shí)，方法一是構(gòu)造轉(zhuǎn)化為an+1?a【典題1】數(shù)列{an}中，a形如an(1)若anan+1=d(d是常數(shù))，則數(shù)列(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時(shí)，可用逐商法得an+1【典題1】已知數(shù)列{an}中，a鞏固練習(xí)1(★★★)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足S2=?3【方法七】數(shù)學(xué)歸納法適用范圍：數(shù)列前幾項(xiàng)的數(shù)值出現(xiàn)一定規(guī)律或數(shù)值結(jié)構(gòu)具有特點(diǎn).方法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.【典題1】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=【典題2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an鞏固練習(xí)1(★★)設(shè)0<θ<π2，已知a1=2cosθ，A．2cosθ2nB．2cosθ2n?12(★★)若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1=2a3(★★★)在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{a【方法八】?不動(dòng)點(diǎn)法(特征根法)(選學(xué)內(nèi)容)不動(dòng)點(diǎn)的定義：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈，若存在x0∈D，使得fx0=形如an+1對(duì)于數(shù)列an+1=Aan+B其特征方程為x=Ax+BCx+D若有二異根α,β，則可令an+1?αan+1?β=c?a這樣數(shù)列{an?αan?β}若有二重根α=β，則可令1an+1?α=1an這樣數(shù)列{1an?α}是首項(xiàng)為1此方法又稱(chēng)不動(dòng)點(diǎn)法．【典題1】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2,【典題2】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2,形如an+2當(dāng)p≠0，1，q≠0時(shí)，稱(chēng)x=px+q是數(shù)列{an}的一階特征方程，其根x=q1?p【典題1】已知數(shù)列an中，a1=1，an=2形如a1稱(chēng)x2=px+q是數(shù)列an若有二異根x1,x2，則可令若有二重根x1=x2，則可令再利用a1=m1,【典題1】在數(shù)列{an}中，a1=?1,a鞏固練習(xí)

1(★★)設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足a1=2,an+1=2(★★)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2，a3(★★)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=2,a2=34(★★)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,a2=25(★★)斐波拉契數(shù)列1，1，2，3，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是高考常考的一專(zhuān)題，形式多樣，解題方法很多，常見(jiàn)的有累加法、累乘法、待定系數(shù)法、迭代法、取倒數(shù)法等，課外延申的還有不動(dòng)點(diǎn)法等，不管什么方法，一定要理解解題方法的本質(zhì)，清楚每種方法的適用范圍，避免出現(xiàn)“看得懂，模仿做還行，獨(dú)立思考就含糊”的情況.【方法一】觀察法適用范圍：給出數(shù)列的前幾項(xiàng)，猜測(cè)通項(xiàng)公式；方法：通過(guò)觀察，得知數(shù)列各項(xiàng)之間數(shù)值的關(guān)系(比如數(shù)值之間的差或商成一定規(guī)律)或數(shù)值結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(比如數(shù)值的正負(fù)，分式，平方)從而求得通項(xiàng)公式.【典題1】寫(xiě)出下列數(shù)列{a1?7，14，?21，28，…；214，332，551【解析】分解結(jié)構(gòu)法：注意數(shù)值的結(jié)構(gòu)，看其是否可視為兩個(gè)或多個(gè)數(shù)列組合而成.(1)數(shù)列?7,14,?21,28,…序號(hào)1234……n符號(hào)?+?+?1絕對(duì)值71421287n項(xiàng)?1故an(2)數(shù)列14，38，516序號(hào)1234……n分子13572n?1分母4816322項(xiàng)(2n?1)故an變形法：數(shù)列本身特點(diǎn)不明顯，但通過(guò)加減乘除某個(gè)數(shù)之類(lèi)方式變形成“規(guī)律感更強(qiáng)”的數(shù)列.