用向量法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的2024年高考新高考Ⅰ卷考查了線面平行關(guān)系的證明和已知二面角求長度問題。Ⅱ卷考查了線線垂直關(guān)【題1】(2024新高考Ⅰ卷·17)如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AC=2，BC=1,AB=、(2)若AD⊥DC，且二面角A-CP-D的正弦值為，求AD.為二面角A-CP-D的平面角，即可求得tan上DFE=即可解方程求出AD.而ABC平面PAB，所以AD丄AB.根據(jù)二面角的定義可知，上DFE即為二面角A-CP-D的平面角，4-x224-x2又CE4-x224-x2又CE=(4-x2(-,而△EFC為等腰直角三角形，所以EF==,x、4-x2故tan上DFE=24-x2故tan上DFE=24-x2(2)求面PCD與面PBF所成的二面角的正弦值.(1)證明見解析利用空間向量法求解面面角即可.ABAD,AF=2,(1)由AB=8,AD=5ABAD,AF=2, -.../3由余弦定理得EF=-.../3所以AE2+EF2=AF2，則AE丄EF，即所以EF丄PE,EF丄DE，又PE∩D故EF丄PD；所以PE丄ED，則PE,EF,ED兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系E-xyz，則E(0,0,0),P(0,0,23),D(0,33,0),C(3,33,0),F(2,0,0),A(0,-23,0)，所以PC=(3,33,-23),PD=(0,33,-23),PB=(4,23,-23),PF=(2,0,-23)，設(shè)平面PCD和平面PBF的一個法向量分別為1,y1,z12,y2,z2)，PB2m-23z2=0PB2m-23z2=0y1-23y2,,(n.y1-23.P(n.y1-23,-1,1)，,-1,1)，====nmn,設(shè)平面PCD和平面PBF所成角為θ,則sinθ=1-,即平面PCD(2)設(shè)D為A1C的中點，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.得解.(2)取A1B的中點E,連接AE,如圖，因為AA1=AB，所以AE⊥A1B,又平面A1BC⊥平面ABB1A1，平面A1BC∩平面ABB1A1=A1B，且AE?平面ABB1A1，所以AE⊥平面A1BC，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，由BC?平面A1BC，BC?平面ABC可得AE⊥BC，BB1⊥BC，又AE,BB1C平面ABB1A1且相交，所以BC丄則A(0,2,0(,A1(0,2,2(,B(0,0,0(,C(2,0,0(,所以A1C的中點D(1,1,1(，則BD=(1,1,1(，BA=(0,2,0(,BC=(2,0,0(,可取=(1,0,-1(，(n.BC=2a=0(n.BC=2a=0可取=(0,1,-1(，所以二面角A-BD-C的正弦值為在棱AA1,BB1,CC1,DD1上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.C22D2；則C(0,0,0),C2(0,0,3),B2(0,2,2),D2(2,0,2),A2(2,2,1)，∴B=(0,-2,1),A=(0,-2,1)，∴B2C2∥A2D2，∴B2C2∥A2D2.(2)設(shè)P(0,2,λ)(0≤λ≤4)，則A=(-2,-2,2),P=(0,-2,3-λ),D=(-2,0,1)，設(shè)平面PA2C2的法向量,y,z)，令z=2，得y=3-λ,x=λ-1，∴,3-λ,2)，設(shè)平面A2C2D2的法向量,b,c)，∴1,1,2)，∴P(0,2,1)或P(0,2,3)，∴B2P=1.(2)若∠ABO=∠CBO=30°,PO=3，PA=5，求二面角C-AE-B的正弦值.數(shù)的基本關(guān)系計算可得.因為PO是三棱錐P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC，AO,BO?