四川省成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．若集合，則（

）A． B．C． D．2．若，則（

）A． B． C． D．3．若，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．4．在平面直角坐標系中，直線上有且僅有一點，使，則直線被圓截得的弦長為（

）A．2 B． C．4 D．5．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（

）A．1 B． C．3 D．6．已知集合，若且互不相等，則使得指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)中至少有兩個函數(shù)在上單調(diào)遞減的有序數(shù)對的個數(shù)是（

）A．36 B．42 C．72 D．847．對于函數(shù)，若系數(shù)可以發(fā)生改變，則改變后對函數(shù)的單調(diào)性沒有影響的是（

）A． B． C． D．8．已知橢圓，作垂直于軸的直線交橢圓于兩點，作垂直于軸的直線交橢圓于兩點，且，兩垂線相交于點，若點的軌跡是某種曲線（或其一部分），則該曲線是（

）.A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線二、多選題（本大題共3小題）9．某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良．采用有放回簡單隨機抽樣的方法抽取足夠樣本后對治療情況進行檢查，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表后，經(jīng)計算得到，則可以認為（

）A．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗（已知獨立性檢驗中），兩種療法的效果沒有差異B．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗（已知獨立性檢驗中），兩種療法的效果存在差異C．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗（已知獨立性檢驗中），兩種療法的效果沒有差異D．根據(jù)小概率值的獨立性檢驗（已知獨立性檢驗中），兩種療法的效果存在差異10．已知函數(shù)在處取到極大值1，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．11．已知函數(shù)的部分圖象如圖1所示，分別為圖象的最高點和最低點，過作軸的垂線，交軸于，點為該部分圖象與軸的交點.將繪有該圖象的紙片沿軸折成直二面角，如圖2所示，此時，則下列四個結(jié)論正確的有（

）A．B．C．圖2中，D．圖2中，是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合，則表示的區(qū)域的面積大于三、填空題（本大題共3小題）12．在中，角的對邊分別為，已知，則．13．在的展開式中，若各項系數(shù)和為0，則.14．已知編號為1，2，3的三個盒子，其中1號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號盒子內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號盒子內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球.若第一次先從1號盒子內(nèi)隨機抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的盒子中，第二次從放入球的盒子中任取一個球，則第二次抽到3號球的概率為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)在與之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為d的等差數(shù)列，令，求數(shù)列的前n項和.16．已知，函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：，.17．如圖，三棱臺中，是邊長為2的等邊三角形，四邊形是等腰梯形，且，為的中點.(1)證明：；(2)若過三點的平面截三棱臺所得的截面面積為.當二面角為銳二面角時，求二面角的正弦值.18．如圖，已知正方體頂點處有一質(zhì)點，點每次會隨機地沿一條棱向相鄰的某個頂點移動，且向每個頂點移動的概率相同，從一個頂點沿一條棱移動到相鄰頂點稱為移動一次，若質(zhì)點的初始位置位于點處，記點移動次后仍在底面上的概率為.(1)求；(2)求.19．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓與拋物線交于第一象限的點，過點作拋物線的切線交橢圓于另一點，直線交橢圓于另一點，且滿足．(1)求橢圓的離心率；(2)若，求面積的最大值．