(3)數(shù)列2,5,10,17,26,…中若每項(xiàng)減去1，則變成1,4,9,16,25,…，這些數(shù)都是完全平方數(shù)，易想到數(shù)列的通項(xiàng)是n2則原數(shù)列只需要在這基礎(chǔ)上加回1便可，即an(4)數(shù)列2,32,332,3332,33332,….中若每項(xiàng)加上1，則變成3,33,333,3333,33333,….，再每項(xiàng)乘以3，變成9,99,999,9999,99999,…其中9=10?1,99=102?1，999=則其通項(xiàng)bn要求原數(shù)列的通項(xiàng)公式，則“逆回去”，除以3再減1可得an分奇偶項(xiàng)(5)數(shù)列1,2,2,3,3,4,4,…,相鄰每項(xiàng)之間沒(méi)什么關(guān)系，若分奇偶性來(lái)看，就簡(jiǎn)單多了，可得奇數(shù)項(xiàng)為1,2,3,4,…,可得an=n+12．偶數(shù)項(xiàng)為則該數(shù)列通項(xiàng)公式an【點(diǎn)撥】觀察法主要是依靠“數(shù)感”，以上講解的“分解結(jié)構(gòu)法”“變形法”可有助于觀察，它對(duì)后面講到的利用數(shù)學(xué)歸納法求解通項(xiàng)公式有用.鞏固練習(xí)1(★)數(shù)列1,?2A．(?12)n?1B．(?22【答案】D【解析】依題意，數(shù)列{an}的符號(hào)正負(fù)項(xiàng)間隔出現(xiàn)，故符號(hào)為－1故數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為a故選：D．2(★)下列可作為數(shù)列1,2,1,2,1,2,…的通項(xiàng)公式的是()A．a(chǎn)n=1+(?1)C．a(chǎn)n=2?sinnπ2【答案】B【解析】根據(jù)題意，數(shù)列1,2,1,2,1,2,…其奇數(shù)項(xiàng)為1，可以看作3+(?1)2，偶數(shù)項(xiàng)為2，可以看作3?(?1)其通項(xiàng)公式可以為：an故選：B．3(★★)寫(xiě)出以下各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．(1)1,?12,14(4)12,【答案】(1)an=－1n+1×12(4)an=1?【方法二】an與S適用范圍：若得知Sn或an與方法：利用an與Sn的關(guān)系an=【典題1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿(mǎn)足關(guān)系【解析】∵lgSn當(dāng)n≥2時(shí)，an當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=9滿(mǎn)足∴an=9×10n?1(n∈【典題2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為S①?n∈N?,an求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及前【解析】由題意Sn當(dāng)n≥2時(shí)an整理，得(an又?n∈即an又a1=1，∴數(shù)列{an}∴an=【典題3】已知{an}中，a【解析】當(dāng)n≥2時(shí)，a∴S∴S兩邊同除以SnSn?1，得(上兩題是“消去”Sn得到數(shù)列{an}遞推公式，該題“消去”∴數(shù)列{1Sn}為等差數(shù)列，公差為∴1Sn∴an=Sna1=1不滿(mǎn)足∴a【點(diǎn)撥】當(dāng)題中得知Sn或an與Sn的關(guān)系式，則可利用公式an=S1n=1Sn?Sn?1鞏固練習(xí)1(★)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足【答案】a【解析】當(dāng)n≥2時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，a1=S∴a2(★★)已知無(wú)窮數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，并且【答案】a【解析】∵an+S∵an+1=Sn+1∴{an}是以首項(xiàng)為1∴a3(★★)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，滿(mǎn)足a2=?4，【答案】a【解析】(1)在2S當(dāng)n=1時(shí)，2S由2Sn=n(兩式相減得，2a所以(n－1)a當(dāng)n≥2時(shí)，有an+1所以a=7(1所以an+1所以a故an又a1所以an4(★★★)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=2，【答案】a【解析】由Sn+1+4S∴a∵a1=2，a所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為4【方法三】累加法適用范圍：遞推式為an+1方法：得到an+1?a【典題1】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a【解析】由條件知：a∴n≥2時(shí)an把以上n?1個(gè)式子累加得an∴aa1=2也滿(mǎn)足∴a【典題2】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a【解析】由an+1=∴n≥2時(shí),a==2(=2=而a1∴a鞏固練習(xí)1(★)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1【答案】3【解析】數(shù)列{an}∴aan?1…a3a2∴a∴a∴a2(★★)將正整數(shù)按一定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)陣．