平面ABC，所以PO⊥AO、PO⊥BO，又AB⊥AC，即∠BAC=90°,所以∠OAB+∠OAD=90°,∠OBA+∠ODA=90°,所以∠ODA=∠OAD又∠OBA=∠OBC=30°,所以BD=2OA=8，則AD=4，AB=4，以=(0,-3,2(；設(shè)平面AEC的法向量為=(a,b,c(，則c=0，設(shè)二面角C-AE-B的大小為θ,則|cosθ|=|cos,=，所以sinθ=即二面角C-AE-B的正弦值為.【題6】(2023新高考Ⅱ卷·20)如圖，三棱錐A-BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=6E為BC的中點.(2)點F滿足E=D，求二面角D-AB-F的正弦值.因為DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°,所以△ACD與△ABD均為等邊三角形，∴AC=AB，從而AE⊥BC②,由①②,AE∩DE=E，AE,DE?平面ADE，:AE2+DE2=4=AD2，:AE丄DE，又“AE丄BC,DE∩BC=E，DE,BCC平面BCD:AE設(shè)D(2,0,0),A(0,0,2),B(0,2,0),E(0,0,0)，設(shè)平面DAB與平面ABF的一個法向量分別為=(x1,y1,z1(,=(x2,y2,z2(，二面角D-AB-F平面角為θ,而A=(0,2,-2(，因為EF=DA=(-2,0,2(，所以F(-2,0,2(，即有AF=:{((0,1,1)，/33所以二面角D-AB-F/33(-、2,0,0(，、3.3可化為O=O+tA=O+t(O-O(=(1-t(O+tO②線段AB的中點公式.+y任意一點該式稱為空間平面ABC的向量表達式.,+=?+?.-=(a1-b1,a2-b2,a3-b3(；=(λa1,λa2,λa3(；1=λb1,a2=λb2,a3=λb3；⊥?a1b1+a2b2+a3b3=0.,y1,z1(，B(x2,y2,z2(，則A=O-O=(x2-x1,y2-y1,z2-z1(.或者d(A,B(=|A|．其中d(A,B(表示A與B兩點間的距離，這就是空間兩點的距離公式.如果表示向量的有向線段所在直線垂直于平面α,則稱這個向量垂直于平面α,記作丄α,如果丄α,那1(2(；θ=BC,∠BAD=,AB=AD,△PAD為等邊三角形.(2)若二面角P-AD-B的大小為，求二面角A-PB-C的正弦值.(2).向量求法求解即得.由AB=AD,∠BAD=，得△ABD為等邊三角形，則AD⊥BO，又PO∩BO=O,PO,BO?平面POB，于是AD⊥平面POB，又PB?平面POB，所以PB⊥AD.不妨設(shè)AB=2，則|PO|=|BO|=，A(1,0,0(,B(0,,0(,P(0,-(,D(-1,0,0(，設(shè)平面PBA的法向量為=(0,=1，得=(1,-,-3)，設(shè)二面角A-PB-C的平面角為θ,則|cosθ|=|cos?,==33=，因此sinθ=所以二面角A-PB-C的正弦值為.ACD⊥平面BCD，(2)若DA=1,DB=2,DC=3,P為AB中點，Q為AC中點，求BQ與平面P可求得答案.由平面ABD⊥平面BCD交于BD，EF?面BCD，EF⊥BD，則EF⊥平面ABD，又AD?平面ABD，則EF⊥AD，同理EG⊥AD，又由EF,EG?平面BCD，EF∩EG=E可得AD⊥平面BCD，BD,CD?平面BCD，則AD⊥BD,AD⊥CD.同理可得BD⊥CD，即AD,BD,CD兩兩垂直.設(shè)面PDC的法向量=(x,y,z(，則由，即=0，可取=(1,0,-2(.設(shè)BQ與平面PDC所成角為則BQ與平面PDC所成角的正弦值為若DB1=求二面角A1-CB1-C1的余弦值.因為三棱柱ABC-A1B1C1所有棱長都為2，∠B1BC=60°,CB1C1⊥平面AOB1，AB1?平面AOB1，則C(-1,0,0(，B1(0,、3,0(，C1(-2,、3,0(，A(0,-記二面角A1-CB1-C1的大小為θ,且θ為銳角，即二面角A1-CB1-C1的平面角的余弦值為.DEF⊥平面ACFE，連接BD.(2)求平面AEDB與平面FDBC所成角的余弦值.面即可.所以BM丄AC，DN丄EF，因為平面ABC丄平面ACFE，平面DEF丄平面A所以上ADC就是二面角A-DB-C的平面角，所以平面AEDB與平面FDBC所成角的余弦值為.AE丄AD，AB=AE=2DF=4.(i)求點A到平面CEF的距離.用向量方法求點到平面距離.因為AE∥DF,AE=2DF，所以AG?DF,AG=DF又GF∩EF=F，所以AD不平行因為平面CEF∩平面ADFE=EF，AD?