2025年統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè)期末考試：數(shù)據(jù)分析計(jì)算題庫(kù)與深度學(xué)習(xí)案例一、數(shù)據(jù)分析計(jì)算題庫(kù)基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)計(jì)算1.某班級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分別為85,90,78,92,88,80,75,95,83,87。計(jì)算該組數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。答案：均值為85.3，中位數(shù)為86，標(biāo)準(zhǔn)差約為6.37。分析：均值是數(shù)據(jù)總和除以個(gè)數(shù)；將數(shù)據(jù)排序后取中間值為中位數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)差衡量數(shù)據(jù)離散程度。2.已知一組數(shù)據(jù)的方差為16，均值為20，若每個(gè)數(shù)據(jù)都加上5，求新數(shù)據(jù)的方差和均值。答案：方差為16，均值為25。分析：數(shù)據(jù)加上常數(shù)，方差不變，均值增加該常數(shù)。3.某工廠生產(chǎn)的零件長(zhǎng)度服從正態(tài)分布$N(50,4)$，現(xiàn)隨機(jī)抽取一個(gè)零件，求其長(zhǎng)度在48到52之間的概率。答案：約為0.6826。分析：根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)，在均值加減一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差范圍內(nèi)的概率約為0.6826。概率計(jì)算4.從一副52張的撲克牌中隨機(jī)抽取一張，求抽到紅桃或A的概率。答案：$\frac{4}{13}$。分析：紅桃有13張，A有4張，紅桃A重復(fù)計(jì)算一次，根據(jù)概率加法公式計(jì)算。5.已知事件A發(fā)生的概率為0.6，事件B發(fā)生的概率為0.4，且A與B相互獨(dú)立，求A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率。答案：0.76。分析：先求A、B都不發(fā)生的概率，再用1減去該概率。6.某地區(qū)下雨的概率為0.3，在下雨的情況下刮大風(fēng)的概率為0.8，求既下雨又刮大風(fēng)的概率。答案：0.24。分析：根據(jù)條件概率公式$P(AB)=P(A)P(B|A)$計(jì)算。抽樣與估計(jì)7.從一個(gè)總體中抽取一個(gè)容量為25的樣本，樣本均值為30，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為5，求總體均值的95%置信區(qū)間。答案：(27.97,32.03)。分析：根據(jù)樣本均值、標(biāo)準(zhǔn)差和樣本容量，利用正態(tài)分布的置信區(qū)間公式計(jì)算。8.為了估計(jì)某城市居民的平均月收入，隨機(jī)抽取了400戶居民，樣本均值為5000元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為1000元，求總體均值的99%置信區(qū)間。答案：(4871.9,5128.1)。分析：同樣使用置信區(qū)間公式，注意不同置信水平對(duì)應(yīng)的臨界值。9.已知總體服從正態(tài)分布$N(\mu,16)$，要使總體均值的90%置信區(qū)間長(zhǎng)度不超過2，樣本容量至少應(yīng)為多少？答案：110。分析：根據(jù)置信區(qū)間長(zhǎng)度公式，結(jié)合已知條件求解樣本容量。假設(shè)檢驗(yàn)10.某工廠聲稱其生產(chǎn)的產(chǎn)品次品率不超過5%，現(xiàn)隨機(jī)抽取200件產(chǎn)品，發(fā)現(xiàn)有15件次品，在顯著性水平0.05下，檢驗(yàn)該工廠的說法是否成立。答案：拒絕原假設(shè)，即該工廠說法不成立。分析：提出原假設(shè)和備擇假設(shè)，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，與臨界值比較。11.某藥品聲稱其治愈率為80%，現(xiàn)對(duì)100名患者進(jìn)行試驗(yàn)，有70人治愈，在顯著性水平0.01下，檢驗(yàn)該藥品的治愈率是否達(dá)到聲稱的水平。答案：拒絕原假設(shè)，治愈率未達(dá)到聲稱水平。分析：按假設(shè)檢驗(yàn)步驟進(jìn)行計(jì)算和判斷。12.已知兩總體$X\simN(\mu_1,25)$，$Y\simN(\mu_2,36)$，分別抽取樣本容量為30和40的樣本，樣本均值分別為80和85，在顯著性水平0.05下，檢驗(yàn)$\mu_1=\mu_2$是否成立。答案：拒絕原假設(shè)，$\mu_1\neq\mu_2$。分析：使用兩總體均值差異的假設(shè)檢驗(yàn)方法。回歸分析13.已知一組數(shù)據(jù)$(x_i,y_i)$，$i=1,2,\cdots,10$，計(jì)算得到$\sum_{i=1}^{10}x_i=50$，$\sum_{i=1}^{10}y_i=60$，$\sum_{i=1}^{10}x_i^2=300$，$\sum_{i=1}^{10}x_iy_i=350$，求線性回歸方程$\hat{y}=\hat{a}+\hatx$。答案：$\hat{y}=3+0.5x$。分析：先計(jì)算回歸系數(shù)$\hat$和$\hat{a}$。14.在一元線性回歸分析中，已知判定系數(shù)$R^2=0.8$，解釋變量$x$的樣本方差為10，被解釋變量$y$的樣本方差為20，求回歸系數(shù)$\hat$的絕對(duì)值。