2020-2021學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試全真模擬卷（五）

測(cè)試時(shí)間:120分鐘測(cè)試范圍:人教A2019必修第一冊(cè)+第二冊(cè)滿分:150分

注意事項(xiàng):

1．答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．

2．回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,

再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3．考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題,每小題5分,共40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求

的）

1、設(shè)集合A{x|x25x60},B{x|x10},則AB()

A．(,1)B．(2,1)C．(3,1)D．(3,)

【答案】A

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

由題意得,Axx2或x3,Bxx1,則ABxx1．故選A．

2i

2、（）

12i

A．1B．1C．iD．i

【答案】D

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

2i(2i)(12i)5i

i

12i(12i)(12i)5

故選:D

3、已知a20.3,b0.32,clog2,則（）

0.3

A．bcaB．bacC．cabD．cba

【答案】D

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

由題意可知,a20.3201,0b0.320.301,clog2log10

0.30.3

即a1b0c

故選:D

sinxx

4、函數(shù)f(x)在[π,π]的圖像大致為（）

cosxx2

A．B．

C．D．

【答案】D

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

sin(x)(x)sinxx

由f(x)f(x),得f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又

cos(x)(x)2cosxx2

1

242

f()1,f()0．故選D．

2212

()2

2

5、設(shè)是空間中的一個(gè)平面,l,m,n是三條不同的直線,則（）

A．若m,n,lm,ln,則l

B．若l//m,m//n,l,則n

C．若l//m,m,n,則ln

D．若m,n,ln,則l//m

【答案】B

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

根據(jù)線面垂直的判定定理,要使l,則m,n必須相交,故A錯(cuò)誤;

由l//m,m//n可知l//n,又l,所以n,故B正確;

由l//m,m可知l,結(jié)合n得l//n,故C錯(cuò)誤;

由m,n可知mn,又ln,則l,m可能平行、相交或異面,故D錯(cuò)誤．

故選:B

π

6、已知函數(shù)f(x)sin(x)．給出下列結(jié)論:

3

①f(x)的最小正周期為2π;

π

②f()是f(x)的最大值;

2

π

③把函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,可得到函數(shù)yf(x)的圖象．

3

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A．①B．①③C．②③D．①②③

【答案】B

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

2

因?yàn)閒(x)sin(x),所以周期T2,故①正確;

3

51

f()sin()sin1,故②不正確;

22362

將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到y(tǒng)sin(x)的圖象,

33

故③正確.

故選:B.

3

7、在ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,若3sinCsinAsinB,cosC,且S4,則c

5ABC

（）

4626

A．B．4C．D．5

33

【答案】B

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

34

因?yàn)閏osC,則C(0,),所以sinC1cos2C,

525

114

又因?yàn)镾4,即absinCab4,解得ab10,

ABC225

又由3sinCsinAsinB,根據(jù)正弦定理,可得3cab,

由余弦定理,

316

可得c2a2b22abcosCa2b22ab(ab)2ab3c232,

55

整理得c216,即c4.

故選:B.

8、在平行四邊形ABCD中,AB2,BC1,DAB60,點(diǎn)E為邊AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為邊BC上的動(dòng)點(diǎn),則

DEDF的取值范圍是（）

333

A．[0,]B．[1,]C．[3,3]D．[,3]

222

【答案】B

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中,AB2,BC1,DAB60,ADBC1,所以

1

ADAB12cos601.因?yàn)镋是AB邊的中點(diǎn),所以DEDAAEABAD.又點(diǎn)F在BC邊

2

上,設(shè)CFxCB（0x1）,則DFDCCFABxCBABxAD,所以

11

DEDF(ABAD)(ABxAD)AB2xAD2ABAD

22

111113

xABAD4x1x1x.又0x1,所以11x,故DEDF的取值范圍是

222222

3

[1,].

