函數(shù)與極限*

主要內容：１．函數(shù)的定義、反函數(shù)、復合函數(shù)、初等函數(shù)。２．函數(shù)的特性：有界性、單調性、奇偶性、周期性。３．數(shù)列及其極限：（１）數(shù)列即一列數(shù)，其第n項稱為一般項；從數(shù)列中取無窮項且保持原來的次序而得到的新的數(shù)列稱為的子數(shù)列。（２）數(shù)列的極限則稱數(shù)列極限存在或收斂。稱為的極限。數(shù)列極限不存在也稱該數(shù)列發(fā)散。*4．函數(shù)極限定義則時，函數(shù)的極限、給定的一個數(shù)列可以看作定義在自然數(shù)集N上的函數(shù)因此數(shù)列極限是函數(shù)極限因此數(shù)列極限與函數(shù)極限都有下面的性質：5．極限的性質（1）唯一性若極限存在，則極限唯一。（2）有界性若極限存在，則函數(shù)（數(shù)列）有界。注：函數(shù)的有界是指局部有界，即在自變量變化過程中的某鄰域或某無窮區(qū)間內函數(shù)有界。*（3）歸并性（i）對于一個數(shù)列來說，一個數(shù)列收斂的充分必要條件是其任意子列都收斂，且收斂于同一極限。（ii）對于函數(shù)來說，有①③對于單側極限：存在的充分必要條件是對于每一列都存在，且極限都相等；②存在的充分必要條件是對于每一列都存在，且極限都相等；也有類似的結論。*（4）保號性若當有（或），且則（或）。而且（或），則當有（或）。若（iii）上述極限的性質經常用于判斷極限不存在：①對于數(shù)列來說，若有兩個數(shù)列均收斂，但極限值不相等，則原數(shù)列極限不存在；②對于函數(shù)來說，若自變量有兩個數(shù)列均收斂于（但每但其對應的函數(shù)值數(shù)列不一項都不等于）（或趨于），收斂或極限不相等，則原函數(shù)極限不存在。*6．極限的運算法則都存在．(4)有界,則(5)(復合函數(shù))若當且則7．無窮小與無窮大（1）無窮小與無窮大的定義（2）無窮小與無窮大的關系（3）無窮小的比較*（5）無窮小的替換性質：設是同一極限過程中的無窮小，且（），則且8．極限存在的兩個準則及兩個重要極限。準則Ⅰ’：函數(shù)（1）準則Ⅰ：數(shù)列滿足：則（4）無窮小的運算法則：的和,積是無窮??；有界變量與無窮小的乘積是無窮小。在同一極限過程中，有限多個無窮小*（2）準則Ⅱ：單調有界數(shù)列必收斂。（3）兩個重要極限及一些重要等價無窮小：9．函數(shù)的連續(xù)性與間斷點連續(xù)性*間斷點：（１）在點無定義（２）在點極限不存在（３）第一類間斷點、第二類間斷點10．初等函數(shù)的連續(xù)性11．閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質：最大值、最小值定理；介值定理和零點定理及其推論*三．例題例1

求的反函數(shù)，并問滿足什么條件時，這反函數(shù)與直接函數(shù)相同？分析：即從表達式中知，不同時為零，不妨設解由得：所以反函數(shù)為*若反函數(shù)與直接函數(shù)相同，則比較系數(shù)得：所以或*例2設求解*例3

用數(shù)列極限的定義證明證(1)對要證當有事實上*（2）記則不妨設由于所以，要只要取則當時，有即要使只需取當有對*例4已知當時，與是等價無窮小，求常數(shù)解：又*例5求極限*解*而夾逼定理**例6設證明數(shù)列的極限存在,并求此極限.證所以有界。設則解得是單增數(shù)列。當時，因此極限必存在。*例7

設討論在點的連續(xù)性。解*所以，在點不連續(xù)。是的可去間斷點。若改變定義令在函數(shù)點連續(xù)。*是的跳躍間斷點，屬于第一類間斷點。例8設，求的間斷點，并說明間斷點的類型。解的定義域為屬于第二類間斷點.可能是分段函數(shù)的分段點，或者定義區(qū)間的端點*例9設則(A)都是的第一類間斷點。(B)都是的第二類間斷點。(C)是的第一類間斷點，是的第二類間斷點。(D)是的第二類間斷點，是的第一類間斷點。由于是的第一類間斷點。所以是的第二類間斷點；所以2005年研究生入學試題數(shù)學二*例10設怎樣選擇才能使函數(shù)在內連續(xù)。解由初等函數(shù)的連續(xù)性可知，函數(shù)在內連續(xù)，令得則當時，在內連續(xù)。*例11證明其中至少有一個正根，并且它不超過證設則在上連續(xù)。①若則即為原方程的一個正根；②若注意到由連續(xù)函數(shù)的零點定理知，使得綜合①、②，說明結論成