試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習(xí)備考幾何新定義問題重點(diǎn)題型預(yù)測(cè)練1．定義：對(duì)于一個(gè)函數(shù)，當(dāng)它的自變量x與函數(shù)值y滿足時(shí)，有，我們就稱此函數(shù)是在范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”．例如：函數(shù)y＝－x＋4，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；當(dāng)x＝3時(shí)，y＝1，即當(dāng)時(shí)，有，所以函數(shù)y＝－x＋4是在范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”．(1)正比例函數(shù)y＝x是在范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說明理由．(2)若一次函數(shù)y＝kx＋b（k，b是常數(shù)，）是在范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，求此一次函數(shù)的解析式．(3)如圖，矩形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），若一次函數(shù)y＝ax＋h（a，h是常數(shù)，）是在范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，當(dāng)一次函數(shù)y＝ax＋h與矩形ABCD有交點(diǎn)時(shí)，求m＋n的取值范圍．2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1）點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q為某個(gè)矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，且該矩形的邊均與某條坐標(biāo)軸垂直，則稱該矩形為點(diǎn)P，Q的“坐標(biāo)矩形”．圖為點(diǎn)P，Q的“坐標(biāo)矩形”的示意圖．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），(1)若點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1），求點(diǎn)A，B的“坐標(biāo)矩形”的面積；(2)點(diǎn)C在y軸上，若點(diǎn)A，C的“坐標(biāo)矩形”為正方形，求直線AC的表達(dá)式；(3)在直線y=2x+7的圖像上，是否存在點(diǎn)D，使得點(diǎn)A、D的“坐標(biāo)矩形”為正方形，若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．3．定義：我們把三邊之比為的三角形叫做奇妙三角形．(1)初步運(yùn)用：如圖是的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1），請(qǐng)分別在圖①、圖②中畫出頂點(diǎn)在格點(diǎn)上最小、最大的奇妙三角形；所畫三角形中最大內(nèi)角度數(shù)為______°．(2)再思探究：如圖③，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)，點(diǎn)D坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面上取一點(diǎn)，使得AB平分，直接寫出m的值并說明理由．4．如圖，點(diǎn)P為∠EOF的平分線OD上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)作∠APB，兩邊PA、PB分別交E于點(diǎn)A，交OF于點(diǎn)B．若∠APB繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足，稱∠APB為∠EOF的智慧角．（1）當(dāng)時(shí)，如圖1，若，求證：∠APB為∠EOF的智慧角．（2）當(dāng)時(shí)，∠APB為∠EOF的智慧角．求∠APB（用含a的式子表示）．（3）如圖3，點(diǎn)C是雙曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作直線l分別交x軸和y軸于點(diǎn)A，B，且滿足．請(qǐng)求出∠AOB的智慧角∠APB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．5．從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出的一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原三角形相似，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“優(yōu)美分割線”．(1)如圖，在中，為角平分線，，，求證：為的“優(yōu)美分割線”；(2)請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)三角形和它的“優(yōu)美分割線”，標(biāo)出相關(guān)角的度數(shù)；(3)在中，，，為的“優(yōu)美分割線”，且是等腰三角形，求線段的長(zhǎng)．6．定義：若四邊形有一組對(duì)角互補(bǔ)，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對(duì)補(bǔ)”四邊形，簡(jiǎn)稱“直等補(bǔ)”四邊形．根據(jù)以上定義，解決下列問題：(1)如圖1，正方形ABCD中E是CD上的點(diǎn)，將△BCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使BC與BA重合，此時(shí)點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，則四邊形BEDF（填“是”或“不是”）“直等補(bǔ)”四邊形；(2)如圖2，已知四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，過點(diǎn)B作BE⊥AD于E．①過C作CF⊥BF于點(diǎn)F，試證明：BE＝DE，并求BE的長(zhǎng)；②若M是AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，求△BCM周長(zhǎng)的最小值．