數(shù)列專項訓(xùn)練試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.數(shù)列\(zhòng)(1,3,5,7,\cdots\)的通項公式是（）A.\(a_n=2n-1\)B.\(a_n=n+1\)C.\(a_n=2n\)D.\(a_n=n^2\)2.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5\)的值為（）A.7B.9C.11D.133.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(q=2\)，則\(a_3\)為（）A.4B.8C.16D.324.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則\(a_3\)的值是（）A.5B.6C.7D.85.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)，若\(a_3+a_5=8\)，則\(S_7\)等于（）A.28B.32C.35D.426.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2a_6=16\)，則\(a_4\)的值為（）A.4B.-4C.\(\pm4\)D.87.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}-a_n=3\)，\(a_1=1\)，則\(a_4\)為（）A.7B.10C.13D.168.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_4=12\)，則公差\(d\)為（）A.2B.3C.4D.59.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_4=8\)，則公比\(q\)是（）A.1B.2C.3D.410.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=\frac{1}{n(n+1)}\)，則\(a_2\)的值為（）A.\(\frac{1}{6}\)B.\(\frac{1}{4}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{1}{2}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下是等差數(shù)列的有（）A.\(1,3,5,7\)B.\(2,4,8,16\)C.\(5,5,5,5\)D.\(1,2,4,7\)2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，公比\(q=2\)，\(a_1=1\)，下列正確的是（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=4\)C.\(a_4=8\)D.\(a_5=16\)3.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的性質(zhì)正確的是（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m+a_n=a_p+a_q\)B.\(a_n=a_1+(n-1)d\)C.\(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}\)D.公差\(d\)可以為\(0\)4.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的性質(zhì)有（）A.若\(m+n=p+q\)，則\(a_m\cdota_n=a_p\cdota_q\)B.\(a_n=a_1q^{n-1}\)C.公比\(q\)不能為\(0\)D.\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}(q\neq1)\)5.下列數(shù)列通項公式正確的是（）A.數(shù)列\(zhòng)(1,0,1,0\cdots\)，\(a_n=\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}\)B.數(shù)列\(zhòng)(2,4,6,8\cdots\)，\(a_n=2n\)C.數(shù)列\(zhòng)(1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\cdots\)，\(a_n=\frac{1}{n}\)D.數(shù)列\(zhòng)(1,3,9,27\cdots\)，\(a_n=3^{n-1}\)6.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，\(a_1=2\)，\(d=3\)，則（）A.\(a_2=5\)B.\(a_3=8\)C.\(a_4=11\)D.\(a_5=14\)7.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=4\)，\(q=\frac{1}{2}\)，則（）A.\(a_2=2\)B.\(a_3=1\)C.\(a_4=\frac{1}{2}\)D.\(a_5=\frac{1}{4}\)8.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)滿足（）A.\(S_1=a_1\)B.\(S_2=a_1+a_2\)C.\(S_n-S_{n-1}=a_n(n\geq2)\)D.\(S_n\)是關(guān)于\(n\)的二次函數(shù)（\(d\neq0\)時）9.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)（）A.當(dāng)\(q=1\)時，\(S_n=na_1\)B.當(dāng)\(q\neq1\)時，\(S_n=\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}\)C.一定有\(zhòng)(S_n\)關(guān)于\(n\)的表達式D.可能不存在\(S_n\)關(guān)于\(n\)的表達式（某些特殊情況）10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=a_n+2\)，\(a_1=1\)，則（）A.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是等差數(shù)列B.\(a_2=3\)C.\(a_3=5\)D.通項公式\(a_n=2n-1\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.常數(shù)列一定是等差數(shù)列。（）2.常數(shù)列一定是等比數(shù)列。（）3.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+1\)，則\(a_n=2n-1\)。（）4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，若\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_n=2n-1\)。（）5.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(q=-1\)，則\(a_{2023}=1\)。（）6.若數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n+1}=2a_n\)，則\(\{a_n\}\)是等比數(shù)列。（）7.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n\)中，\(S_5=5a_3\)。（）8.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_2a_8=a_5^2\)。（）9.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的通項公式\(a_n=n^2\)，則\(a_3=6\)。（）10.若\(a,b,c\)成等差數(shù)列，則\(2b=a+c\)。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=3\)，\(d=2\)，求\(a_n\)的通項公式。答案：根據(jù)等差數(shù)列通項公式\(a_n=a_1+(n-1)d\)，將\(a_1=3\)，\(d=2\)代入，得\(a_n=3+2(n-1)=2n+1\)。2.等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=2\)，\(a_3=8\)，求公比\(q\)。答案：由等比數(shù)列通項公式\(a_n=a_1q^{n-1}\)，\(a_3=a_1q^2\)，將\(a_1=2\)，\(a_3=8\)代入得\(8=2q^2\)，\(q^2=4\)，所以\(q=\pm2\)。3.已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2+n\)，求\(a_n\)。答案：當(dāng)\(n=1\)時，\(a_1=S_1=1^2+1=2\)；當(dāng)\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}=(n^2+n)-[(n-1)^2+(n-1)]=2n\)，\(n=1\)時也滿足，所以\(a_n=2n\)。4.等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3+a_5=14\)，求\(S_6\)。答案：設(shè)公差為\(d\)，\(a_3=1+2d\)，\(a_5=1+4d\)，由\(a_3+a_5=14\)得\(2+6d=14\)，\(d=2\)。\(S_6=6\times1+\frac{6\times5}{2}\times2=36\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論等差數(shù)列和等比數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用實例。答案：等差數(shù)列如銀行存款按固定金額定期增加利息；等比數(shù)列如細胞分裂，每次分裂數(shù)量是上次的固定倍數(shù)。它們在經(jīng)濟、生物等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用，幫助分析增長、變化規(guī)律等。2.如何判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列？答案：判斷等差數(shù)列看相鄰兩項差是否為常數(shù)；判斷等比數(shù)列看相鄰兩項比值是否為非零常數(shù)。也可根據(jù)通項公式和前\(n\)項和公式特點判斷，如等差數(shù)列通項是一次函數(shù)形式，等比數(shù)列通項有指數(shù)形式。3.數(shù)列的通項公式與前\(n\)項和公式有怎樣的關(guān)系？答案：已知前\(n\)項和\(S_n\)，\(n=1\)時，\(a_1=S_1\)；\(n\geq2\)時，\(a_n=S_n-S_{n-1}\)。反之，知道通項公式也可通過特定方法求前\(n\)項和，二者相互關(guān)聯(lián)，可用于研究數(shù)列性質(zhì)。4.當(dāng)?shù)缺葦?shù)列公比\(q\)在\((0,1)\)之間時，數(shù)列有什么特點？答案：當(dāng)公比\(q\in(0,1)\)時，等比數(shù)列是遞減數(shù)列（\(a_1>0\)時）或遞增數(shù)列（\(a_1<0\)時）。數(shù)列各項的絕對值逐漸減小，且無限趨近于\(0\)，但不會等于\(0\)。答案一、單