第二章線性時不變系統(tǒng)的時域分析

學習要點：線性時不變系統(tǒng)的微分方程、差分方程描述、系統(tǒng)零輸入響應和零狀態(tài)響應的概念；沖激響應（脈沖響應）和階躍響應分析和計算；卷積、卷積和的概念、性質及計算；線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定性和因果性的判斷。

第一節(jié)線性時不變系統(tǒng)的描述系統(tǒng)描述方法：

第一節(jié)線性時不變系統(tǒng)的描述系統(tǒng)微分方程或差分方程的建立線性時不變系統(tǒng)是最簡單、最常見、應用最廣泛的一類系統(tǒng)，例如各種線性電路和脈沖電路，也包括機械系統(tǒng)，動力系統(tǒng)等。描述這類系統(tǒng)輸入-輸出特性的是具有某初始條件的常系數(shù)線性微分方程或差分方程。第一節(jié)線性時不變系統(tǒng)的描述常見系統(tǒng)：

RLC串聯(lián)回路，機械位移系統(tǒng)，回波消除系統(tǒng)，傳感器系統(tǒng)等；不同物理系統(tǒng)的描述方法可能是相同的。本課程重點研究電路系統(tǒng)。

舉例：電感電阻電容根據(jù)KCL代入上面元件伏安關系，并化簡有這是一個二階線性時不變系統(tǒng)。寫出RLC并聯(lián)電路的端電壓與激勵間的微分方程。

1.2電路系統(tǒng)微分方程建立及初始條件的計算為建立電路系統(tǒng)的微分方程及求解初始條件，需利用電路中各元器件的伏安特性、歐姆定理、基爾霍夫定律（KCL、KVL）、戴維南定理、疊加原理、互易原理等電路理論。具體地，KCL敘說

KVL敘說

1.2電路系統(tǒng)微分方程建立及初始條件的計算電阻的伏安特性：電容的伏安特性：電感的伏安特性：

1.2電路系統(tǒng)微分方程建立及初始條件的計算考慮零時刻切換激勵，則接入時刻后

1.2電路系統(tǒng)微分方程建立及初始條件的計算由電容電壓不能突變和電感電流不能突變的原理，有依據(jù)上述電路知識，可以建立電路系統(tǒng)的微分方程、求解其初始條件。以上成立的前提是沒有沖激電流作用于電容和沒有沖激電壓作用于電感。1.2電路系統(tǒng)微分方程建立及初始條件的計算電感和電容等儲能元件上的初始狀態(tài)“記憶”了輸入在過去階段中的變化。這意味著，系統(tǒng)初始狀態(tài)是系統(tǒng)“記憶”了過去階段的輸入并在初始時刻表現(xiàn)的形態(tài)，它對系統(tǒng)在切換時刻后的響應的作用與系統(tǒng)過去階段的輸入對此響應的作用相互等效。

例2-1列出圖示的以流過電阻R1上的電流為響應的電路系統(tǒng)的微分方程，求解其初始條件。

例2-1

（1）建立微分方程：利用KCL和KVL有，這使得：把它代入：

例2-1整理得：代入元件參數(shù)后，有以下微分方程

例2-1

（2）時刻的初始條件：由于切換前電路已穩(wěn)定，所以，有

例2-1（3）時刻的初始條件：由電感電流和電容電壓不突變原理，有

例2-1

時刻的初始條件用來計算系統(tǒng)的全響應。例2-2求近似描述圖2-3所示RC低通網絡的離散系統(tǒng)。

例2-3求描述所示電阻解碼網絡的離散時間系統(tǒng)的差分方程。

LTI系統(tǒng)的一般描述LTI系統(tǒng)可由線性常系數(shù)微分方程或差分方程描述：

補充：線性時不變系統(tǒng)全響應的時域經典計算方法（見教材附錄1部分）所需的要素：建立系統(tǒng)模型（微分方程或差分方程）；確定系統(tǒng)的初始條件；已知系統(tǒng)激勵信號（可能是全激勵，一般的為因果激勵信號）。求解步驟：微分方程（差分方程）的齊次解；微分方程（差分方程）的特解；確定待定系數(shù)。