7．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的定點(diǎn)和圖形，給出如下定義：若在圖形上存在一點(diǎn)，使得點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于圖形的定向?qū)ΨQ點(diǎn)．(1)如圖，，，①點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的定向?qū)ΨQ點(diǎn)的坐標(biāo)是___________．②在點(diǎn)，，中，___________是點(diǎn)關(guān)于線段的定向?qū)ΨQ點(diǎn)．(2)直線：分別與軸，軸交于點(diǎn)，，⊙是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓．當(dāng)時(shí)，若⊙上存在點(diǎn)，使得它關(guān)于線段的定向?qū)ΨQ點(diǎn)在線段上，求的取值范圍．8．如圖，拋物線的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C．過點(diǎn)A作線段垂直y軸交于點(diǎn)B，過點(diǎn)C作線段垂直拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D，我們稱矩形為拋物線的“伴隨矩形”．(1)請(qǐng)根據(jù)定義求出拋物線的“伴隨矩形”的面積；(2)已知拋物線的“伴隨矩形”為矩形，若矩形的四邊與直線共有兩個(gè)交點(diǎn)，且與雙曲線無交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍；(3)若對(duì)于開口向上的拋物線，當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)根為，且滿足下列條件：①該拋物線的“伴隨矩形”為正方形；②（其中表示矩形的面積）；③的最小值為．請(qǐng)求出滿足條件的t值．9．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，若、的坐標(biāo)分別為、，則稱為若、的“絕對(duì)距離”，表示為．【概念理解】（1）一次函數(shù)圖像與軸、軸分別交于、點(diǎn)．①為_______；②點(diǎn)為一次函數(shù)圖像在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，，求的坐標(biāo)；③一次函數(shù)的圖像與軸、分別交于、點(diǎn)，為線段上的任意一點(diǎn)，試說明：；【問題解決】（2）點(diǎn)、為二次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，且在的右邊，當(dāng)時(shí)，．若，求的最大值；（3）已知的坐標(biāo)為，點(diǎn)為反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，且在的右邊，，試說明滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)．10．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)和點(diǎn)，若存在點(diǎn)，使得且，這樣得到的點(diǎn)稱為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”．(1)如圖1，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，①則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”坐標(biāo)為_______；②在這三個(gè)點(diǎn)中，點(diǎn)為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)_______的“相關(guān)點(diǎn)”．(2)如圖2，若點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，①在下列三個(gè)點(diǎn)中：，能成為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”的是_______；②直接寫出點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”的坐標(biāo)_______（用表示）．11．新定義：如果，則叫做的“和諧角”．已知：，點(diǎn)E、F是直線、任意兩點(diǎn)上，，，(1)【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，小麗發(fā)現(xiàn)是的“和諧角”，你同意小麗的說法嗎？并說明理由(2)【探索證明】如圖2，點(diǎn)M、N在直線、上，H在線段上，連接，線段的延長(zhǎng)線交延長(zhǎng)線于Q，小明發(fā)現(xiàn)，當(dāng)，是的“和諧角”時(shí)，和是互補(bǔ)的．你同意小明的說法嗎？并說明理由(3)【拓展應(yīng)用】①如圖3，點(diǎn)M、N在直線、上，，過E作交直線于G，當(dāng)是的“和諧角”時(shí)，直接寫出的度數(shù)．②如圖4，將圖3中線段平移到的右側(cè)，，過E作交直線于G，請(qǐng)畫出圖形，當(dāng)和是“和諧角”時(shí)，求的度數(shù)．12．定義：在平面直角坐標(biāo)系中，如果一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是它橫坐標(biāo)的t倍（t是常數(shù)，且），我們稱這個(gè)點(diǎn)為“t倍點(diǎn)”．(1)求直線上的“倍點(diǎn)”的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)，是拋物線上的兩個(gè)“1倍點(diǎn)”，其中，實(shí)數(shù)，，設(shè)，求的取值范圍；(3)如圖，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，拋物線上部分的圖象記為，將拋物線上部分的圖象沿直線翻折得到的圖象記為，由圖象與組成的圖象記為N，當(dāng)圖象N上存在三個(gè)“倍點(diǎn)”，，，且滿足，，求m的值．13．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的線段，給出如下定義：若存在使得，則稱為線段的“等冪三角形”，點(diǎn)R稱為線段的“等冪點(diǎn)”．(1)已知．