答案：約為1.26。分析：根據(jù)判定系數(shù)與回歸系數(shù)、樣本方差的關(guān)系求解。15.對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行多元線性回歸分析，得到回歸方程$\hat{y}=2+3x_1-2x_2$，若$x_1$增加1個(gè)單位，$x_2$不變，$y$的預(yù)測(cè)值將如何變化？答案：增加3個(gè)單位。分析：回歸方程中自變量系數(shù)表示該變量變化一個(gè)單位時(shí)因變量的變化量。二、深度學(xué)習(xí)案例圖像分類案例-貓狗識(shí)別在圖像分類領(lǐng)域，貓狗識(shí)別是一個(gè)經(jīng)典問題。數(shù)據(jù)集：使用Kaggle上的貓狗圖像數(shù)據(jù)集，包含數(shù)千張貓和狗的圖片，分為訓(xùn)練集和測(cè)試集。模型選擇：采用卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（CNN），以VGG16為例。VGG16具有16層，包括13個(gè)卷積層和3個(gè)全連接層。數(shù)據(jù)預(yù)處理：對(duì)圖像進(jìn)行縮放、歸一化等操作，將圖像大小統(tǒng)一為224×224像素，像素值縮放到0-1之間。模型訓(xùn)練：在訓(xùn)練集上進(jìn)行訓(xùn)練，使用交叉熵?fù)p失函數(shù)和隨機(jī)梯度下降優(yōu)化算法。設(shè)置學(xué)習(xí)率為0.001，訓(xùn)練10個(gè)epoch。模型評(píng)估：在測(cè)試集上評(píng)估模型性能，使用準(zhǔn)確率作為評(píng)估指標(biāo)。經(jīng)過訓(xùn)練，模型在測(cè)試集上的準(zhǔn)確率可以達(dá)到90%左右。文本分類案例-新聞分類任務(wù)：將新聞文章分為不同的類別，如體育、娛樂、科技等。數(shù)據(jù)集：使用清華新聞文本分類數(shù)據(jù)集，包含多種類別的新聞文章。模型構(gòu)建：采用長(zhǎng)短期記憶網(wǎng)絡(luò)（LSTM）。LSTM能夠處理序列數(shù)據(jù)，適合文本分類任務(wù)。數(shù)據(jù)預(yù)處理：對(duì)文本進(jìn)行分詞、去除停用詞等操作，將文本轉(zhuǎn)換為詞向量。使用詞嵌入技術(shù)，如Word2Vec。模型訓(xùn)練：使用交叉熵?fù)p失函數(shù)和Adam優(yōu)化算法。設(shè)置學(xué)習(xí)率為0.0001，訓(xùn)練15個(gè)epoch。模型評(píng)估：在測(cè)試集上計(jì)算準(zhǔn)確率、召回率和F1值。最終模型在測(cè)試集上的準(zhǔn)確率可達(dá)到85%左右。時(shí)間序列預(yù)測(cè)案例-股票價(jià)格預(yù)測(cè)問題：根據(jù)歷史股票價(jià)格數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)股價(jià)走勢(shì)。數(shù)據(jù)集：使用雅虎財(cái)經(jīng)提供的某股票歷史價(jià)格數(shù)據(jù)，包含開盤價(jià)、收盤價(jià)、最高價(jià)、最低價(jià)等信息。模型選擇：使用門控循環(huán)單元（GRU）。GRU是一種簡(jiǎn)化的循環(huán)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，能夠有效處理時(shí)間序列數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)預(yù)處理：對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化處理，將數(shù)據(jù)縮放到0-1之間。構(gòu)建時(shí)間序列數(shù)據(jù)集，例如使用前10天的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)第11天的股價(jià)。模型訓(xùn)練：使用均方誤差損失函數(shù)和RMSProp優(yōu)化算法。設(shè)置學(xué)習(xí)率為0.001，訓(xùn)練20個(gè)epoch。模型評(píng)估：在測(cè)試集上計(jì)算均方根誤差（RMSE），評(píng)估模型的預(yù)測(cè)精度。經(jīng)過訓(xùn)練，模型在測(cè)試集上的RMSE可以控制在一定范圍內(nèi)。生成對(duì)抗網(wǎng)絡(luò)（GAN）案例-手寫數(shù)字生成目標(biāo)：生成逼真的手寫數(shù)字圖像。數(shù)據(jù)集：使用MNIST手寫數(shù)字?jǐn)?shù)據(jù)集，包含6萬(wàn)張訓(xùn)練圖像和1萬(wàn)張測(cè)試圖像。模型架構(gòu)：由生成器和判別器組成。生成器接收隨機(jī)噪聲作為輸入，生成手寫數(shù)字圖像；判別器判斷輸入的圖像是真實(shí)的還是生成的。訓(xùn)練過程：交替訓(xùn)練生成器和判別器。生成器的目標(biāo)是生成能夠欺騙判別器的圖像，判別器的目標(biāo)是準(zhǔn)確區(qū)分真實(shí)和生成的圖像。訓(xùn)練技巧：使用對(duì)抗損失函數(shù)，設(shè)置合適的學(xué)習(xí)率和批量大小。經(jīng)過多次迭代訓(xùn)練，生成器能夠生成越來(lái)越逼真的手寫數(shù)字圖像。評(píng)估：通過人工觀察和一些圖像質(zhì)量評(píng)估指標(biāo)，如峰值信噪比（PSNR）來(lái)評(píng)估生成圖像的質(zhì)量。醫(yī)療影像診斷案例-肺部疾病檢測(cè)應(yīng)用場(chǎng)景：輔助醫(yī)生進(jìn)行肺部疾病的診斷。數(shù)據(jù)集：使用公開的肺部CT圖像數(shù)據(jù)集，包含正常肺部和患有不同疾?。ㄈ绶窝住⒎谓Y(jié)核等）的肺部圖像。模型設(shè)計(jì)：采用