參考答案1．【答案】B【分析】由集合A中含有元素可以排除AD兩個選項，由中含無理數(shù)元素排除C選項，由時，得，判斷出選項B正確.【詳解】依題意可得，所以A、D均錯誤；因為，所以中含無理數(shù)元素，故C錯誤；集合中，當時，，所以,所以，所以B正確；故選B.2．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算法則計算可得.【詳解】因為，所以.故選B.3．【答案】D【分析】由求得值，根據(jù)投影向量的定義公式計算即得.【詳解】由可得，，解得，則，在方向上的投影向量為.故選D.4．【答案】D【分析】運用點到直線的距離公式，結(jié)合弦長公式求解即可.【詳解】，化為一般式，即，直線上有且僅有一點，使，則圓心到直線的距離,即，圓心..故選D.5．【答案】C【分析】根據(jù)圖象，求得，即可求出結(jié)果.【詳解】由圖知，得到，又由圖知，由，得到，又，所以，由，得到，所以，得到，故選C.6．【答案】C【分析】分類討論單調(diào)性，結(jié)合排列數(shù)、組合數(shù)運算求解.【詳解】若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減增，則，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；若和在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；若、和在上單調(diào)遞減，則，此時有序數(shù)對的個數(shù)有：個；綜上所述：共有個.故選C.【思路導(dǎo)引】關(guān)鍵在于恰當?shù)倪M行分類，做到不重不漏，由此即可順利得解.7．【答案】C【分析】分析f'【詳解】由題意，b與c的對f'x的正負性有影響，d不影響f即d對的單調(diào)性沒有影響；故選C.8．【答案】C【分析】設(shè)出點坐標，結(jié)合，將點坐標代入橢圓方程，求出點的軌跡方程即可得.【詳解】設(shè)，，則，由及橢圓對稱性，可取、，故有、，消去，可得，即，即，則點為雙曲線上一點.故選C.9．【答案】BC【分析】利用給定的，與、比較即可.【詳解】零假設(shè)為兩種療法相互獨立，且兩種療法的效果沒有差異，因為，故根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，兩種療法的效果存在差異，故A錯誤，B正確，因為，故根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，兩種療法的效果沒有差異，故C正確，D錯誤，故選BC.10．【答案】ABC【詳解】因為，則.函數(shù)在處取到極大值1.則，故A正確；兩式子相減，得到，即，故B正確；由前面知道，，則，由于函數(shù)在處取到極大值，則函數(shù)在的附近單調(diào)性為“左增右減”.則，對于時，，即，即，因為，所以，所以，又，所以,即，即，則.故C正確，D錯誤.故選ABC.11．【答案】AC【分析】在圖2中，以點為坐標原點，、的方向分別為、軸的正方向建立空間直角坐標系，根據(jù)已知條件求出的值，即可判斷A；結(jié)合的取值范圍求出的值，可判斷B；利用空間向量數(shù)量積的坐標運算可判斷C；求出，結(jié)合扇形的面積公式可判斷D.【詳解】函數(shù)的最小正周期為，在圖2中，以點為坐標原點，、的方向分別為、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，設(shè)點，則點、，，因為，解得，故A正確；所以，，則，可得，又因為函數(shù)在附近單調(diào)遞減，且，所以，，故B錯誤；因為，可得，又因為點是函數(shù)的圖象在軸左側(cè)距離軸最近的最高點，則，可得，所以，，因為點是函數(shù)在軸右側(cè)的第一個對稱中心，所以，，可得，翻折后，則有、、、，所以，，，所以，在圖2中，，故C正確；在圖2中，設(shè)點，，可得，，，，易知為銳角，則，所以，區(qū)域是坐標平面內(nèi)以點為圓心，半徑為，且圓心角為的扇形及其內(nèi)部，故區(qū)域的面積，故D錯誤.故選AC.【思路導(dǎo)引】本題考查翻折問題，解題的關(guān)鍵在于建立空間直角坐標系，通過空間向量法來求解相應(yīng)問題.12．【答案】【分析】由正弦定理化角為邊可得，再由余弦定理可求.【詳解】，由正弦定理可得，又，由余弦定理可得，，.故答案為：.13．【答案】【分析】根據(jù)在的展開式中各項系數(shù)和，令即可求解.【詳解】在的展開式中，各項系數(shù)和即在中令可得，所以當時，，所以.故答案為：.14．【答案】【分析】記第一次抽到第i號球的事件分別為，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，再利用全概率公式求解即可.【詳解】記第一次抽到第i號球的事件分別為，則有，，記第二次在第i號盒內(nèi)抽到3號球的事件分別為，而，，兩兩互斥，和為，，，，記第二次抽到3號球的事件為B，．故答案為：.15．