1.1集合的概念及特征（精練）

—基戶肺訓(xùn)IN練

1.（2023?高一課時練習）下列語句中，正確的個數(shù)是（）

（1）OGN；（2）neQ；（3）由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合含有5個元素；（4）數(shù)軸上由1到1.01間的線

段的點集是有限集；（5）方程丁=0的解能構(gòu)成集合.

A.2B.3C.4D.5

2.（2023?高一課時練習）設(shè)有下列關(guān)系：@V2eR;@4eQ；③OwN；其中正確的個數(shù)

為.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

3(2023?四川綿陽)己知集合A={-2,—1,0,1,2,3},4=卜€(wěn)囿一/￡從},則月=()

A.{1,2}B.{-2,-1)C.{0,3}D.{3}

4.(2023?高一課時練習)下列說法正確的是()

A.方程J2x-l+|3y+3|=3的解集是彳

B.方程/一%一6=0的解集為{(-2,3)}

C.集合M={y|y=/+1,x@R}與集合P={(x,y)\y=x2+l,x@R}表示同一個集合

2x+y=0

D.方程組.Q八的解集是{(x,川x=-l且片2}

x-y+3=0

5.（2023?安徽）若關(guān)于x的方程加+2（。+1*+4=0的解集為單元素集合，則（）

A.67=0B.4=1

C.4=0或。=1D.。工0且。工1

6.（2023春?河北）下面四個命題正確的個數(shù)是（）.

①集合N'中最小的數(shù)是1:

②若一46N'，則OWN"；

③若。eN'.〃eN",則。+Z?的最小值是2；

@12+9=6］的解集是{3,3}.

A.0B.1C.2D.3

7.（2023?高一課時練習）由。2,2-。，3組成的一個集合A,若A中元素個數(shù)不是2,則實數(shù)。的取值可

以是（）

A.-1B.1C.&D.2

8.（2023?云南）已知集合4={。-2,"+4卬10},若-3wA,則實數(shù)。的值為（）

A.-1B.-3C.-3或-1D.無解

9（2023?山西）已知A=,-2,2a：+5a12}其-3wA,則由。的值構(gòu)成的集合是（）

31

A.0B.-1,-計C.{-1}D.

10.（2023?陜西）已知集合A={x|f+px+q=x},8={X|（x—1）2+〃（工一1）+9=x+3},當A={2}時，集合8

=（）

A.{1}B.{1,2}

C.{2,5}D.{1,5}

11.（2023春?河南焦作）已知集合用={1,〃?而+3},且4iM,則〃?取值構(gòu)成的集合為（：

A.{1,4}B.{T4}C.{-1,1,4}D.0

12.（2023?高一?課時練習）已知關(guān)于x的方程V-心+〃/—3=0的解集只有一個元素，則〃?的值為（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

x+y=2

13.(2023?高一課時練習)方程生《；?八的解集可以表示為()

x-2y+l=0

A.｛x=\yy=\｝B.｛1｝C.KU))D.｛IJ｝

14.(2023春?江蘇泰州)已知集合4=｛-1,0,1｝,H=則集合8中所有元素之和為

()

A.0B.1C.-1D.72

15.(2023?河南周口)(多選)下列說法中不正確的是()

A.。與｛0｝表示同一個集合

B.集合”=｛3,4｝與％=｛(3,4)｝表示同一個集合

C.方程2)=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝

D.集合W4vxv5｝不能用列舉法表示

16.(2023?高一單元測試)(多選)設(shè)集合A=｛-3,X+2,V-4X｝,且5WA,則x的值可以為()

A.3B.-1C.5D.-3

17.(2023?高一課時練習)下列語句中:

(1)，＞5｝和卜|上＞5｝表示同一集合;

(2)由1,2,3組成的集合可表示為｛123｝或｛3,1,2｝；

(3)方程(x-l)2(x+2)=0的所有解組成的集合是｛1,-2｝；

(4)區(qū)間(1,8)是有限集，

其中正確的是.(填入所有正確的語句序號)

18.(2023?高一課時練習)下列說法正確的是

①「GN|x(x2-4)=0［與集合｛0,-2,2｝相等

②方程(xi)(x+〃)=0的所有實數(shù)根組成的集合可記為｛-4。｝

③全體偶數(shù)組成的集合為卜|x=2A,xeZ｝

④集合｛（x，刈），=可表示一條過原點的直線

19.（2023?高一單元測試）已知集合4=｛。1,2｝,則集合8=｛工-），|工￡人），6川中元素的個數(shù)是.