①在點(diǎn)中，線段的“等冪點(diǎn)”是____________；②若存在等腰是線段的“等冪三角形”，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D在直線上，記圖形M為以點(diǎn)為圓心，2為半徑的位于x軸上方的部分．若圖形M上存在點(diǎn)E，使得線段的“等冪三角形”為銳角三角形，直接寫出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)的取值范圍．14．定義：如圖1，點(diǎn)P為平分線上一點(diǎn)，的兩邊分別與射線交于M，N兩點(diǎn)，若繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)始終滿足，則稱是的“夢(mèng)之角”．(1)如圖1，已知，點(diǎn)P為平分線上一點(diǎn)，的兩邊分別與射線交于M，N兩點(diǎn)，且．求證：是的“夢(mèng)之角”；(2)如圖2，已知，，若是的“夢(mèng)之角”，連接，用含的式子分別表示的度數(shù)和的面積；(3)如圖3，C是函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C的直線分別交x軸和y軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，且滿足，的“夢(mèng)之角”為，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)及相應(yīng)點(diǎn)P的坐標(biāo)．15．對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的圖形和圖形，給出如下定義：在圖形上存在兩點(diǎn)（點(diǎn)可以重合），在圖形上存在兩點(diǎn)（點(diǎn)可以重合）使得，則稱圖形和圖形滿足限距關(guān)系．(1)如圖1，點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)可以與點(diǎn)重合），連接．①線段的最小值為______，最大值為______；線段的取值范圍是______；②在點(diǎn)，點(diǎn)中，點(diǎn)______與線段滿足限距關(guān)系；(2)在（1）的條件下，如圖2，的半徑為1，線段與軸、軸正半軸分別交于點(diǎn)，且，若線段與滿足限距關(guān)系，求點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍；(3)的半徑為，點(diǎn)是上的兩個(gè)點(diǎn)，分別以為圓心，2為半徑作圓得到和，若對(duì)于任意點(diǎn)，和都滿足限距關(guān)系，直接寫出r的取值范圍．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案1．(1)正比例函數(shù)y=x是在[1，2022]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，理由見解析(2)y=x或y=-x+8；(3)4≤m+n≤7【分析】（1）根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”的定義，找出當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=2022時(shí)，y=2022．由此即可得出函數(shù)y=x是在[1，2022]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”；（2）分k>0和k<0兩種情況考慮，根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”的定義，即可得出關(guān)于k、b的二元一次方程組，解方程組即可求出k、b的值，從而得出函數(shù)解析式；（3）根據(jù)“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”的定義，求出一次函數(shù)的解析式，根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合AB＝2，BC＝1，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），即可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)，分別代入B、D點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出直線y=ax+h與矩形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)，m+n的取值范圍，由此即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：正比例函數(shù)y=x是在[1，2022]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，理由如下：當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=2022時(shí)，y=2022．即當(dāng)1≤x≤2022時(shí)，有1≤y≤2022，∴函數(shù)y=x是在[1，2022]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”；（2）解：當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x=2時(shí)，y=2，當(dāng)x=6時(shí)，y=6，即，解得：，∴此時(shí)函數(shù)的解析式為y=x；當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=2時(shí)，y=6，當(dāng)x=6時(shí)，y=2，即，解得：，∴此時(shí)函數(shù)的解析式為y=-x+8．綜上所述：若一次函數(shù)是在[2，6]范圍內(nèi)的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，則該函數(shù)的解析式為y=x或y=-x+8；（3）解：∵一次函數(shù)是在[m，n]范圍的“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”，∴y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x=m時(shí)，y=n，當(dāng)x=n時(shí)，y=m，∴，解得：a=-1，∴h=m+n，∴一次函數(shù)的解析式為y=-x+（m+n）．