2

故選:B.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題,每小題5分,共20分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,不止有一項(xiàng)是符合題目要

求的）

9、已知a,b,c,dR,則下列命題為假命題的是（）

A．若ab,cd,則acbdB．若ab,則ac2bc2

C．若ab0,則(ab)c0D．若ab,則acbc

【答案】BD

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

對(duì)于A,取a2b1,c1d2,此時(shí)acbd,故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,由c20時(shí),利用不等式的性質(zhì),不等式兩邊乘以同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變,可知ac2bc2,故B正

確;

對(duì)于C,ab0,ab0,當(dāng)c0時(shí),(ab)c0,故錯(cuò)誤;

對(duì)于D,由不等式的性質(zhì),兩邊同時(shí)減一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向不變,故D正確;

故選:BD

10、若函數(shù)fx同時(shí)滿足:①對(duì)于定義域上的任意x,恒有fxfx0;②對(duì)于定義城上的任意x,x,

12

fxfx

當(dāng)xx時(shí),恒有120,則稱函數(shù)fx為“理想函數(shù)”．下列四個(gè)函數(shù)中,能被稱為“理想函數(shù)”

12xx

12

的有（）

2x1x2,x0,

A．fxB．fxx3C．fxxD．fx

2x1x2,x0

【答案】BCD

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

對(duì)于①對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,恒有fxfx0,即fxfx,所以fx是奇函數(shù);

fxfx

對(duì)于②對(duì)于定義域內(nèi)的任意x,x,當(dāng)xx時(shí),恒有120,

1212xx

12

f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù);

2x11

對(duì)于A:fx,f1,f13,故不是奇函數(shù),所以不是“理想函數(shù)”;

2x13

對(duì)于B:fxx3是奇函數(shù),且是減函數(shù),所以是“理想函數(shù)”;

對(duì)于C:fxx是奇函數(shù),并且在R上是減函數(shù),所以是“理想函數(shù)”;

x2,x0

對(duì)于D:fxxx,f(x)x|x|f(x),

x2,x0

x2,x0

所以fx是奇函數(shù);

x2,x0

根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性,f(x)在(,0),(0,)都是減函數(shù),

x2,x0

且在x0處連續(xù),所以fx在R上是減函數(shù),

x2,x0

所以是“理想函數(shù)”.

故選:BCD.

11、如圖是正方體的平面展開(kāi)圖,則在這個(gè)正方體中,下列命題正確的是（）

A．AM//BNB．BFDN

C．CE=MED．AM與DF是異面直線

【答案】ABC

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

還原正方體,畫(huà)出正方體的直觀圖,如圖FENMABCD,

由圖可知,AM與DF是相交直線,D錯(cuò)誤;

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則CEME2a,C正確;

由正方體的性質(zhì)可得AB與MN平行且相等,所以ABNM是平行四邊形,可得AM//BN,A正確;

由正方體的性質(zhì)可得BC與MF平行且相等,所以BCMF是平行四邊形,可得CM//BF,在正方形CDMN

中,CMDN,所以BFDN,B正確,

故選:ABC.

12、如圖,正方體ABCDABCD的棱長(zhǎng)為2,則下列四個(gè)命題正確的是（）

1111

A．直線BC與平面ABCD所成的角等于

113

B．點(diǎn)C到面ABCD的距離為2

11

C．兩條異面直線DC和BC所成的角為

113

D．三棱柱AADBBC外接球表面積為3

1111

【答案】BC

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

對(duì)選項(xiàng)A,連接BC,交BC于點(diǎn)O,由題意,四邊形BCCB為正方形,COBC,又因?yàn)锳B平面BCCB,

1111111

CO平面BCCB,所以ABCO,所以CO平面ABCD,所以CBO為直線BC與平面ABCD所

111111

成的角,又CBO,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)選項(xiàng)B,因?yàn)镃O平面ABCD,所以CO為點(diǎn)C到面ABCD的距

41111

離,又因?yàn)槔忾L(zhǎng)為2,所以CO2,故選項(xiàng)B正確;對(duì)選項(xiàng)C,連接DC,AB,AC,因?yàn)镈C//AB,所以

111111

ABC為異面直線DC和BC所成的角,又因?yàn)锽CABAC22,所以ABC,故選項(xiàng)C正

11111111113

確;對(duì)選項(xiàng)D,因?yàn)槿庵鵄ADBBC的外接球與正方體的外接球相同,設(shè)外接球半徑為R,

1111

222222

R3,所以外接球表面積為S4R212,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

2

故選:BC

三、填空題（本題共4小題,每小題5分,共20分）

13、已知a,b為單位向量,且ab=0,若c2a5b,則cosa,c___________.

2

【答案】.