20.（2023?高一課時練習）已知集合4的所有元素為2,4,6,若acA,且有6—則〃的值是.

21.（2023?上海楊浦?復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）已知集合A=｛x,/+1,-1｝中的最大元素為2,則實數(shù)1=

22.（2023?山東）設(shè)集合人=12,3,〃2一3。,〃+—+7,〃=已知4eA且4《8,貝心的取值集合

a

為.

23.（2023?全國?高三專題練習）已知集合A是由0,〃2,〃?2-3〃:+2三個元素構(gòu)成的集合，且2a4,則實數(shù)

in=.

24.（2023?海南）己知集合加=｛1|@-。）*2-?+。-1）=0｝各元素之和等于3,則實數(shù)。=.

25.（2023?西藏）含有三個實數(shù)的集合既可表示成卜$1｝,又可表示成忖M+反。｝,則/。|9+*20=

26.（2023?高一課時練習）用適當方法表示下列集合：

（1）從1,2,3這三個數(shù)字中抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的自然數(shù)的集合；

（2）方程j2x+l+|y-2|=0的解集;

（3）由二次函數(shù)y=3x2+l圖象上所有點組成的集合.

能）力卜提M升

1.（2023春?河南?高一校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）若對任意xeA,一￡人，則稱A為"影子關(guān)系〃集合，下列

集合為"影子關(guān)系”集合的是（）

A.{-1,1}B.?1,2-C.卜,2〉|}D.{巾＞（）}

2.（2023?河北）（多選）已知M是同時滿足下列條件的集合：①OwM.lwM；②若則x-ywM；

③xeM且XHO,則下列結(jié)論中正確的有（）

x

A.-eMB.一1任M

3

C.若則x+yeMD.若則乃eM

3（2023?江西）設(shè)Q是有理數(shù)，集合X={x|x=a+07i,a,〃€Q,iw0},在下列集合中；

r|

（1）（y|y=2x,x€X）;（2）{vIy=X}；（3）{y|y=-,xeX}；（4）{y|y=A\AGX）；與X相同的

V2X

集合有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

4.12023?遼寧錦州）（多選）關(guān)于工的方程的解集中只含有一個元素，則々的可能取值是（）

x-\X~-X

A.-4B.0C.1D.5

5.（2023?高一課時練習）已知人為方程aF+2x+l=0的所有實數(shù)解構(gòu)成的集合，其中a為實數(shù).

⑴若A是空集，求。的范圍；

⑵若A是單元素集合，求。的范圍：

⑶若4中至多有一個元素，求。的取值范圍.

6.（2023?黑龍江）已知集合4=卜|城2-34-4=。｝.

（1）若A中有兩個元素，求實數(shù)。的取值范圍：

（2）若A中至多有一個元素，求實數(shù)的〃取值范圍.

7.（2023?河南）已知集合A滿足以下條件：①*A：②若aeA,則空geA.

"品I

⑴求證：集合A至少有3個元素；

⑵若集合寫出屬于集合M的兩個元素，并說明理由.

8.(2023?高一課時練習)已知陽是滿足下列條件的集合：①OeMJeM②若則人」”也③若

xeM且x=0,則』eM

x

(1)判斷;eM是否正確，說明理由

(2)證明：若則x+"M

(3)證明：若則不，wM

9.(2023?高一課時練習)集合A中的元素是實數(shù)，且滿足條件①若aeA,則--uA,@2GA,求:

1-6Z

(1)4中至少有幾個元素？

⑵若條件②換成3wA,4中至少含有的元素是什么？

⑶請你設(shè)計一個屬于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.

】。.（2。23?遼寧）已知集合A的元素全為實數(shù)'且滿足：若則

（1）若。=-3,求出A中其它所有元素；

（2）0是不是集合A中的元素？請你設(shè)計一個實數(shù)aeA,再求出A中的所有元素?

⑶根據(jù)（1）（2）,你能得出什么結(jié)論.

11.（2023?北京）己知實數(shù)集4={6必，…，見}523）,定義。（④=,%,嗎eA/w/}.