∵矩形ABCD的邊AB＝2，BC＝1，∴AD∥BC，CD=AB=2，∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)C（3，2），∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），當(dāng)點(diǎn)B在該一次函數(shù)圖象上時(shí)，有2=-2+（m+n），解得：m+n=4；當(dāng)點(diǎn)D在該一次函數(shù)圖象上時(shí)，有4=-3+（m+n），解得：m+n=7．∴當(dāng)直線y=ax+h與矩形ABCD有公共點(diǎn)時(shí)，m+n的取值范圍為4≤m+n≤7．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、解二元一次方程組、矩形的性質(zhì)以及一次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是理解“標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)”的定義，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)．2．(1)2(2)或(3)存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)為或【分析】（1）由坐標(biāo)矩形的定義可知：要求A，B的坐標(biāo)矩形面積，則AB必為對(duì)角線，利用A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出該矩形的底與高的長(zhǎng)度，進(jìn)而可求出該矩形的面積；（2）由定義可知，AC必為正方形的對(duì)角線，所以直線AC與x軸的夾角必為45°，根據(jù)分析得出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法解方程組即可得到求出答案；（3）由定義可知，AD必為坐標(biāo)矩形的對(duì)角線，根據(jù)該坐標(biāo)矩形為正方形，即直線AD與x軸的夾角為45°，因此D點(diǎn)是直線或與直線y=2x+7的交點(diǎn)，列出方程組求解即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，-1），點(diǎn)A，B的“坐標(biāo)矩形”示意圖如圖所示，∴．（2）解：由題意可知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1）或（0，－1），設(shè)直線AC的表達(dá)式為，將A、C分別代入AC的表達(dá)式得到或解得：或，則直線AC的表達(dá)式為或．（3）解：存在；∵點(diǎn)A、D的“坐標(biāo)矩形”為正方形由（2）可知點(diǎn)D一定在直線或的圖像上．又∵點(diǎn)D在直線y=2x+7的圖像上，∴可列方程組或，解得或，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，新定義的理解和應(yīng)用，矩形的面積公式，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)并正確理解題意列出方程進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．3．(1)見解析，(2)，理由見解析【分析】（1）直接利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理得出符合題意的圖形；直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出尾翼三角形的最大角；（2），利用網(wǎng)格結(jié)合勾股定理求出和各邊的長(zhǎng)．證明，直接利用相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：解：（1）如圖所示：由網(wǎng)格可得：，，，，的三邊比為，，，，，的三邊比為，，，．故答案為：135；（2）解：，理由：連接、，由網(wǎng)格可得：，，，，的三邊比為，由網(wǎng)格可得：，，，，的三邊比為，，，平分．【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是正確借助網(wǎng)格分析．4．（1）見解析；（2）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，或【分析】（1）結(jié)合題意，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，推導(dǎo)得；根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，通過證明，即可得到答案；（2）結(jié)合題意，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，通過證明△OPB∽△OAP，得∠OBP=∠OPA，再通過角度和差計(jì)算，即可得到答案；（3）分點(diǎn)A、B分別在軸和軸正半軸上，和點(diǎn)A在軸正半軸、點(diǎn)B在軸負(fù)半軸上兩種情況分析；當(dāng)點(diǎn)A、B分別在軸和軸正半軸上時(shí)，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)C作CH⊥OA于H，根據(jù)相似三角形性質(zhì)，通過證明，得，從而得，結(jié)合題意計(jì)算，即可得到答案；當(dāng)點(diǎn)A在軸正半軸、點(diǎn)B在軸負(fù)半軸上時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，通過證明，推導(dǎo)得，結(jié)合智慧角的性質(zhì)計(jì)算，即可完成求解．【詳解】（1）∵，OD平分∠EOF的，∴．∴．∵，∴．∴∴．∴．∴，∴∠APB為∠EOF的智慧角．（2）∵∠APB為∠EOF的智慧角，∴，∠BOP=∠AOP．∴，∠BOP=∠AOP．∴△OPB∽△OAP．∴∠OBP=∠OPA∴，即；（3）當(dāng)點(diǎn)A、B分別在軸和軸正半軸上時(shí)，如圖3：設(shè)點(diǎn)，則，過點(diǎn)C作CH⊥OA于H．