3

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

因?yàn)閏2a5b,ab0,

所以ac2a25ab2,

|c|24|a|245ab5|b|29,所以|c|3,

ac22

cosa,c

所以ac133．

14、已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過(guò)點(diǎn)P(3,4),則

π

tan(2)的值為_(kāi)__________.

4

17

【答案】

31

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

42tan24

∵角的終邊過(guò)點(diǎn)P(3,4),∴tan,tan2.

31tan27

24

πtan2tan117

tan(2)47

∴24.

41tan2tan1131

47

π

15、ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若b6,a2c,B,則ABC的面積為_(kāi)_________.

3

【答案】63

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

由余弦定理得b2a2c22accosB,

1

所以(2c)2c222cc62,

2

即c212

解得c23,c23（舍去）

所以a2c43,

113

SacsinB432363.

ABC222

16、中國(guó)有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體,但南北

朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的

多面體.半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體,它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正

方體的表面上,且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面,其棱長(zhǎng)為_(kāi)________．

【答案】共26個(gè)面;棱長(zhǎng)為21.

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

由圖可知第一層與第三層各有9個(gè)面,計(jì)18個(gè)面,第二層共有8個(gè)面,所以該半正多面體共有18826個(gè)面．

如圖,設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為x,則ABBEx,延長(zhǎng)BC與FE交于點(diǎn)G,延長(zhǎng)BC交正方體棱于H,由

半正多面體對(duì)稱性可知,BGE為等腰直角三角形,

22

BGGECHx,GH2xx(21)x1,

22

1

x21,即該半正多面體棱長(zhǎng)為21．

21

四、參考解答題（17題10分,其余每題12分,共70分,參考解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟,考生

根據(jù)要求作答）

17、某校在一次期末數(shù)學(xué)測(cè)試中,為統(tǒng)計(jì)學(xué)生的考試情況,從學(xué)校的2000名學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生的考試

成績(jī),被測(cè)學(xué)生成績(jī)?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分）,將統(tǒng)計(jì)結(jié)果按如下方式分成八組:第一組

[65,75),第二組[75,85),第八組[135,145],如圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分.

（1）根據(jù)圖表,計(jì)算第七組的頻率,并估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該

組區(qū)間的中點(diǎn)值代表該組數(shù)據(jù)平均值）;

（2）若從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,求他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概

率.

2

【答案】（1）頻率為:0.08;平均分為102;（2）.

5

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

解:（1）由頻率分布直方圖得第七組的頻率為:

10.0040.0120.0160.0300.0200.0060.004100.08.

用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該校的2000名學(xué)生這次考試成績(jī)的平均分為:

x700.04800.12900.161000.31100.21200.06

1300.081400.04102.

（2）樣本成績(jī)屬于第六組的有0.00610503人,設(shè)為A,B,C,樣本成績(jī)屬于第八組的有0.00410502

人,設(shè)為a,b,

從樣本成績(jī)屬于第六組和第八組的所有學(xué)生中隨機(jī)抽取2名,

基本事件有:AB,AC,Aa,Ab,BC,Ba,Bb,Ca,Cb,ab共10個(gè)

他們的分差的絕對(duì)值小于10分包含的基本事件個(gè)數(shù)AB,AC,BC,ab共4個(gè)

42

∴他們的分差的絕對(duì)值小于10分的概率p.

105

3

18、已知向量a與b的夾角為=,且a3,b22.

4

（1）若ka2b與3a4b共線,求k;

（2）求ab,ab;

（3）求a與ab的夾角的余弦值

35

【答案】（1）;（2）ab6,ab5;（3）.

25

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

（1）若ka2b與3a4b共線,

則存在,使得ka2b3a4b

即k3a24b0,

又因?yàn)橄蛄縜與b不共線,

1

k3023

所以,解得,所以k.

24032

k

2

2

（2）ababcosa,b3226,

2

aba22abb291285,

aaba2ab965

（3）cosa,ab

aabaab355

19、如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,BC//AD,ABBC,ABBC1,

ADAP2,E為PD的中點(diǎn).

（1）求證:CE//平面PAB;

（2）求點(diǎn)D到平面PBC的距離.

25

【答案】（1）證明見(jiàn)詳細(xì)解析;（2）.

5

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

（1）如圖所示,

取AP的中點(diǎn)G,連接EG,BG.

∵DEPE,AGPG,

∴GE//AD且AD2GE,

又∵AD2,∴GE1.