⑴若A={-2,Q1,2},求0（A）：

⑵若8（4）={0,-6,—8,—12,12,18,24},求集合A；

⑶若A中的元素個數(shù)為9,求夕（八）的元素個數(shù)的最小值.

12.（2022秋?上海浦東新?高一?？茧A段練習）設(shè)數(shù)集A由實數(shù)構(gòu)成，且滿足：若XGA（1工1且x工（）），則

（1）若2eA,則A中至少還有幾個元素？

（2）集合A是否為雙元素集合？請說明理由.

14

（3）若A中元素個數(shù)不超過8,所有元素的和為丁，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合

A.

1.1集合的概念及特征（精練）

—基戶肺訓(xùn)IN練

1.（2023?高一課時練習）下列語句中，正確的個數(shù)是（）

（1）OGN；（2）neQ；（3）由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合含有5個元素；（4）數(shù)軸上由1到1.01間的線

段的點集是有限集；（5）方程丁=0的解能構(gòu)成集合.

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【解析】。是自然數(shù)，故OeN,（1）正確；

兀是無理數(shù)，故兀￡Q,（2）錯誤；

由3、4、5、5、6構(gòu)成的集合為{345,6}有4個元素，故（3）錯誤；

數(shù)軸上由1到1.01間的線段的點集是無限集，（4）錯誤；

方程f=o的解為工=0,可以構(gòu)成集合{0},（5）正確；

故選:A

2.（2023?高一課時練習）設(shè)有下列關(guān)系：@V2eR;②4wQ；③OwN：@0G{0,1}.其中正確的個數(shù)

為.

A.1個B.2個

C.3個D.4個

【答案】D

【解析】表示實數(shù)集:向R，則①正確

???Q表示有理數(shù)集.-460,則②正確

QM表示自然數(shù)集「.OwN,則③正確

???o是集合{0,1}的一個元素/.Os{0J},則④正確

本題正確選項：D

3（2023?四川綿陽）已知集合人={-2,-1,0,1,2,3},B={XEA\-^A},（）

A.{1,2}B.{-2,-1）C.{0,3}D.{3}

【答案】D

【解析】EIA={-2,-1,0/23},即集合8的可能元素一2,-1,0,1,2,3,則有;

由OwA,則一O=0eA,可得0隹8；

rh—1€A?且iwA,可得—laB,且1偌8；

由一2wA,且2w力，可得一2任8,且2任B；

由3wA,且-3??A,可得3e8；

綜上所述：8={3}.

故選：D.

4.(2023?高一課時練習)下列說法正確的是()

A.方程，2x-l+|3y+3]=。的解集是，;,一1，

B.方程W7—6=0的解集為{(23)}

C.集合M={y|y=x2+1,淄/?}與集合P={(x,y)\y=x2+l,婚瑪表示同一個集合

f2x+y=0,,

D.方程匆〈,,八的解集是{(x,y)|x=-l且*2}

x-y+3=0

【答案】D

【解析】對于A,方程＞/iE+|3y+3|=0的解集是故A錯誤；

對于B,方程YT_6=0的解集為{-2,3},故B錯誤；

對于C,集合M表示數(shù)集，集合N表示點集，故不是同一集合，故C錯誤；

f2x+y=0

對于D,由《八解得AT.)=2,故解集為{(x,y)|x=-ll-l.y=2},故D正確.

[x-y+3=0

故選:D.

5.(2023?安徽)若關(guān)于x的方程/+2(。+1)1+4=()的解集為單元素集合，貝lj()

A.a=0B.tz=I

C.a=()或a=lD."0且"1

【答案】C

【解析】。=0時，原方程為一元一次方程，有唯一解，滿足條件；

時，原方程為一元二次方程，當判別式?=()時，方程有一個解，此時，

?=4(。+1)2-4x44=0,解得a-\

所以當原方程的解集為單元素集合時，。=0或。=1,選項C正確.

故選：C.

6.（2023春?河北）下面四個命題正確的個數(shù)是（）.

