上課手機關了嗎？6/11/20251第三章向量與線性方程組復習本章所討論的一般方程組固定編號：

非齊次齊次(1)(2)6/11/20252第三章向量與線性方程組方程組(1)的系數(shù)矩陣與增廣矩陣記為：—

線性方程組的向量形式

6/11/20253第三章向量與線性方程組1.是的線性組合(可由線性表示)2.任一n維向量都可由Rn的基本單位向量組唯一線性表示:有解

(組合系數(shù)就是方程組的一個解)3.可表示為的線性組合6/11/20254第二章線性方程組有非零解

(無)(只有零解)r<n

(r=n)5.線性相關線性相關不全為0，4.線性無關僅當k1=k2=…=ks=0時成立.重要結論：行變換不改變列向量間的線性關系.可否由線性表示——豎排行變換，放末列.

是否線性相關——豎排行變換.

求向量組的秩,并將其余……——豎排行變換.

定理5.向量組線性相關

(線性無關)(任一向量都不能由其余向量線性表示)其中至少有一個向量是其余向量的線性組合定理3.部分相關整體相關；整體無關部分無關定理4.短無關長無關；長相關短相關.定理6.線性無關，線性相關可由唯一線性表示.定理1.n個n維向量線性相關(線性無關)(不為0)定理2.向量個數(shù)>向量維數(shù)，其排成的行列式值為0向量組線性相關.定理7.向量組(I)可由(II)

，(II)可由(Ⅲ)線性表示向量組(I)可由(Ⅲ)線性表示定理8.向量組與其極大無關組等價.推論

向量組的任意兩個極大無關組等價

定理9

向量組可由線性表示,若t>s，則線性相關.推論3向量組的所有極大無關組所含向量個數(shù)相等推論1(逆否命題)推論2

等價的線性無關向量組所含向量個數(shù)相等.線性表示

線性無關，且可由定理10推論：等價的向量組秩相等.可由線性表示

≤定理11

矩陣A的行秩＝矩陣A的列秩＝矩陣A的秩一、線性方程組有解的判定定理定理1.線性方程組(1)有解

(cii≠0，i=1,2,…,r必要時可重新安排未知量的順序)證明:行變換由3.1有3.5線性方程組解的結構6/11/20258第三章向量與線性方程組推論1

線性方程組(1)有唯一解

推論2

線性方程組(1)有無窮多解

推論3

齊次線性方程組(2)只有零解

推論4.齊次線性方程組(2)有非零解

二、齊次線性方程組解的結構1.齊次線性方程組解的性質(zhì)1)兩解之和仍是解

2)常數(shù)乘以解仍是解

3)若干解的線性組合仍是解

例1.討論為何值時，方程組有解∴若齊次線性方程組有非零解,則必有無窮多解,若能求出這個解向量組的一個極大無關組,則任一解向量均可用它們線性表示,因而可用它們的線性組合來表示原齊次線性方程組的全部解.2.

齊次線性方程組解的結構

定義：齊次線性方程組解向量組的一個極大無關組稱作齊次線性方程組的一個基礎解系。

定理2

對齊次線性方程組(2)，若r(A)＝r<n，則基礎解系存在，且均含n-r個解。

齊次線性方程組(2)當不存在基礎解系r(A)＝n時只有零解,當r(A)＝r<n時，有：證(注意：該證明給出了求基礎解系的方法!)6/11/202510第三章向量與線性方程組(必要時適當交換未知量的順序)(xr+1,xr+2,…,xn為自由未知量)行變換6/11/202511第三章向量與線性方程組下證其為基礎解系令則6/11/202512第三章向量與線性方程組1。

的后n-r個分量組成n-r維單位向量組線性無關.由“短無關,則長無關”得：線性無關.2。設為任一解,即是的線性組合.證畢.6/11/202513第三章向量與線性方程組推論:若是齊次線性方程組(2)的一個基礎解系,則(2)的全部解為：

(k1,k2,…,kn－r為任意常數(shù))例2用基礎解系表示方程組的全部解

r(A)<5,必有無窮多解!解!解空間的維數(shù)為即為解空間的一組基n－r基礎解系令分別為得方程組的基礎解系

∴原方程組的全部解為:(k1,k2,k3為任意常數(shù))x1＝－2x3－x4＋2x5x2＝x3－3x4＋x56/11/202515第三章向量與線性方程組三、非齊次線性方程組解的結構—齊次線性方程組(2)稱為原方程組(1)的1.非齊次線性方程組解的性質(zhì)

1)(1)的兩解之差是其導出組的解

2)(1)的一解與其導出組的一解之和仍是(1)的解

注：非齊次線性方程組(1)兩解之和不是解，但若2.

非齊次線性方程組解的結構

定理3

若是非齊次線性方程組(1)的一個解,是其導出組(2)的全部解,則方程組(1)的全部解(通解,一般解)為(k1,k2,…,kn-r為任意常數(shù))導出組

是(1)的解，則也是(1)的解.6/11/202516第三章向量與線性方程組證：①由性質(zhì)2)，是(1)的解②(1)的任一解,由性質(zhì)1)，是導出組的解。(均具通解形式?)(1)有唯一解注：在方程組(1)有解的條件下，導出組(2)只有零解?例3

用基礎解系表示方程組的通解

(是否r(A)<5，必有無窮多解？

前提:有解!)解6/11/202517第三章向量與線性方程組(不進行列交換，可選x1,x3作非自由未知量，但出現(xiàn)分數(shù).令得方程組的一個特解

故選x1,x4作非自由未知量.)?!x1＝－5－3x2＋7x3＋3x5x4＝－4

＋5x3＋2x56/11/202518第三章向量與線性方程組導出組的同解方程組為

分別為得導出組的基礎解系：

∴原方程組的通解為：

(k1,k2,k3為任意常數(shù))

令x1＝－3x2＋7x3＋3x5x4＝

5x3＋2x56/11/202519例4線性無關,將用線性表示;若線性相關,能否表示?可唯一線性表示!

重要結論：行變換不改變列向量間的線性關系.6/11/202520第三章向量與線性方程組此時，線性無關可由唯一線性表示為：問為何值時:(1)可由線性表示,且表示法唯一.(2)可由線性表示,且表示法不唯一.(3)不能由線性表示.表示法不唯一；不能表示.題目可換個形式：已知(如上)題目也可改為：解方程組(類似于本章首次課補例)6/11/202522第三章向量與線性方程組例5(03考研)已知齊次線性方程組其中,試討論a1,a2,…,an和b滿足何種關系時,(1)方程組僅有零解？(2)方程組有非零解,在有非零解時，求此方程組的一個基礎解系。6/11/202523第三章向量與線性方程組(1)b≠0且b≠－時，方程組僅有零解.(2)b＝0時，原方程組等價于…，設a1≠0,基礎解系a1x1+a2x2+…+anxn=0基礎解系例6(04考研)設線性方程組已知(1,－1,1,－1)T是該