根據(jù)這個(gè)排列規(guī)則，數(shù)陣中第20行從左至右的第3個(gè)數(shù)是．【答案】577【解析】設(shè)各行的首項(xiàng)組成數(shù)列{an}，則a2疊加可得：an∴a∴a∴數(shù)陣中第20行從左至右的第3個(gè)數(shù)是571+2×3=577故答案：577．3(★★)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a【答案】a【解析】由條件知：a∴把以上n?an∴a4(★★★)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，(1)證明：數(shù)列{a(2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足：an=【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【解析】(1)∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sn∴n≥2時(shí)，S兩式相減得2a∴2(an－1)=an?1－1又∵S1+∵a1?1=12≠0，∴數(shù)列(2)由(1)知：an?1=1∴a∴b∴b【方法四】累乘法適用范圍：遞推式為an+1方法：得到an+1an【典題1】已知{an}中，滿(mǎn)足a【解析】由已知，得an+1用此式減去已知式，得當(dāng)n≥2時(shí)，an+1?a又a2∴a將以上n?1個(gè)式子相乘，得an∴a∴【典題2】設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且【解析】由n+1可得n(a即有n(a即有[由{an}則ana1=1也滿(mǎn)足∴an=鞏固練習(xí)1(★★)已知數(shù)列a1，a2a1，a3【答案】64【解析】數(shù)列a1，a2a1，則a4a4=2(★★)在數(shù)列{an}中，a1=a2=1【答案】2【解析】由題意可得，a2a1故數(shù)列{an+1所以an+1an=2na2a1=1，a3a以上n－1個(gè)式子相乘可得，ana1故答案為：2(n?2)(n?1)3(★★)已知a1=3,a【答案】an【解析】an4(★★)已知a1=1,a【答案】a【解析】∵an=n又有an當(dāng)n=1時(shí)a1=1，滿(mǎn)足an【方法五】構(gòu)造法對(duì)于一些不是等差等比數(shù)列的數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，通過(guò)構(gòu)造等差或等比數(shù)列來(lái)求其通項(xiàng)公式是一種很好的思路，其中的情況多樣，方法有待定系數(shù)法、階差法、取倒數(shù)法、取對(duì)數(shù)法等.我們要理解其中構(gòu)造的技巧，做到舉一反三.情況1遞推公式為an+1=pan+q(p,q待定系數(shù)法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an+1+t=p(an+t)逐項(xiàng)相減法(階差法)：由an+1=pan+q得a【典題1】已知數(shù)列{an}中，a【解析】方法一待定系數(shù)法設(shè)遞推公式an+1=2an+3即an+1與已知條件an+1=2an+3故遞推公式為an+1所以{an+3}是首項(xiàng)為a1則an∴方法二逐項(xiàng)相減法∵an+1兩式相減得a∴數(shù)列{an+1?an}∴an+1?a∴an+1=∴a情況2遞推公式為an+1=pan+kn+b(p,k,b待定系數(shù)法：an+1=pan+kn+b可化為a逐項(xiàng)相減法(階差法)：由an+1=pan+kn+b得an=pan?1【典題1】設(shè)數(shù)列{an}：a1【解析】方法一待定系數(shù)法令a化簡(jiǎn)得：a與已知條件an所以2λ1=22λ2?3λ所以an∴數(shù)列{an+n+1}是以a1∴a∴a方法二逐項(xiàng)相減法(階差法)∵an=3an?1+2n?1(n≥2)由②?