①集合N'中最小的數(shù)是1:

②若一46N'，則OWN"；

③若。eN'.〃eN",則。+Z?的最小值是2；

@12+9=6］的解集是{3,3}.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】M是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是1,故①正確：

當“<0時,-awN”,但a圮NZ改②錯誤：

TiawN：則a的最小值為1.又beN"則b的最小值為1,當。和b都取最小值時，〃+/?取最小值2,故

③正確；由集合中元素的互異性知④錯誤.故選：C

7.（2023?高一課時練習）由2-。，3組成的一個集合A,若A中元素個數(shù)不是2,則實數(shù)〃的取值可

以是（）

A.-1B.1C.75D.2

【答案】D

【解析】由題意由小，2-〃，3組成的一個集合4,A中元素個數(shù)不是2,

因為"=2-〃=3無解，故由/，2—a,3組成的集合A的元素個數(shù)為3,

故/02-〃工3，即。H-2,4W1,4WH土石，即。可取2,

即A,B,C錯誤，D正確，

故選：D

8.（2023?云南）已知集合A={a-2M2+4a,10},若一3e4,則實數(shù)。的值為（）

A.-1B.-3C.-3或-1D.無解

【答案】B

【解析】若-3E4,可得當a-2=-3時，解得〃=-1,此時人={-3,-3,10},

不滿足集合的互異性，故。=-1（舍去），

當“2+4〃=—3，解得。=—1（舍去）或a=—3,此時A={-5,—3,10},

滿足題意，故實數(shù)〃的值為-3.故選：B

9（2023?山西）已知A={，-2,2i+5a,12}其-3eA,則由。的值構(gòu)成的集合是（）

Q13］

A.0B.，-1,；,C.卜”D.>

【答案】D

【解析】?/-3eA,

當〃一2=-3,即。=T時，A={-3,-3,12},集合中有相同元素，舍去；

當2/+5。=-3,即。=-1（舍）或。=-］時，A=1--,-3,12|,符合，

故由〃的值構(gòu)成的集合是卜?}?

故選:D

10.（2023?陜西）已知集合4={%*+〃獷匕=外B={X|（A—l）24-p（x-l）+^=x+3},當4={2}時，集合8

=（）

A.{1}B.{1,2}

C.{2,5}D.{1,5}

【答案】D

【解析】由4={x|x2+px+g=x}={2}知，x2+px+q=x即f+（〃一］）x+g=o有且只有一個實數(shù)解工=2,

0224-2p+^=2,且/=（/）—I）?—4q=0.計算得出〃=—3,q=4.

則（工一1戶+〃（工一l）+g=x+3可化為（x—1）2—3（戈一l）+4=x+3；即（x—1產(chǎn)―4（x—1）=0：

則工一1=0或x—1=4,計算得出x=l或工=5.所以集合8={1,5}.故選：D.

11.（2023春?河南焦作）已知集合用={1,〃?,〃『+3},且4iM,則〃?取值構(gòu)成的集合為（）

A.{1,4}B.{-L4}C.{-1,1,4}D.0

【答案】B

【解析】因為集合加={1，〃?，〃+3},且4iM,所以〃?=4或/+3=4.

當加？+3=4時，解得:〃2=1或〃】=-1.而〃2=1,不符合元素的互異性，故〃?=4或,〃=-1.故選：B

12.（2023?高一課時練習）已知關(guān)于x的方程V-〃泣?+〃/-3=0的解集只有一個元素，則機的值為（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

【答案】C

【解析】因為關(guān)于x的方程V—必+>_3=0的解集只有一個元素，所以△=〃?2-4（4-3）=0,解得〃?=±2.

故選：c

13.（2023?高一課時練習）方程組1+；'=2八的解集可以表示為（）

x-2y+l=0

A.｛x=l,y=l｝B.｛1｝C.｛（1,1）｝D.｛IJ｝

【答案】C

【解析】由1'+廣2八得['=:，所以方程組八的解集可以表示為｛（1』）｝，故選：C

x-2y+l=0[y=i[x-zy+l=0

14.（2023春?江蘇泰州）已知集合A=｛T0,l｝,B=｛m\m2eA,m-\A\,則集合8中所有元素之和為

（）

A.0B.1C.-1D.&

【答案】C

【脩析】根據(jù)條件分別令=解得機=0,±1,±&,

又〃—?1史A,所以〃?=-1,±0,8=所以集合4中所有元索之和是-1,故選：C.