∵BC//AD,BC1,

∴GE//BC且GEBC,

∴四邊形BCEG為平行四邊形,

∴CE//BG.

又∵BG平面PAB,CE平面PAB,

∴CE//平面PAB.

（2）過(guò)點(diǎn)A作AHBP,垂足為H.

∵AP平面ABCD,BC平面ABCD,∴APBC.

∵BCAB,ABAPA,且AP,AB平面PAB,

∴BC⊥平面PAB.∵AH平面PAB,∴AHBC.

∵AHBP,BPBCB,且BP,BC平面PBC,

∴AH平面PBC.在RtAPB中,BPAB2AP25,

ABAP225

AH.∵AD//BC,BC平面PBC,

BP55

AD平面PBC,∴AD//平面PBC,

∴點(diǎn)D到平面PBC的距離與點(diǎn)A到平面PBC的距離相等,

25

故點(diǎn)D到平面PBC的距離為.

5

20、在ABC中,A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c．已知2ccosCacosBbcosA

（1）求C的大小;

（2）已知ab4,求ABC的面積的最大值．

【答案】（1）C;（2）2.

4

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

（1）由2ccosCacosBbcosA,化簡(jiǎn)可知,2sinCcosCsinAB=sinC,

2

得cosC,

2

由C0,,故C．

4

ab2

（2）由ab4,得ab4,

4

1

故SabsinC2,

△ABC2

當(dāng)且僅當(dāng)ab2時(shí)取等號(hào),

所以ABC面積的最大值為2．

21、隨著共享單車(chē)的成功運(yùn)營(yíng),更多的共享產(chǎn)品逐步走入大家的世界,共享汽車(chē)、共享籃球、共享充電寶等各

種共享產(chǎn)品層出不窮.廣元某景點(diǎn)設(shè)有共享電動(dòng)車(chē)租車(chē)點(diǎn),共享電動(dòng)車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是每小時(shí)2元（不足1小時(shí)

11

的部分按1小時(shí)計(jì)算）.甲、乙兩人各租一輛電動(dòng)車(chē),若甲、乙不超過(guò)一小時(shí)還車(chē)的概率分別為,;一小時(shí)

42

11

以上且不超過(guò)兩小時(shí)還車(chē)的概率分別為,;兩人租車(chē)時(shí)間都不會(huì)超過(guò)三小時(shí).

24

（1）求甲、乙兩人所付租車(chē)費(fèi)用相同的概率;

（2）求甲、乙兩人所付的租車(chē)費(fèi)用之和大于或等于8的概率.

59

【答案】（1）;（2）

1616

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

解:（1）甲、乙兩人所付費(fèi)用相同即同為2,4,6元.

111

都付2元的概率為P;

1428

111

都付4元的概率為P;

2248

111

都付6元的概率為P;

34416

1115

故所付費(fèi)用相同的概率為PPPP.

123881616

（2）設(shè)兩人費(fèi)用之和為8、10、12的事件分別為A、B、C

1111115

PA;

44242416

11113111

PB;PC.

4424164416

設(shè)兩人費(fèi)用之和大于或等于8的事件為W,則WABC

所以,兩人費(fèi)用之和大于或等于8的概率

5319

PWPAPBPC

16161616

x

22、已知函數(shù)f(x)=3sin(x)2sin2()1(0,0π)為奇函數(shù),且f(x)圖象的相鄰兩

2

π

對(duì)稱軸間的距離為.

2

ππ

（1）當(dāng)x[,]時(shí),求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;

24

π1

（2）將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)變）,得到函數(shù)

62

ππ

yg(x)的圖象,當(dāng)x[,]時(shí),求函數(shù)g(x)的值域.

126

4π4π

（3）（*）對(duì)于第（2）問(wèn)中的函數(shù)g(x),記方程g(x)在x[,]上的根從小到依次為x,x,x,

36312n

試確定n的值,并求x2x2x2xx的值.

123n1n

20

【答案】（1）[,];（2）[2,3];（3）n5,.

243

【詳細(xì)詳細(xì)解析】

x

（1）由題意,函數(shù)f(x)=3sin(x)2sin21

2

3sin(x)cos(x)2sin(x)

6

π

因?yàn)楹瘮?shù)fx圖象的相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為,所以T,可得w2,

2

又由函數(shù)fx為奇函數(shù),可得f02sin()0,