∵BC=2CA，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴，∵∠AOB=90°，OP平分∠AOB，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：；當(dāng)點(diǎn)A在軸正半軸、點(diǎn)B在軸負(fù)半軸上時(shí)，如圖4：∵BC=2CA，∴AB=CA，在和中，，∴，∴，，∴，∵∠APB是∠AOB的智慧角，∴，∵，OP平分∠AOB，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：；∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為：，或．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解．5．(1)證明見解析(2)畫圖見解析；(3)或【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理與角平分線的定義求解再證明為等腰三角形，與從而可得結(jié)論；（2）根據(jù)新定義，直接構(gòu)建三個(gè)內(nèi)角分別為的三角形即可；（3）是等腰三角形，則分情況討論：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)時(shí)，再分別畫出圖形，再求解即可．【詳解】（1）解：中，為角平分線，，，為等腰三角形，為的“優(yōu)美分割線”．（2）解：如圖，構(gòu)建的三角形和它的“優(yōu)美分割線”，為它的“優(yōu)美分割線”．由圖可得：為等腰三角形，所以作圖符合題意．（3）解：是等腰三角形，則分情況討論：①當(dāng)時(shí)，則如圖，，為的“優(yōu)美分割線”，，②當(dāng)時(shí)，,則為的“優(yōu)美分割線”，過作于則所以設(shè)解得：經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；③當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去，綜上：的長(zhǎng)為：或【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義的理解，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，理解新定義，熟練的運(yùn)用以上知識(shí)解題是解本題的關(guān)鍵．6．(1)是；(2)①見解析，BE的長(zhǎng)是8；②△BCM周長(zhǎng)的最小值為210【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠ABC＝∠D＝90°，可得出∠EBF＝∠D＝90°，即可得出答案；（2）①首先證明四邊形CDEF是矩形，則DE＝CF，EF＝CD＝2，再證△ABE≌△BCF，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得BE＝CF，AE＝BF，等量代換即可得BE＝DE；由AE＝BF，EF＝CD＝2可得AE＝BE﹣2，設(shè)BE＝x，根據(jù)勾股定理求出x的值即可；②延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG＝CD，連接BG交AD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)G作GH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，證明△ABE∽△CGH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出CH、HG的值，在Rt△BHG中，根據(jù)勾股定理求出BG，即可求解．【詳解】（1）∵將△BCE繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，BC與BA重合，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在DA的延長(zhǎng)線上，∴∠ABF＝∠CBE，BF＝BE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABE+∠ABF＝90°，即∠EBF＝∠D＝90°，∴∠EBF+∠D＝180°，∵∠EBF＝90°，BF＝BE，∴四邊形BEDF是“直等補(bǔ)”四邊形．故答案為：是；（2）①證明：∵四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，AB＝BC＝10，CD＝2，AD＞AB，∴∠ABC＝90°，∠ABC+∠D＝180°，∴∠D＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥BE，∴∠DEF＝90°，∠CFE＝90°，∴四邊形CDEF是矩形，∴DE＝CF，EF＝CD＝2，∵∠ABE+∠A＝90°，∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠A＝∠CBF，∵∠AEB＝∠BFC＝90°，AB＝BC，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴BE＝CF，AE＝BF，∵DE＝CF，∴BE＝DE；∵四邊形CDEF是矩形，∴EF＝CD＝2，∵△ABE≌△BCF，∴AE＝BF，∴AE＝BE﹣2，設(shè)BE＝x，則AE＝x﹣2，在Rt△ABE中，x2+（x﹣2）2＝102，解得：x＝8或x＝﹣6（舍去），∴BE的長(zhǎng)是8；②∵△BCM周長(zhǎng)＝BC+BM+CM，∴當(dāng)BM+CM的值最小時(shí)，△BCM的周長(zhǎng)最小，如圖，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G，使DG＝CD，連接BG交AD于點(diǎn)M′，過點(diǎn)G作GH⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠ADC＝90°，∴點(diǎn)C與點(diǎn)G關(guān)于AD對(duì)稱，∴BM+CM＝BM+MG≥BG，即BM+CM≥BM′+M′C，∴當(dāng)點(diǎn)M與M′重合時(shí)，BM′+M′C的值最小，即△BCM的周長(zhǎng)最小，在Rt△ABE中，AE6，∵四邊形ABCD是“直等補(bǔ)”四邊形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD+∠GCH＝180°，∴∠A＝∠GCH，∵∠AEB＝∠H＝90°，∴△ABE∽△CGH，∴，即，∴GH，CH，∴BH＝BC+CH＝10，∴BG2，∴△BCM周長(zhǎng)的最小值為210．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的一個(gè)綜合題，主要考查新定義，勾股定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，第（2）①題關(guān)鍵在證明三角形全等，第（2）②題關(guān)鍵確定M的位置．