15.（2023?河南周口）（多選）下列說法中不正確的是（）

A.（）與｛0｝表示同一個集合

B.集合〃=｛3,4｝與汽=｛（3,4）｝表示同一個集合

C.方程（x-l）2（x-2）=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝

D.集合"|4<x<5｝不能用列舉法表示

【答案】ABC

【解析】對于A中，0是一個元素（數(shù)），而｛0｝是一個集合，可得（）w｛0｝,所以A不正確：

對于B中，集合用=｛3,4｝表示數(shù)3,4構(gòu)成的集合，集合N=｛（3,4）｝表示點集，

所以B不正確；

對于C中，方程3-1）2"-2）=0的所有解的集合可表示為｛1,1,2｝,根據(jù)集合元素的互異性，可得方程

（X-I）2（X-2）=0的所有解的集合可表示為｛L2｝,所以C不正確；

對于D中，集合｛x|4<x<5｝含有無窮個元素，不能用列舉法表示，所以D正確.

故選：ABC.

16.（2023?高一單元測試）（多選）設(shè)集合4=｛-36+2,/-4耳，且5eA,則x的值可以為（）

A.3B.-1C.5D.-3

【答案】BC

【解析】m5wA,則有：若x+2=5,則x=3,此時V—4工=9-12=-3,不符合題意，故舍云；

若/一4x=5,則%=-1或x=5,當x=-l時，A=｛-3,1,5),符合題意；當x=5時，A=｛-3,7,5｝,符合題

意；綜上所述：x=-l或x=5.故選：BC.

17.(2023?高一課時練習)下列語句中：

(1)｛』＞5｝和｛%|父＞5｝表示同一集合；

(2)由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,1,2｝；

(3)方程*-1)2(4+2)=0的所有解組成的集合是2｝；

(4)區(qū)間(1,8)是有限集，

其中正確的是.(填入所有正確的語句序號)

【答案】(2)(3)

【解析】對于(1),｛爐＞5｝表示集合中只有F＞5這.個元素，而｛x|/＞5｝表示不等式?。?的解，故不

是同一集合；

對于(2),集合中的元素滿足無序性,所有由1,2,3組成的集合可表示為｛1,2,3｝或｛3,1,2)；

對于(3),方程(x-l)2(x+2)=0的所有解組成的集合是成-2｝；

對于(4),區(qū)間(1,8)中有無限多人元素,所以是無限集,

故答案為:(2)(3)

18.(2023?高一課時練習)下列說法正確的是

①卜。卜(/_4)=()｝與集合｛0,-2,2｝相等

②方程。-幻口+0=。的所有實數(shù)根組成的集合可記為｛-。川

③全體偶數(shù)組成的集合為｛x\x=2k、xwZ｝

④集合"，)兒，=%｝表示一條過原點的直線

【答案】④

【解析】解方程％(丁-4)=0化簡集合k61＞1卜(/-4)=0｝,可判斷①錯；討論〃的取值，可判斷②錯；用

集合表示偶數(shù)集，可判斷③錯；根據(jù)點集的集合表示，可判斷④正確.

①由x（V—4）=0得工=0或工=±2,因此｛16卜任一4）=0｝=｛0,2｝與集合｛0,—2,2｝不相等；即①錯；

②當〃=（）時，方程（.1-。）&+〃）=。的解為x=0,方程*-〃）（4+〃）=0的所有實數(shù)根組成的集合為網(wǎng)，不

能表示為｛-。,。｝；即②錯〈

③全體偶數(shù)組成的集合為卜|X=2A?CZ｝；即③錯；

④集合｛（X,訓(xùn)），="表示直線y=x上的所有點，即集合｛（x,y）|y=x｝表示一條過原點的直線：即④正確.

故答案為：（4）.

19.（2023?高一單元測試）已知集合人=｛04,2｝,則集合8=（工-），|工€4），€川中元素的個數(shù)是.

【答案】5

【解析】當x=y=0或1或2時，x-y=o/.OeB

當x=0,y=l或2時，x-y=T或-2」.-IwB,-2eB

當x=l,y=0或2時，x—y=l或—1.?.-leA,IGB

當x=2,y=o或1時，x-y=2或1.?.2w4,IwA

綜上所述：?=｛-2,-1,0,1,2｝,共5個元素

故答案為：5

20.（2023?高一課時練習）已知集合A的所有元素為2,4,6,若且有6-則a的值是.