系統(tǒng)的自由響應和強迫響應微分方程或差分方程的齊次解表示系統(tǒng)的自由響應；描述系統(tǒng)的微分方程或差分方程，其特征方程的所有根稱為系統(tǒng)的固有頻率、自由頻率或自然頻率，決定了系統(tǒng)自由響應的形式。完全解中特解稱為系統(tǒng)的強迫響應（或受迫響應），與激勵函數(shù)形式有關。

第二節(jié)系統(tǒng)響應的的概念與分類系統(tǒng)響應包括：沖激響應、階躍響應零狀態(tài)響應、零輸入響應自由響應、強迫響應暫態(tài)響應、穩(wěn)態(tài)響應

2.1零輸入響應和零狀態(tài)響應的概念

對圖2-1(b)（第一節(jié)例題）所示電路，利用疊加原理易知，系統(tǒng)在零時刻后的響應為激勵電壓源和內部電源分別產生的響應之和，即（求解見附錄1）

2.1零輸入響應和零狀態(tài)響應的概念從觀察的初始時刻起不再施加輸入激勵（即零輸入），僅由系統(tǒng)本身在該時刻具有的初始狀態(tài)引起的響應稱為零輸入響應。在初始狀態(tài)為零（即零狀態(tài)）的條件下，僅由該系統(tǒng)在初始時刻后的輸入引起的響應稱為零狀態(tài)響應。

2.2系統(tǒng)響應的一般表示系統(tǒng)響應（詳細過程見附錄1部分）

系統(tǒng)響應的分解系統(tǒng)的全響應可分解為一個自由響應分量和一個受迫響應分量之和系統(tǒng)的全響應可分解為一個暫態(tài)響應分量和一個穩(wěn)態(tài)響應分量之和全響應中，自由響應分量是與系統(tǒng)特征根相應的分量，受迫響應分量是與系統(tǒng)激勵相應的分量；全響應中，穩(wěn)態(tài)響應分量是當時間變量趨向正無窮大時不消失的分量，而時間變量趨向正無窮大時消失的分量稱為暫態(tài)分量。

以例2-1來說明LTI系統(tǒng)各類響應

2.3廣義線性系統(tǒng)的概念根據(jù)電路的線性疊加原理，有：零狀態(tài)線性：起始狀態(tài)為零時，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應對輸入信號呈現(xiàn)線性（包括可加性和齊次性）零輸入線性：當外部激勵為零時，系統(tǒng)的零輸入響應對系統(tǒng)初始狀態(tài)呈現(xiàn)線性線性系統(tǒng)擴展定義：一個既具有零輸入響應和零狀態(tài)響應分解特性，又具有零輸入線性和零狀態(tài)線性的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)，否則稱為非線性系統(tǒng)全響應：系統(tǒng)在初始條件下對初始時刻后的輸入在初始時刻后產生的響應成為全響應全響應等于零輸入響應和零狀態(tài)響應之和常系數(shù)線性微分方程描述的系統(tǒng)只有在起始狀態(tài)為零的條件下，系統(tǒng)才是線性時不變的，并且是因果的

例：應用廣義線性的概念計算系統(tǒng)的響應例2-4LTI系統(tǒng)在某初始條件下，對激勵和的全響應分別為和，求在該初始狀態(tài)下，對激勵的全響應。核心：利用線性系統(tǒng)擴展的定義求解

例：應用廣義線性的概念計算系統(tǒng)的響應例2-4LTI系統(tǒng)在某初始條件下，對激勵和的全響應分別為和，求在該初始狀態(tài)下，對激勵的全響應。解：

例題2-6：已經某系統(tǒng)激勵與響應、初始條件符合：根據(jù)廣義線性的定義，上述系統(tǒng)零輸入和零狀態(tài)響應可分解；零輸入響應具備線性性；但零狀態(tài)響應不符合線性性；因此整個系統(tǒng)不是廣義線性系統(tǒng)

2.4沖激（脈沖）響應和階躍響應兩個特別的零狀態(tài)響應——

沖激（脈沖）響應和階躍響應。沖激響應（脈沖響應）