7．(1)①；②(2)滿足條件的的取值范圍是或．【分析】（1）①求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)即可；②由題意，滿足條件的點(diǎn)在以為圓心2為半徑的圓上（圖中弧），由此判斷即可；（2）分，，求出兩種特殊位置的值即可；如圖所示，當(dāng)時(shí)，作關(guān)于軸的對(duì)稱圖形⊙，當(dāng)直線與⊙在第三象限相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接；如圖所示，當(dāng)時(shí)，以為圓心，4為半徑作⊙，當(dāng)直線與⊙在第四象限點(diǎn)相切于點(diǎn)時(shí)，連接，分別求出的值即可解決問題．【詳解】（1）①如圖1中，∵，，∴點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，故答案為：；②如圖2中，由題意得：，滿足條件的點(diǎn)在以為圓心2為半徑的圓上（圖中?。帱c(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于線段的定向?qū)ΨQ點(diǎn)，故答案為：（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，作關(guān)于軸的對(duì)稱圖形⊙，當(dāng)直線與⊙在第三象限相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，連接，由題意得：，∴，∵，，∴，∴，∴，∴直線解析式為：，同理，直線與⊙在第二象限相切時(shí)，直線解析式為：，由圖可知：滿足條件的的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，以為圓心，4為半徑作⊙，當(dāng)直線與⊙在第四象限點(diǎn)相切于點(diǎn)時(shí)，連接，∴，∴直線解析式為：，當(dāng)直線與⊙相切時(shí)，此時(shí)直線解析式為：，由圖可知：滿足條件的的取值范圍是；綜上所述：滿足條件的的取值范圍是或．【點(diǎn)睛】考查了定向?qū)ΨQ點(diǎn)的定義，直線與圓的位置關(guān)系，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，學(xué)會(huì)利用特殊位置解決問題．8．(1)2(2)(3)t的值為9或【分析】（1）求出，即可得矩形的邊長(zhǎng)分別為1和2，再求面積即可；（2）先求出“伴隨矩形”為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，直線經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，直線經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，則時(shí)，矩形的四邊與直線共有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)雙曲線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，，則時(shí)，矩形ABCD的四邊與雙曲線無交點(diǎn)，故，滿足題意；（3）拋物線的“伴隨矩形”的頂點(diǎn)分別是，，，，由題意可得，，求出，再由，進(jìn)一步確定，根據(jù)韋達(dá)定理得，，則，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得（舍）或（舍）；綜上所述：t的值為9或【詳解】（1）解：∵，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∴伴隨矩形”的面積；（2）∵，∴“伴隨矩形”為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，，，直線經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，，解得，直線經(jīng)過D點(diǎn)時(shí)，，解得，∴時(shí)，矩形的四邊與直線共有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)雙曲線經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，，∴時(shí)，矩形的四邊與雙曲線無交點(diǎn)，∴時(shí)，滿足題意；（3）∵，∴，∴拋物線的“伴隨矩形”的頂點(diǎn)分別是，，，，∵“伴隨矩形”為正方形，∴，∴，∵，∴，∵拋物線開口向上，∴，∴，∵方程的兩個(gè)根為x1，x2，∴，∴，∴，∴∴，，∴，∵的最小值為，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得（舍）或（舍）；綜上所述：t的值為9或【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，弄清“伴隨矩形”的定義是解題的關(guān)鍵．9．（1）①9；②；③見解析；（2）；（3）見解析【分析】（1）①由得，，即得；②設(shè)，由N在第一象限得，根據(jù)得：，即可解得，；③由中，得，由得，設(shè)，，即得，，從而證明；（2）將代入得，即知二次函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，可解得或，根據(jù)Q在P的右邊，可得，又，有，即，，二次函數(shù)為，則，因，所以，即得，故的最大值為；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意可知：，得出，分類求出m的值即可得出答案．【詳解】解：（1）①在中，令得，令得，，，；②設(shè)，在第一象限，，解得，由得：，，解得，；③證明：如圖：