【答案】2或4

【解析】若。=2,則6-a=4eA,符合題意：

若a=4,貝iJ6-a=2w4,符合題意；

若a=6,則6-4=0史A,不符合題意.

故答案為：2或4.

21.（2023?上海楊浦?復(fù)旦附中校考模擬預(yù)測）已知集合人=｛孤?+中的最大元素為2,則實數(shù)％=

【答案】1

【解析】因為f+l—x=（x—』］+3>0,所以/+1>.一

I2）4

所以丁+1=2,解得x=l或4-1,

顯然A-1不滿足集合元素的互異性，故舍去，經(jīng)檢驗*=1符合題意.故答案為；1

22.（2023?山東）設(shè)集合人=卜3?2-3卬。+2+71,8=（|。一2|,3｝,已知4eA且4史8,則。的取值集合

a

為.

【答案】｛4｝

【解析】因為4tA,即4H2,3,〃2—3〃,〃+—+7,

a

2

所以〃2一3々=4或。+—+7=4,

a

若〃2-3〃=4,則。=一1或。=4；

2

若〃+—+7=4,即M+3a+2=0,貝U。=-1或。=一2.

a

2

由3a與〃+—■b7互異，得。￥—1,

故。=-2或。=4,

又4任8,即4任｛|所2],3｝,所以|所2忸4,解得々工一2且〃工6,

綜上所述，〃的取值集合為｛4｝.

故答案為：｛4｝

23.（2023?全國?高三專題練習）已知集合4是由0,〃?，〃/一3〃1+2三個元素構(gòu)成的集合，且2a4,則實數(shù)

m=.

【答案】3

【解析】由題意知，，〃=2或m2_加+2=2,解得m=2或m=O或m=3,經(jīng)驗證，

當用=。或/〃=2時，不滿足集合中元素的互異性，

當m=3時，滿足題意，故,〃=3.答案：3

24.（2023?海南）已知集合加=｛川。-〃）。2一如+._|）=0｝各元素之和等于3,則實數(shù)。=.

【答案】2或；

【解析】由題意知：M="|（x—a）“2一"+。一|）=0｝中元素，即為（..々）*2一公+〃一|）=0的解，

回工一4=0或丁_,仇+4_1=（）,可知：為=。或為+&=〃

回當工當時，2。=3；當天=工3時，|?=3?

33

團。=2或a=7，故答案為：2或；

22

25.（2023?西藏）含有三個實數(shù)的集合既可表示成卜$1卜又可表示成｛/M+/訓(xùn)，則產(chǎn)9+產(chǎn)。=

【答案】-1

【解析】要使得$有意義，則"0,由集合?|}={〃2間+尻0},故可得8=0,此時{。,0,1}=

故只需。=1或/=1,若。=1,則集合忖,"0}={1」,0}不滿足互異性，故舍去.

則只能為。=-1/=。.則產(chǎn)9+評。=_］故答案為：_］

26.（2023?高一課時練習）用適當方法表示下列集合：

（1）從1，2,3這三個數(shù)字中抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的自然數(shù)的集合；

（2）方程J2x+l+|y-2|=0的解集;

(3)由二次函數(shù)y=3x2+l圖象上所有點組成的集合.

/1

【答案】(1){1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,321,312}；(2)--,2

X2

{(x,y)|y=3x2+l,xfflR}.

【解析】(1)當從1,2,3這三個數(shù)字中抽出1個數(shù)字時，自然數(shù)為1,2,3；

當抽出2個數(shù)字時，可組成自然數(shù)12,21,13,31,23,32；

當抽出3個數(shù)字時，可組成自然數(shù)123,132,213,231,321,312.

由于元素個數(shù)有限，故用列舉法表示為

{1,2,3,12,13,21,31,23,32,123,132,213,231,321,312}.

（2）由算術(shù)平方根及絕對值的意義，可知：

⑵+1=0x=--

oc，解得2，

"-2=。［）,=2

因此該方程的解集為{（-：,2）}.

（3）首先此集合應(yīng)是點集，是二次函數(shù)y=3x2+i圖象上的所有點，

故用描述法可表示為{（x,y）|y=3x2+l,而R}.

