2026屆新高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)沖刺復(fù)習(xí)

同構(gòu)在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用之圓錐曲線

從近年來高考數(shù)學(xué)不難發(fā)現(xiàn)，同構(gòu)思想在圓錐曲線問題中的滲透已是一種非常普遍的現(xiàn)象。利用同構(gòu)時(shí)，一定要注意到問題中眾多變量結(jié)構(gòu)的相似性，注重整體代換的思想，做到觸類旁通，使復(fù)雜的思維過程和運(yùn)算過程簡單可行。

同構(gòu)在圓錐曲線中的應(yīng)用主要包括：定點(diǎn)問題，定值問題，參數(shù)問題,其它問題；題目中通常會(huì)出現(xiàn)直線與圓錐曲線（包括圓）相交或相切這樣的已知條件，一般情況下，我們要設(shè)出同構(gòu)點(diǎn)的坐標(biāo)及同構(gòu)直線的參數(shù)（如斜率，向量的數(shù)量等），利用韋達(dá)定理，求出點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系。一、定點(diǎn)問題：根據(jù)已知中的斜率同構(gòu)、直線位置同構(gòu)、參數(shù)同構(gòu)等條件，利用同構(gòu)關(guān)系

求出或表示出直線方程（或圓錐曲線方程），探究直線（或圓錐曲線）恒過定點(diǎn)。

xyABCOMDNP

山東東營

徐新華

xyABOP

山東東營

徐新華

xyABOP

山東東營

徐新華

xyABOP

山東東營

徐新華

xyABOPQ

∴PQ//y軸。

N

xyABOMPN

即直線AB必過原點(diǎn)。

證明：設(shè)直線OA,OB的方程分別為y=k1x,y=k2x,由題意得整理得yxoABP二、定值問題：據(jù)據(jù)已知中的斜率同構(gòu)、直線位置同構(gòu)等條件，利用同構(gòu)關(guān)系得到兩個(gè)斜率（或其它多個(gè)參數(shù)）的代數(shù)式，探究代數(shù)式為定值。由題意得

同理得

xyAMOBQN解：直線OQ與直線MN的斜率之積等于-5；理由如下：設(shè)直線MN的方程為x=my+2,由題意，顯然m≠0,點(diǎn)M（x1,y1），N（x2,y2），

整理得（8m2+9）y2+32my-40=0.設(shè)點(diǎn)P（x,y）為線段AM的垂直平分線上的任意一點(diǎn)，則|PA|=|PM|,

即直線OQ與直線MN的斜率之積為定值，值為-5。山東東營

徐新華xyABOPQ10.已知雙曲線C：

，P(2,1),M(6,-3),過M作直線l分別與C交于A,B兩點(diǎn)，設(shè)直線PA,PB的斜率分別k1,k2,求證：k1k2為定值。.證明：設(shè)直線PA的方程為y-1=k1(x-2),

設(shè)直線l的方程為Ax+By+C=0,

將M(6,-3)的坐標(biāo)代入得：6A-3B+C=0,∴C=3B-6A,∴直線l的方程為Ax+By+3B-6A=0;

則Ax1+By1+3B-6A=0,Ax2+By2+3B-6A=0,∴Ax1+B[k1(x1-2)+1]+3B-6A=0,∴(A+Bk1)x1-2Bk1+4B-6A=0,

C

xyABOPQR

三、參數(shù)問題：用向量關(guān)系表示定比分點(diǎn)時(shí)，可利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示向量得到關(guān)于參數(shù)及坐標(biāo)的關(guān)系式，也可利用參數(shù)得到定比分點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩個(gè)定比分點(diǎn)同構(gòu)或參數(shù)同構(gòu)求出參數(shù)的關(guān)系式。

即⊿PQR的重心G的縱坐標(biāo)的取值范圍為

xyABOMP

得化簡得同理得求+的值。

xyABOPQT

xyABOPC解：設(shè)點(diǎn)A（x1,y1），B（x2,y2），P（x0,y0）.

四、其它問題：求直線方程，面積的最值等問題。山東東營

徐新華

山東東營

徐新華15.已知點(diǎn)A為雙曲線C：x2-y2=4的右頂點(diǎn)，圓M:（x+2）2+（y+2）2=r2(r>0)與直線l:x=-2交于P,Q兩點(diǎn)，直線AP,AQ分別與C交于E,F兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)A到直線EF的距離最大時(shí)，求r的值。解：由題意,不妨設(shè)P（-2，-2+r），Q（-2，-2-r），點(diǎn)E（x1,y1），F(xiàn)（x2,y2），由題意,直線AP的斜率存在，設(shè)AP方程為y=k(x-2)

整理得（r2-4r-12)x2-4(r-2)2x+4r2-16r+80=0,

山東東營

徐新華16.已知點(diǎn)F1,F2,分別為

橢圓E：

的左右焦點(diǎn)，

點(diǎn)A,B是橢圓E上的兩個(gè)不同點(diǎn)，且都位于x軸上方，若AF2//BF1,求四邊形AF2F1B的面積的最大值。.

同理可得

xyABOF2F1D

山東東營

徐新華17.已知點(diǎn)A為

橢圓E：

的左頂點(diǎn)，過點(diǎn)（1，0）的

直線l交橢圓E于P,Q點(diǎn)，記⊿APQ的外接圓為圓N,求圓N面積的最大值。解：設(shè)直線AP的方程為x=m1y-3,由題意，顯然m1≠0,設(shè)直線AQ的方程為x=m2y-3,由題意，顯然m2≠0,