平面ADFE因為菱形ABCD,∠ABC=60°,又面EAB⊥面ABCD，面EAB∩面ABCD=AB，AM?面ABCD所以AM⊥面EAB，因為AE?面EAB，所以AM⊥AE又因為AE⊥AD，AM∩AD=A,AM,AD?面ABCD，所以AE⊥面ABCD，而AB,AM?面ABCD，所以AE⊥AB，則A(0,0,0(,B(4,0,0(,C(2,23,0(,E(0,0,4(,F(-2,23,2((i)因為AE⊥面ABCD，所以A=(0,0,4(為平面ABCD的一個法向量設(shè)平面CEF的法向量為=(x,y,z(，因為C=(-2,-23,4(,C=(-4,0,2(設(shè)平面ABCD與平面CEF所成角為θ,腰梯形ABB2A2,BCC2B3,CAA3C3使得AA2=BB2=CC2=1,∠CAA3=∠BAA2=，沿三邊AB,BC,(2)求直線CC1與平面AA1B1B所成角θ【分析】(1)補全圖形得到三棱錐P-ABC，由線面垂直證得AA1⊥B(1)延長AA1,CC1交于點P1,過C1作C1M丄AC于M，過A1作A1N丄AC于N，:P1與P2重合于點P，P-ABC為三棱錐，設(shè)O為BC中點，等腰直角△ABC中AC=AB,:AO丄BC，，:PB=PC=2，:PO丄BC，又“AO∩PO=O,AO,POC平面PAO:BC丄平面PAO，又AA1C平面PAO，:BC丄AA1,“BCⅡB1C1,:B1C1丄AA1.2,PB=PC=2,:PB2+PC2=BC2,:PC丄PB,“O為中點，:PO=BC=2，又“AO=2,PA=2AA1=2,:PO2+AO2=PA2,:PO丄AO，以O(shè)為坐標原點，OA,OB,OP為x,y,z軸建立空間則A(2,0,0(,B(0,2,0(,P(0,0,2(,C(0,-2,0(，2y+:CP=(0,2,2(，AP=(-2,0,22y+2z=02z=0,(BP.=0(-2z=02z=0,(BP.=0(-所以直線CC1與平面AA1B1B所成角θ的2,PB=PC=2,:PB2+PC2=BC2,:PC丄PB,“O為中點，:PO=BC=、2，PO丄BC，又“AO=、2,PA=2AA1=2,:PO2+AO2=PA2,:PO丄AO，又BC∩AO=O，BC,AOC平面ABC，:PO丄平面ABC，:h=,:sinθ==.所以直線CC1與平面AA1B1B所成角θ的∠ABB1=，AC1⊥B1C.(2)已知平面ABC⊥平面ABB1A1，求二面角B-CC1-A的正弦值.(2).因為四邊形ABB1A1為菱形，∠ABB1=所以△ABB1為等邊三角形，則AB⊥AC1∩AB=A，所以B1C⊥平面ABC1，因為平面ABC⊥平面ABB1A1，且平面ABC∩平面ABB1A1=AB，AB⊥OB1，OB1?平面ABB1A1，所以B1O⊥平面ABC；可得,-1,0(，=(0,1,,1,0(.AD⊥DC，過A1作平面BCC1B1的垂線l.算即得.AD.又AD⊥DC,CC1∩DC=C,CC1,DC?平面BCC1B1，所以AD⊥平面BCC1B1.B1又DC1∩AD=D,AD,DC1C平面ADC1，所以C因為CH丄平面ADC1,AHC平面ADC1，所以CH丄AH.2).CEF；P與平面BCD所成角的正弦值的最大值.由F為AB的中點AC=BC=2得FB=、2=C1D，，,C,C({(為一組空間正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，則E(1,0,0),F(1,1,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2)，所以E=(0,1,0),E=(-1,0,2),A=(-1,1,-2)，F(xiàn)=(-1,-1,2)，設(shè)F=λF=(-λ,-λ,2λ),λ∈[0,1]，則A=A+F=(-λ-1,-λ+1,2λ-2)，設(shè)平面C1EF的法向量為=(x,y,z(，設(shè)直線A1P與平面C1EF所成角為θ,則(法二)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1丄底面ABC，又AC∩CC1=C,AC,CC1C平面AA1C1C，所以EF丄平面AA1C1C，因為EFC平面EFC1，EF，則直線AP與平面BCD所成角即為直線AP與平面C1EF所成角∠A1PH，H=，又sin∠A1PH=，要使sin∠A1PH值最大，則A1PFC1中A1F=FC1=、6,A1C1=2，過A1作A1P⊥C1F交FC1于P，由等面積可求出A1P=此時sin∠A1PH=若求平面PCD與平面GMN的夾角的余弦值.