能）力提M升

1.（2023春?河南?高一校聯(lián)考開學(xué)考試）（多選）若對任意X64,:則稱A為“影子關(guān)系”集合，下列

集合為“影子關(guān)系”集合的是（）

A.{-U}B.C.{x|x2>l|D.{x|x>0）

【答案】ABD

【解析】根據(jù)"影子關(guān)系”集合的定義，可知{/2卜{布>0}為“影子關(guān)系〃集合，

由卜,訓(xùn)，得{小<-1或不>1},當x=2時，白卜.>1},故不是“影了?關(guān)系”集合.故選：ABD

2.（2023?河北）（多選）已知M是同時滿足下列條件的集合：①OwMJwM；②若x,），eM,則x-yeM；

③大￡加且xwO,則上￡”.下列結(jié)論中正確的有（）

x

A.-GMB.-1任M

3

C.若則x+yeMD,若則AyeM

【答案】ACD

【解析】（1）由①OeM』eM,貝!由②0—「.IT—l）=2w",2-（-l）=3eM,由③得;eM,

故A正確；

（2）由（1）可知-leM,故B錯誤；

（3）由①知OeM,???ycM,:.Q-y=-y^M,yxeM,：.x-[-y）GM,

即4+yeM,故C正確：

（4）,貝iJx-lwM,由③可得,wM,-^―GM,/.-———eM,

xx-\xx-\

即-;---,/.X（1-X）GM,gpx-x2GM?/.x2eM；

-v（x-l）

112

由（3）可知當,x+ye,W,:.-+-=-eM,

XXX

.?.當可得/,〉{（/+?'）」+」wM,.?.（"））一'+）=xy￡M,

2222

故D正確.

故答案為：ACD

3（2023?江西）設(shè)Q是有理數(shù)，集合X={x|x=a+。夜工工0},在下列集合中;

（1）{yly=2x,xeX}；（2）{y|y=&,xwX}；（3）{>'1>'=-,xeX}；（4）{>'|y=GX}；與X相同的

集合有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

【答案】B

【解析】對于（1）,由2（a+〃&）=p+得?p=2a,q=2b,一一對應(yīng)，則{y|y=X}=X

對于（2）,由a+l*=b+9，C=p+q丘,得p=d,q=g---對應(yīng)，則{y|y=今,不￡X}=X

yJ222\/2

對于⑶’由總應(yīng)=?+/'""用，自‘一對應(yīng)’則

{y\y=-xeX}=X

xf

對于（4）,-1-V2eX?但方程=f無解，則{y|），=x\xwX}與X不相同

故選：B

4.12023?遼寧錦州）（多選）關(guān)于I的方程一、二匕土的解集中只含有一個元素，則攵的可能取值是（）

x-lX~-X

A.-4B.0C.1D.5

【答案】ABD

【解析】由已知方程得：八，解得：XH0且XH1;

xz-XHO

.xk一4xr,

由---="5得：x2+4x-k=（）;

x-lx-x

若號v=k-4Y的解集中只有一個元素，則有以下三種情況：

x-lX'-X

①方程/+41-女=0有且僅有一個不為。和1的解，.?.△=16+42=0,解得：Z=T,

此時W+4x—k=0的解為x=-2,滿足題意；

②方程f+4x-A=0有兩個不等實根，其中一個根為0,另一根不為1;

由0+4x（）-4=0得：A=0,「.x2+4x=0，此時方程另一根為x=-4,滿足題意；

③方程V+?-&=0有兩個不等實根，其中一個根為1,另一根不為0：

由1+4x1—2=0得：&=5,/.x2+4x-5=0>此時方程另一根為x=—5,滿足題意；

綜上所述：攵=7■或0或5.

故選：ABD

5.（2023?高一課時練習）已知A為方程a/+2x+l=0的所有實數(shù)解構(gòu)成的集合，其中。為實數(shù).

⑴若4是空集，求〃的范圍；

⑵若A是單元素集合，求。的范圍：

（3）若4中至多有一個元素，求”的取值范圍.

【答案】（1）4>1；

（2）?=0或a=1；

⑶“=0或

【解析】（1）若4是空集，則方程爾+2x+l=0無解，

當4=0時，方程2x+l=0有解，不符合題意；

當〃工0時，△=4-4av0,得a>l.

綜上所述：a>\.