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）先把條件轉(zhuǎn)化成的形式，再根據(jù)等比數(shù)列的定義進行判斷.（2）先明確數(shù)列的通項公式：，再用分組求和的方法求前項和.【詳解】（1）由，得，整得，得，又，所以，故，．所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．故，從而．（2）依題意，得所以從而.16．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）分類討論根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負得出函數(shù)的單調(diào)性；（2）先化簡函數(shù)，根據(jù)化簡結(jié)果構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)結(jié)合基本不等式得出函數(shù)的最小值得證.【詳解】（1）因為，所以.若，則f'x>0在若，則由，得，當時，，當時，.綜上所述，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）.令，則要證，即證恒成立，即證，即證，需證.令，，則，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則，即，則，則，當且僅當時，等號成立，從而，證畢.【思路導(dǎo)引】構(gòu)造函數(shù)，再結(jié)合導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性，最后結(jié)合基本不等式可以解題.17．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；（2）如圖，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得、，確定為二面角的平面角，解三角形即可求解.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，，是等邊三角形，點是的中點，，又四邊形是等腰梯形，且為的中點，，又，，平面，平面，又平面，.（2）解法一：延長，，交于點，過點作，，垂足為，，連，由（1）易知平面平面，，平面平面，平面，平面，又平面，，又，且，平面，平面，又平面，，又，為二面角的平面角，則易知過，，三點的截面為梯形，設(shè)梯形的高為，則，解得，，又四邊形是等腰梯形，且，，為正三角形，，，，為正三角形；為中點，，，即二面角的正弦值為；解法二：過，分別作，，，垂足為，，，連接.由（1）易知平面平面，，平面平面，平面，平面，又平面，，又，且，平面，平面，又平面，，又，為二面角的平面角，過，，三點的截面為梯形，則，，，，，，，，即二面角的正弦值為.18．【答案】(1)(2)【分析】（1）由圖形可得每一個頂點有3個相鄰的頂點，其中兩個在同一底面，推得，再利用全概率公式可求出；（2）由題意可得，化簡變形后利用等比數(shù)列的通項公式可求出，然后利用錯位相減法可求出.【詳解】（1）由題意可得每一個頂點有3個相鄰的頂點，其中兩個在同一底面，所以當在下底面時，隨機移動一次仍在下底面的概率為，在上底面時，隨機移動一次回到下底面的概率為，因為，所以；（2）由題意可知，所以，因為，所以，所以數(shù)列是以為公比，為首項的等比數(shù)列，所以，所以，所以，令，，則，所以，所以，所以，，因為，所以【思路導(dǎo)引】此題考查全概率公式的應(yīng)用，考查等比數(shù)列求和公式，考查錯位相減法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意表示出，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力，屬于較難題.19．【答案】(1)(2)【分析】（1）取的中點，連接，即可得到，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示出（2）首先得到橢圓方程及直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達定理，表示出，，再由表示出三角形面積，最后利用基本不等式及導(dǎo)數(shù)求出面積最大值.【詳解】（1）取的中點，連接，易知是的中點，則，又，故，故．設(shè)，，由，可得，則直線的斜率．由題意得①-②得，又由，得，故，故，即，所以，即，故．（2）方法一：若，則由（1）知，則：，由（1）中Ax1,y1，B聯(lián)立，整理得，故，又因為在橢圓上，所以，因為，，所以，點A與點關(guān)于原點對稱，則點的坐標為，所以，，．易知，則，當且僅當時取等號．令，設(shè)，則，故當，，單調(diào)遞增；當，，單調(diào)遞減，故當時，取得最大值，且，故，當且僅當即時取等號，故，當且僅當時取等號，故面積的最大值為．方法二：若，則由（1）知，則：，設(shè)，則直線的斜率為，直線BC的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立，得，由（1）中A，