在中，令得，，由得，，設(shè)，為線段上的點(diǎn)，，∴，，；（2）將代入得：，，二次函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，解得或，在P的右邊，且，，，，即，，二次函數(shù)為，，，，即，，，的最大值為；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意可知：，所以，若，即，，所以（舍去）或，若，即，，所以（舍去）或（舍去），所以，滿足條件的點(diǎn)有且只有一個(gè)，是．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及新定義、去絕對(duì)值、二次函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂“絕對(duì)距離”的定義，根據(jù)已知確定字母范圍去絕對(duì)值．10．(1)①或；②(2)①；②或【分析】本題考查了點(diǎn)坐標(biāo)與圖形、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確理解“相關(guān)點(diǎn)”的定義是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)“相關(guān)點(diǎn)”的定義畫出圖形（見解析），過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得；②參考（1）的思路，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，再求出的長(zhǎng)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，由此即可得；（2）①當(dāng)時(shí)，如圖（見解析），，且，則點(diǎn)即為所求，過點(diǎn)軸于點(diǎn)，證出，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，則可得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)公式可得點(diǎn)的坐標(biāo)；當(dāng)時(shí)，同樣的方法可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”的橫、縱坐標(biāo)滿足關(guān)系，據(jù)此分析點(diǎn)即可得；②由（2）①的方法即可得出答案．【詳解】（1）解：①如圖，，且，則點(diǎn)即為所求．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴；同理可得：；∴點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”坐標(biāo)為或，故答案為：或．②當(dāng)所求的點(diǎn)位于的上方時(shí)，如圖，，且，則點(diǎn)即為所求．過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，聯(lián)立，解得，∴，∴；當(dāng)所求的點(diǎn)位于的下方時(shí)，同理可得：；故答案為：．（2）解：①當(dāng)時(shí)，如圖，，且，則點(diǎn)即為所求．過點(diǎn)軸于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，解得，∴；當(dāng)時(shí)，如圖，，且，則點(diǎn)即為所求．同理可得：，；綜上，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”的坐標(biāo)為或．∴點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”的橫、縱坐標(biāo)滿足或，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)滿足，能成為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)滿足，能成為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”，點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)滿足，，不能成為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”，故答案為：．②由（2）①可知，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“相關(guān)點(diǎn)”的坐標(biāo)為或，故答案為：或．11．(1)同意，理由見解析(2)同意，理由見解析(3)①；②圖見解析，【分析】本題考查了平行公理推論、平行線的判定與性質(zhì)、垂直的定義等知識(shí)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)平行公理推論可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)即可得；（2）過點(diǎn)作，先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，從而可得，再根據(jù)平行線的判定可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)平行公理推論和平行線的性質(zhì)可得，從而可得，最后根據(jù)可得，由此即可得；（3）①設(shè)，先求出，，再過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)建立方程，解方程即可得；②根據(jù)題意畫出圖形，過點(diǎn)作，設(shè)，先求出，，，則，再根據(jù)和是“和諧角”建立方程，解方程即可得．【詳解】（1）解：同意，理由如下：如圖，過點(diǎn)作，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的“和諧角”．（2）解：同意，理由如下：如圖，過點(diǎn)作，∴，∵是的“和諧角”，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，由（1）已得：，∴，∴和是互補(bǔ)的．（3）解：①設(shè)，∵，∴，∵是的“和諧角”，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，如圖，過點(diǎn)作，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，解得，∴，故答案為：．②由題意，畫出圖形如下：過點(diǎn)作，設(shè)，∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∵和是“和諧角”，∴，即，解得或（不符合題意，舍去），∴．12．(1)直線上的“倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為；(2)；(3)m的值為或．