①得a令bn=an+1?a∴b∴數(shù)列{bn+1}是以首項(xiàng)b則b∴a∴an+1=4×=2×3∴a【點(diǎn)撥】二種方法比較還是待定系數(shù)法過(guò)程顯得簡(jiǎn)潔些，形如an+1=pan+q和an+1=pan+kn+b都可用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求an，那是否形如a情況3遞推公式為an取倒數(shù)法：遞推公式兩邊取倒數(shù)，1an=qan?1+tpan?1=【典題1】已知數(shù)列{an}中，a1=1【解析】對(duì)a兩邊取倒數(shù)，得：1a令bn=1∴b∴數(shù)列{bn+5}是首項(xiàng)為b1∴b∴a【典題2】已知{an}中，a1=1，Sn是數(shù)列的前【解析】遞推式Sn+1(可利用取倒數(shù)法求出數(shù)列{Sn}的通項(xiàng)Sn，再用an兩邊取倒數(shù)可變形為1S則有1S故數(shù)列{1Sn+2}是以∴1Sn當(dāng)n≥2，a所以數(shù)列{an情況4遞推公式為an+1=pan+qn(其中方法一在原遞推公式兩邊同除以qn+1，得an+1qn+1=方法二在原遞推公式兩邊同除以pn+1，得：an+1pn+1=方法三待定系數(shù)法設(shè)an+1+λqn+1=p(an【典題1】已知數(shù)列an滿(mǎn)足an+1=2【解析】方法一(兩邊同除以3nan+1=2an+4×(轉(zhuǎn)化為遞推公式為an令bn=a∴b∴b∴an方法二(兩邊同除以2nan+1=2an+4×令bn=a∴bn=2?3∵b∴b∴a方法三待定系數(shù)法設(shè)an+1+λ?3與已知條件an+1=2a則a∴a∴a【點(diǎn)撥】方法技巧主要都是體現(xiàn)在通過(guò)構(gòu)造等差等比數(shù)列和把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為前面“已知模型”去.情況5遞推公式為an+1方法一對(duì)數(shù)變換法：該類(lèi)型是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類(lèi)型，然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等比數(shù)列求出通項(xiàng).兩邊取對(duì)數(shù)得l設(shè)b∴原等式變?yōu)閎n+1方法二迭代法，反復(fù)迭代使用an+1=paan【典題1】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1【解析】方法一對(duì)數(shù)變換法an將等式兩邊取對(duì)數(shù)得log(為了計(jì)算簡(jiǎn)便取對(duì)數(shù)log3則{log3an+1}∴l(xiāng)og∴a方法二迭代法由ana=3?3(在迭代的過(guò)程中，逐一保持“原始數(shù)值”，找到數(shù)值變化的規(guī)律，比如指數(shù)與下標(biāo)的關(guān)系之類(lèi)的)鞏固練習(xí)1(★★)數(shù)列{an}中，a1=1，a【答案】100【解析】由an+1=2an∴數(shù)列{1∴1∴a令2101=2∴2101是這個(gè)數(shù)列的第2(★★)若數(shù)列{an}中，a1=3且【答案】a【解析】由題意知an>0，將an+1=a所以數(shù)列{lgan}是以lgalgan=3(★★)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=5【答案】a【解析】數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=設(shè)bn=an+12∴bn=3n4(★★)已知數(shù)列{an}中，當(dāng)n≥2時(shí)，a【答案】a【解析】?jī)蛇吶〉箶?shù)得1an∴{1∴1an5(★★)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=【答案】a【解析】∵an+1即an∵a1?2=∴數(shù)列{an－2n}是首項(xiàng)為1∴an?2n=6(★★)已知數(shù)列{an}中，a1=【答案】a【解析】∵a兩邊乘以2n+1得：令bn=2n所以an7(★★)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和S【答案】a【解析】由Sn=4?于是Sn+1所以an+1=a兩邊同乘以2n得，2na∴{2n?1a∵Sn=4?an?1∴2n?1a8(★★★★)已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿(mǎn)足a0=1(1)證明an<an+1<2,n∈N(2)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)a【解析】(1)1°當(dāng)n=1時(shí)，a0=1，∴a2°假設(shè)n=k時(shí)有ak則n=k+1時(shí)，a=2(a=1而ak?1－ak又a∴n=k+1時(shí)命題正確．由1°、2°知，對(duì)一切n∈N時(shí)有2an所以2(令bn=a又b0=－1，所以bn【方法六】分n奇偶討論法在有些數(shù)列問(wèn)題中，有時(shí)要對(duì)n的奇偶性進(jìn)行分類(lèi)討論以方便問(wèn)題的處理.形如an+1(1)若an+1+an=d(d(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時(shí)，方法一是構(gòu)造轉(zhuǎn)化為an+1?a【典題1】數(shù)列{an}中，a【解析】方法一構(gòu)造轉(zhuǎn)化為an令b則b(成功把遞推公式轉(zhuǎn)化為an∴n≥2時(shí)，得bnbn……b2把以上n?1個(gè)等式累加得，bn=2?1n?n?1①當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，bn=2=2×?1(注意到和式(?)