量求法求解即得.所以直線MNⅡ平面PAB.則=(-2,0,0)，設(shè)G(x1,y1,z1(，則P=(x1,y1,z1-2)，G=(2-x1,2-y1,-z1)，-1,2)，所以平面PCD與平面GMN的夾角的余弦值為.(2)求二面角C1-DF-C的平面角的正切值.(1)2則有B(0,0,0(、B1(0,0,6(、A(6,0,0(、C(0,6,0(、A1(6,0,6(、D(3,3,0(、E(0,0,3(、C1(0,6,6(，設(shè)F(0,m,0(，設(shè)平面A1DE的法向量為=(x,y,z(，由EFC平面A1DE，則E.=m×(-3(+(-3(×(-2(=0，解得m=2，故BF=2；=(3,-3,-6(，=(-3,-1,0(，設(shè)平面C1DF的法向量分別為=(x1,y1,z1(，-3,2(，則二面角C1-DF-C的平面角的正切值為AB⊥DD1,CD=2,AD=3,BC=4，∠ADB=30°.A1⊥平面ABCD；(2)若AA1⊥AD，四棱臺ABCD-A1B1C1D1的體積為,(2).可得AB=3，由勾股定理的逆定理可得AB⊥AD，則AB⊥平面ADD1A1，則得平面ABCD；ABCD與平面CDD1C1夾角的余弦值.所以sin∠BDC=所以∠BDC=90°,所以AB2+AD2=BD2，所以∠BAD=90°,即AB⊥AD，又AB⊥DD1,AD∩DD1=D,AD,DD1?平面ADD1A1，所以AB⊥平面ADD1A1，又AB?平面ABCD，所以平面ADD1A1⊥平面ABCD.(2)由(1)知四棱臺ABCD-A1B1C1D1的下底面面積×2×23=3×3+×S=S△ABD3×3+×設(shè)四棱臺ABCD-A1B1C1D1的高為h，則四棱臺ABCD-A1B1C1D1的體積為h(SI+SIS+S(=，因為平面ADD1A1⊥平面ABCD,AA1⊥AD，平面ADD1A1∩平面ABCD=AD，所以AA1⊥平面ABCD，所以AB,AD,AA1兩兩垂直.D(0,3,0),C(3,4,0),D1(0,,2(所以D=(0,-,2(,D=(3,1,0(，設(shè)平面CDD1C1的法向量為=(x,y,z(，-4令x=1，得y=-3,z=-33，4所以平面CDD1C1的一個法向量為=(1,-3,-343(，|-|-cos,====mnmn4M⊥AB.M⊥A1N；(2)若D為棱A1B1上的動點，當DN與平面ABC所成角最大時，求二面角A-DM-N的余弦值.(1)證明過程見解析(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1丄平面ABC，而ABC平面ABC，BCC平面ABC，因為BCC平面B1BCC1，所以AB丄BC，BC，所以BC,BA,BB1兩兩互相垂直，以點B為坐標原點，BC,BA,BB1所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，所以B(0,0,0(,C(2,0,0(,A(0,2,0(,B1(0,0,2(，C1(0,2,2(,A1(0,2,2(,M(0,0,1(,N(1,1,0(，所以=(-2,0,-1(,=(1,-1,-2(，所以C1M.A1N=-2+2=0，由(1)得B(0,0,0(,C(2,0,0(,A(0,2,0(,B1(0,0,2(，C1(0,2,2(,A1(0,2,2(,M(0,0,1(,N(1,1,0(，設(shè)D(0,d,2(,(0≤d≤2(，所以D=(1,1-d,-2(，25+(1-d(2,25+(1-d(2,5+(1-d(2所以BC丄平面BAA1B1，所以平面DMA和平面BAA1B1是同一個平面，所以BC丄平面DMA，所以可取平面DMA的一個法向量為=(1,0,0(，若D的坐標為(0,1,2(，且注意到M(0,0,1(,N(1,1,0(，所以DM=(0,-1,-1(,DN=(1,0,-2(，設(shè)平面DMN的法向量為=(x2,y2,z2(，=-1，所以取平面DMN的一個法向量為=(2,-1,1(，由圖可知二面角A-DM-N是銳角，綜上所述，二面角A-DM-N的余弦值為6.(1)證明過程見解析所以A,C均在BD的垂直平分線上，所以AC⊥BD，BO=OD，因為AB=AP,BC=PC,AC=AC，所以△ABC?APC，因為BO⊥AC，所以PO⊥AC，又因為AC⊥BD，PO∩BD=O，PO所以AC⊥平面PBD，因為AC?