【分析】（1）設(shè)直線上的“倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為，根據(jù)“t倍點(diǎn)”的定義得，，聯(lián)立得，據(jù)此求解即可；（2）根據(jù)題意，是方程即的兩個(gè)根，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，求得，令，根據(jù)，，求得，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（3）先求得翻折圖形的解析式為，聯(lián)立，求得，，再分三種情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)列式求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)直線上的“倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為，根據(jù)“t倍點(diǎn)”的定義得，，又點(diǎn)在直線上，∴，解得，∴，∴直線上的“倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為；（2）解：∵點(diǎn)，是拋物線上的兩個(gè)“1倍點(diǎn)”，∴，，即，是方程的兩個(gè)根，即，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，∴，∵，∴，∴，令，∴，∵，，∴，，∴，∴，對(duì)于，∵開口向上，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；則；（3）解：使“倍點(diǎn)”的坐標(biāo)為，則，聯(lián)立得，解得或，∴直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，∵，∴頂點(diǎn)為，則就是拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∴，∴，①當(dāng)時(shí)，最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴圖象最多有兩個(gè)“倍點(diǎn)”，不可能存在三個(gè)倍點(diǎn)”，②當(dāng)時(shí)，∵，∴，∵，∴，，如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∵，∴（舍去），；③當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)作軸，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，即，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，∵，∴（舍去），；綜上，m的值為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，待定系數(shù)法，拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，配方法，本題是新定義型，正確理解新定義的規(guī)定并熟練運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．13．(1)①，；②或(2)或【分析】（1）①根據(jù)定義求出三角形面積與OA2進(jìn)行比較即可確定線段的“等冪點(diǎn)”；②根據(jù)定義可得，然后求出邊上的高為h，再結(jié)合△OAB為等腰三角形即可求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）設(shè)半圓與x軸交于G，H兩點(diǎn)，過T作CH的平行線與半圓交于R，作CH的垂線交半圓于Q，直線y=x-3與y軸交于N，設(shè)D（x，x-3），過D作y軸平行線，與過C作x軸平行線交于F，求出N(0，-3),H(3，0)，可證△ONH為等腰直角三角形，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)分兩種情況，分別求出對(duì)應(yīng)的取值范圍即可.【詳解】（1）解：①，，=，P1是線段OA的“等冪點(diǎn)”．=，P2不是線段OA的“等冪點(diǎn)”．=，P3不是線段OA的“等冪點(diǎn)”．=，P4是線段OA的“等冪點(diǎn)”．∴是線段的“等冪點(diǎn)”的是，故答案為：；②如圖，∵是線段的“等冪三角形”，∴∵點(diǎn)，設(shè)中邊上的高為h，，∴，∴點(diǎn)B在直線或上，又∵是等腰三角形，∴點(diǎn)B在半徑為2的上，或在半徑為2的上，或線段的垂直平分線上，∴綜上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為或；（2）解：設(shè)半圓與x軸交于G，H兩點(diǎn)，過T作CH的平行線與半圓交于R，作CH的垂線交半圓于Q，直線y=x-3與y軸交于N，設(shè)D（x，x-3），過D作y軸平行線，與過C作x軸平行線交于F，當(dāng)x=0時(shí)，y=-3,N(0，-3),當(dāng)y=0時(shí)，x-3=0，x=3，H(3，0)，∴ON=3=OH，△ONH為等腰直角三角形，∠OHN=∠ONH=45°，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)分兩種情況，第一種情況點(diǎn)D在射線CH，去掉線段CH部分運(yùn)動(dòng)，∵TC⊥NH，∠OHN=45°，∴△TCH為等腰直角三角形，在Rt△TCH中TH=2，TC=CH=TH×sin45°=2，QC=2，又因?yàn)椤鱁CD為銳角三角形，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到CD的距離h的范圍是，CD=CF÷cos45°=CF=(x-2)，∵線段的“等冪三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(x-2)，∴，解得，點(diǎn)D在H右側(cè)，x>3，∴；第二種情況點(diǎn)D在射線CU上，去掉線段CU部分運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，又因?yàn)椤鱁CD為銳角三角形，GU=GH×cos45°=，∴，∵線段的“等冪三角形”，S△CDE==CD2，∴h=2CD=2(2-x)，則，解得，D的橫坐標(biāo)的取值范圍為或．【點(diǎn)睛】本題考查新定義問題，仔細(xì)閱讀新定義，抓住三角形的高為底的二倍，涉及三角形面積，等腰三角形，線段垂直平分線，直線與圓的位置關(guān)系，銳角三角函數(shù)，列雙邊不等式，解不等式等知識(shí)，難度較大，綜合較強(qiáng)，熟練掌握多方面知識(shí)才是解題關(guān)鍵．14．(1)見解析(2)；(3)或；點(diǎn)P的坐標(biāo)為：或【分析】（1）由角平分線求出，再證出，證