甘肅省白銀市靖遠縣多校2025屆高三下學(xué)期5月沖刺聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B．C． D．3．已知集合，集合，則（

）A． B．C． D．4．已知向量，且與的夾角為，則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．5．若，則（

）A． B．C． D．6．如圖，在長方體中，，則異面直線和夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．7．暑假期間，甲?乙?丙?丁四名大學(xué)生到某科研單位的第一?二?三這三個科室實習(xí)，每個科室至少有一人實習(xí)，且每人只到一個科室實習(xí).在甲在第一科室實習(xí)的條件下，甲與乙不在同一科室實習(xí)的概率為（

）A． B． C． D．8．如圖，拋物線的焦點為，過點且斜率為1的直線交拋物線于兩點，線段的中點為，其垂直平分線交軸于點軸于點，則四邊形的面積等于（

）A．12 B．8 C．6 D．7二、多選題9．已知一組樣本點組成一個樣本，得到的經(jīng)驗回歸方程為，且其平均數(shù)為.若增加兩個樣本點和，得到新樣本的經(jīng)驗回歸方程為，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．增加兩個樣本點后的平均數(shù)為1.2C．D．在新的經(jīng)驗回歸方程中，當(dāng)時，的估計值為4.210．如圖所示，將橢圓繞著坐標(biāo)原點旋轉(zhuǎn)一定角度，得到“斜橢圓”的方程為，則橢圓的（

）A．長半軸長為 B．短半軸長為C．焦距為4 D．離心率為11．已知函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A．不一定有極值B．當(dāng)時，C．當(dāng)時，的極小值為0D．當(dāng)時，在區(qū)間上的最小值為三、填空題12．若函數(shù)的最小正周期是，則.13．已知數(shù)列滿足，若，則.14．已知正四棱錐的高為3，側(cè)面與底面所成的角為，球與該正四棱錐的四個側(cè)面及底面都相切，依次在該正四棱錐內(nèi)放入球，使得球與該正四棱錐的四個側(cè)面均相切，且球與外切，則球的體積為，球的表面積為.四、解答題15．在如圖所示的多面體中，平面，且是的中點.（1）求證：平面平面.（2）求平面與平面夾角的余弦值.16．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求的值.（2）已知.（i）求的值；（ii）求的面積.17．已知雙曲線的漸近線方程為，且其焦距為.（1）求雙曲線的方程；（2）若直線與雙曲線交于不同的兩點，且在由點與構(gòu)成的三角形中，，求實數(shù)的取值范圍.18．已知函數(shù)，且曲線在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值.（2）當(dāng)時，證明：當(dāng)時，.（3）當(dāng)時，若存在，使得成立，證明：.19．若數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為項數(shù)列.集合是由所有的項數(shù)列構(gòu)成的，現(xiàn)從集合中任意取出兩個數(shù)列，記隨機變量.（1）求集合中元素的個數(shù)；（2）求概率的值；（3）若的期望，求的最小值.

參考答案1．【答案】C【詳解】.故選C.2．【答案】A【詳解】.故選A.3．【答案】C【詳解】因為集合，集合，所以，則，故A，B，D項錯誤，C項正確.故選C.4．【答案】D【詳解】由，解得或（因，故舍去）.故選D.5．【答案】D【詳解】，等號成立，.故選D.6．【答案】B【詳解】以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，故異面直線和夾角的余弦值為.故選B.7．【答案】C【詳解】記事件為“甲在第一科室實習(xí)”，事件為“甲與乙不在同一科室實習(xí)”，樣本點的總數(shù)為，，事件同時發(fā)生的情況種數(shù)為，∴，..故選C.8．【答案】D【詳解】拋物線的焦點，則直線的方程為，因為四邊形為梯形，且，設(shè)，則，所以，所以，作軸于點，則，因為直線的斜率為1，所以為等腰直角三角形，故，所以，所以四邊形的面積為.故選D.9．【答案】ABD【詳解】對于A，由過點，得，解得，A正確；對于B，增加兩個樣本點后的平均數(shù)為，B正確；對于C，增加兩個樣本點后的平均數(shù)為，則，解得，C錯誤；對于D，新的經(jīng)驗回歸方程為，當(dāng)時，，D正確.故選ABD10．【答案】AD【詳解】，，解得.該“斜橢圓”的長半軸長為橢圓上的點到原點的距離的最大值，短半軸長為橢圓上的點到原點的距離的最小值，橢圓的焦距為，橢圓的離心率A，D項正確，B，C項錯誤.故選AD.11．【答案】ACD【詳解】當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)無極值，故A項正確；當(dāng)時，，且，則故B項錯誤；當(dāng)時，，且，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值故C項正確；當(dāng)時，同上分析知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，當(dāng)時，在區(qū)間上有最小值，故D項正確.故選ACD.12．【答案】3【詳解】因為函數(shù)的最小正周期是，所以，則.13．【答案】【詳解】，，將這個式子的左右兩邊分別相加可得，，.14．【答案】【詳解】如圖，在四棱錐中，點為底面正方形的中心，則底面，令為的中點，連接，記球的半徑為，設(shè)四棱錐的高為為球與四棱錐的切點，，側(cè)面與底面所成的角為，球的體積為.設(shè)，由于，即，，兩式相減可得，即，，球的表面積為.15．【答案】（1）證明見解析（2）【詳解】（1）是的中點，.平面，平面平面，平面平面，平面平面平面平面.（2）以為原點，分別以所在直線為軸，過點且豎直向上的直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則取，解得.設(shè)平面的法向量為，則取，解得.記平面與平面夾角為，，平面與平面夾角的余弦值為.16．【答案】（1）（2）（i）2；（ii）【詳解】（1），，，，..（2）（i）∴由正弦定理得，由（1）知，∴由余弦定理得，解得.（ii）的面積為.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）漸近線方程為.又，雙曲線的方程為.（2）直線與雙曲線交于不同的兩點，由，得，，且，，且.設(shè)，則，，線段的中點坐標(biāo)為，線段的垂直平分線的方程為，即，又在由點與構(gòu)成的三角形中，，點不在直線上，而是在線段的垂直平分線上，，又，且，解得，或，實數(shù)的取值范圍是.18．【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【詳解】（1）.曲線在點處的切線方程為.（2）當(dāng)時，，在上恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，.（3）當(dāng)時，，當(dāng)時，存在成立，，得.由（2）可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，即，，設(shè)，則，當(dāng)時，，則，，，.19．【答案】（1）個元素（2）（3）32【詳解】（1）根據(jù)數(shù)列中1的個數(shù)可得集合中元素的個數(shù)為集合中共有個元素.（2）數(shù)列為中的兩個數(shù)列，它們各項元素不能完全相同，不能取的