平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD；因為AB=2,BC=4,AC=25，所以AB2+BC2=AC2，所以∠ABC=90°,由(1)可知PO⊥AC,BO⊥AC，而平面ABC∩平面APC=AC，OB?平面ABC，OP?平面APC，且二面角P-AC-B為，所以∠POB=所以P,0,(，因為B,0,0(,A(0,-,0(,D,0,0(，所以P=,0,-P=,-,-P=,0,-(，設(shè)平面PAD的法向量為=(x,y,z(，(P.=25x-25y-(P.=25x-25y-215z=0設(shè)直線PB與平面PAD所成角為θ,M(1)證明:MO丄平面ABCD；(1)證明見解析MO丄平面ABCD.(1)取AB,CD中點K,Q，連接FK,KQ,QE，則O為KQ的中點，因為△ABF是等邊三角形，所以AB丄FK，又AB丄KQ，KQ,FKC平面FKQE，KQ∩FK=K，所以AB丄平面FKQE，ABC平面ABCD，所以平面FKQE丄平面ABCD，故MO丄平面ABCD.則O(0,0,0(,M(0,0,2(,K(1,0,0(,C(-1,1,0(,A(1,-1,0(,B(1,1,0(,E(-2,0,2(，設(shè)平面ABM的法向量為=(x,y,z(,A=(0,2,0(,A—=(-1,1,2(，n?AM=-x+y+2z=0n?AM=-x+y+2z=0設(shè)C=λC(0≤λ≤1(，B=B+C=B+λC=(-2-λ,-λ,2λ(，設(shè)直線BP與平面ABM所成角為θ,⊥平面ABCD，C∵四棱臺ABCD-A1B1C1D1是正四棱臺，∴OO1⊥平面ABCD，又AC?平面ABCD，∴OO1⊥AC，又AC⊥BD，OO1∩BD=O，OO1,BD?平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1.(2)在等腰梯形ABB1A1中，∠B1BA=60°,AB=2A則A(0,-22,0),B(22,0,0),B1(2,0,2),C(0,22,0),D(-22,0,0),E(-、2,、2,0(,:A=(22,22,0),B—=(-2,0,2),D=(0,2,-2)，(n.BB1=0(n.BB1=0:{，取=(1,-1,1(，:直線ED1與平面ABB1A1所成角的正弦值.(1).(1)利用等體積變化的方法進行計算距離；CA1C1，所以DF∥A1C1A1C1，DF∥AE，且DF=AE，所以四邊形DFEA是平行四邊形，所以EF∥AD，又EF?平面ABB1A1，AD?平面ABB1A1，因為∠A1AC=，AA1=1，A1E=AA1+AE-2×AA1×AE×cos∠A1AC=2+1-2因為A1E2+AE2=AA，所以A1E⊥AC，由平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，又BE?平面ABC，所以A1E⊥BE，所以在等邊三角形ABC中，BE=AB2-AE2=22-12=3,又A1B=A1E2+BE2=6，三角形A1AB是等腰三角形，S△A1BA=×A1B×設(shè)點E到平面ABA1的距離為d，則VA1-ABE=VE-A1BA=SA1BA?d，解得d=.設(shè)E=λE(0≤λ≤1(，則P=(-λ,1-λ,-、3λ(，設(shè)平面PCC1的一個法向量=(x1,y1,z1(，yλ(-y1-·3λz1=0，所以,-1(，設(shè)平面BB1C1C的一個法向量=(x2,y2,z2(，==AP=AB=2AD=2CD，E為棱PC上的動點.(1)證明見解析又“ABⅡCD，:AF，:四邊形ADCF為平行四邊形，:CF=AD=AB，又PA丄平面ABCD，BCC平面ABCD，:PA丄BC，又AEC平面PAC，:BC丄AE.依題意得D(a,0,0(，C(a,a,0(，B(0,2a,0(，P(0,0,2a(，則B=(0,-2a,2a(，C=(-a,-a,2a(，“P=2E，:D=D—+D=(-,,.設(shè)平面PBC的法向量為=(x0,y0,z0(，(n.C=-ax0-ay0+2az0=0,(n.C=-ax0-ay0+2az0=0,1．:=(1,1,1(.:直線DE與平面PBC所成角的正弦值為.(1)證明見解析計算求解即可.“POC平面POE，:BC丄PO.:PO丄平面ABCD，因此△ACD為等邊三角形，CO丄AD.由D=λD→M(0,λ-1,3λ(，所以P=(3,0,-3(，B=,-,0(，A=(、3,-1,