中共有n?1項(xiàng)，當(dāng)n是奇數(shù)，每相鄰兩個(gè)數(shù)之和為?1，共有n此時(shí)bn=?aa1=0也滿(mǎn)足上式，故當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，由an+a(求出n是奇數(shù)時(shí)an=n?1，再利用已知條件an+a故a方法二逐差法∵a∴n≥2時(shí)，a兩式相減得a∴a1,a3a2,a4,∴aa(對(duì)奇數(shù)項(xiàng)a2k?1故an=n?1，n為奇數(shù)n，n形如an(1)若anan+1=d(d是常數(shù))，則數(shù)列(2)若f(n)為n的函數(shù)(非常數(shù))時(shí)，可用逐商法得an+1【典題1】已知數(shù)列{an}中，a【解析】由anan+1兩式相除，得an+2a則a1,a3,…,又a1則a2k?1=a1?a2k=a2?綜合得an鞏固練習(xí)1(★★★)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足S2=?3【答案】a【解析】依題意易求a1=1，a∵Sn∴a當(dāng)n≥4時(shí)，a兩式相減得a當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，a=9??∵a2=?52滿(mǎn)足an=?4+3?1當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，由a可得a∵a1=1滿(mǎn)足an=4?312n?1∴a【方法七】數(shù)學(xué)歸納法適用范圍：數(shù)列前幾項(xiàng)的數(shù)值出現(xiàn)一定規(guī)律或數(shù)值結(jié)構(gòu)具有特點(diǎn).方法：由數(shù)列前幾項(xiàng)用不完全歸納猜測(cè)出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性.【典題1】已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+1=【解析】方法一累加法∵a∴a則當(dāng)n≥2時(shí)，a=1=1驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)，上式成立．∴a方法二歸納法∵a1∴a2=猜想an(通過(guò)遞推公式算出前3項(xiàng)，根據(jù)數(shù)值特點(diǎn)(可看回觀察法求an的技巧)猜想出通項(xiàng)公式a證明如下：①n=1時(shí)，結(jié)論成立；②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak則n=k+1時(shí)，ak+1即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．綜上，an【典題2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，an【解析】∵S當(dāng)n=1時(shí)，有S1當(dāng)n=2時(shí)，有S當(dāng)n=3時(shí)，有S(在計(jì)算的過(guò)程中也會(huì)發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，有助于猜想)由a1=1=1?0,a2(通過(guò)觀察法可得數(shù)列1，3，6…的通項(xiàng)是nn+12，數(shù)列0，1，3…以下利用數(shù)學(xué)歸納法證明，①n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立；②假設(shè)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即ak則n=k+1時(shí)，有ak+1∴a∴a∴ak+1=(k+2)即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．綜上，an鞏固練習(xí)1(★★)設(shè)0<θ<π2，已知a1=2cosθ，A．2cosθ2nB．2cosθ2n?1【答案】B【解析】由題意an+1=2+ana3=2+2cos猜想an=2cos故選：B．2(★★)若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1=1,an+1=2a【答案】a【解析】∵aa3a4猜想an用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，a12°假設(shè)n=k時(shí)，ak∴當(dāng)n=k+1時(shí)，a結(jié)論正確；由1°、2°知對(duì)n∈N3(★★★)在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{a【答案】a【解析】當(dāng)n=1時(shí)，S1=12(當(dāng)n=2時(shí)，S2=a1+當(dāng)n=3時(shí)，S3=a1+猜想an當(dāng)n=1時(shí)，a1假設(shè)