（2）若A是單元素集合，則方程o?+2x+i=。有唯一實根，

當〃=0時，方程"+1=0有唯一解x=符合題意；

當時，△=4-4a=0,得a=l.

綜上所述：4=0或4=1.

（3）若A中至多有一個元素，則方程奴、2x+l=0至多有一個解，

當方程加無解時，由（1）知，。>1；

方程加有唯一實根時，由（2）知，。=0或。=1.

綜上所述：。=0或

6.（2023?黑龍江）已知集合4={X|?X2-3X-4=0}.

（1）若A中有兩個元素，求實數(shù)。的取值范圍：

（2）若A中至多有一個元素，求實數(shù)的。取值范圍.

99

【答案】（1）[a\a>-二且〃工01；（2）{〃|a?二或a=0}

1616

【解析】（1）由于A中有兩個元素，

團關(guān)于x的方程3x-4=（）有兩個不等的實數(shù)根，

9

@A=9+\6a>0,且。工0,即。>—-,且。工0.

16

故實數(shù)。的取值范圍是⑷心-橙9且"0}

16

4

（2）當。=（）時，方程為-3x-4=0.A:=--,集合A只有一個元素;

當"0時，若關(guān)于X的方程m-2_3x-4=0有兩個相等的實數(shù)根，則A中只有一個元素，即△=9+16〃=0,

9

a=-----，

16

9

若關(guān)于x的方程ar2-3x-4=0沒有實數(shù)根，則A中沒有元素，即△=9+<0,〃<-2.

16

9

綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是{〃匕？J或。=0}

16

7.（2023?河南）己知集合A滿足以下條件：①S4；②若。eA,則土吧eA.

l—Ga

⑴求證：集合A至少有3個元素;

⑵若集合M=%4,寫出屬于集合M的兩個元素，并說明理由.

【答案】（1）證明見解析

，號理由見解析

【解析】（1）證明：由得廣■=（—2-6）￡4,

則牛耳rM—2）“，

l-V3x（-2-V3）、7

6-2+右

則彘誨刁""A…'

周而復(fù)始，故由題意易得集合A至少有3個元素.

（2）當a=時，"+盧.無意義，故足A；

33

令絲聿_=旦,解得〃=_立，

1一瓜33

即當…爭寸’注言隹A,

故一旦A.

3

故屬于集合”的兩個元素是正，-且.

33

8.（2023?高一課時練習）已知M是滿足下列條件的集合：①OeM.leM②若則工-"畫③若

xeM且XHO,-GM

x

（1）判斷;wM是否正確，說明理由

（2）證明：若乂ywM則x+ywM

（3）證明：若則用veM

【答案】（1）正確，理由見解析；（2）證明見解析：（3）證明見解析.

【解析】（1）gwM正確.

證明如下：由①知OeM』wM

由②可得0_]=TwM.?.l_（T）=2wA/,2_（T）=3wA/

由③得geM

（2）證明：由①知OeM

由趣知ywM，二.由②可得o-）：=-ywM

X'：XE.M：.x-（-y）GM,g|Jx+yeM

（3）證明：xeM,yeM,由②可得再由③可得一€M,—!—eM

xx-1

即不彳eM,

AX~\

.,.x（\—xjeMBPx-x2eM，

：.A2eM即當xw歷,/wM

1122

由（2）可知，當.\-+-=-eM-eM

XXXX

.?.當可得回孕;,三￡GM

（x+?x2+y2

---------=XVGM

2------2

9.（2023?高一課時練習）集合A中的元素是實數(shù)，且滿足條件①若aeA,則J-wA,02GA,求:

（1H中至少有幾個元素？

⑵若條件②換成3wA,A中至少含有的元素是什么？

⑶請你設(shè)計一個屬于A的元素，求出A中至少含有的其他元素.

【答案】（1）3；

（2）3,

13

⑶令4金4,4中至少含有的其他元素是（答案不唯一）

34

【解析】（1）因為2e力，由①知，工=Te4,而—leA,貝!丁工=；亡人，而gwA,則產(chǎn)=2*4

1-2>-（-1）221—-

所以集合4中至少有3個元素.

1_21

（2）因為3eA,由①知，[二二—gcA,而一（eA,則丁廠匚二^^，，而則

1-3223

所以集合人