高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.可以表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】根據(jù)排列數(shù)的定義得可以表示為.故選：B.2.若是一個(gè)單位正交基底，且向量，，則的值為（）A. B.4 C.7 D.23【答案】A【解析】由是一個(gè)單位正交基底，得，所以.故選：A3.今有2只紅球、3只黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5只球排成一列，有（）種不同的方法.A.24 B.18 C.12 D.10【答案】D【解析】依題意，從一排的5個(gè)位置中任取2個(gè)放入2只紅球，另3個(gè)位置放入黃球即得一個(gè)排列，所以不同排法種數(shù)是.故選：D4.已知三點(diǎn)不共線，對平面外的任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】平面外的任一點(diǎn)O，點(diǎn)共面的充要條件是，且，對于A，由，得，點(diǎn)不共面，A不是；對于B，由，得，點(diǎn)不共面，B不是；對于C，由，得，點(diǎn)不共面，C不是；對于D，由，得，點(diǎn)共面，D是.故選：D5.若展開式中常數(shù)項(xiàng)為60.則常數(shù)a的值為（）A.4 B.2 C.8 D.6【答案】A【解析】展開式的通項(xiàng)為：.取得到常數(shù)項(xiàng)，解得.故選：.6.如圖，在四面體OABC中，M是棱OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N，P分別是BC，MN的中點(diǎn)．設(shè)，，，則向量可表示為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由題意，向量，故選：D7.如圖，湖面上有4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連接起來，共有（）種不同的方案.A.10 B.12 C.16 D.24【答案】C【解析】依題意，要將4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D連接起來，共有個(gè)位置可以建設(shè)橋梁，從這6個(gè)位置中選3個(gè)建設(shè)橋梁，共有種選法，但選出的3個(gè)位置可能是僅連接或或或三個(gè)小島，不合題意，所以要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連接起來，共有（種）不同的方案.故選：C8.設(shè)，則的值為（）A.128 B.-128 C. D.【答案】B【解析】依題意，的通項(xiàng)公式為，則都為負(fù)數(shù)，都為正數(shù)，因此，取，得，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分.9.已知點(diǎn)，，則（）A.為 B.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為C.點(diǎn)B到x軸的距離為5 D.直線的一個(gè)方向向量為【答案】ABC【解析】對A，由題意得，則，故A正確；對B，線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即，故B正確；對C，點(diǎn)B到x軸的距離為，故C正確；對D，因，且，則與向量不共線，故D錯誤.故選：ABC.10.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn).（）A.與平面所成角的正弦值為B.與所成角的余弦值為C.點(diǎn)到直線的距離為D.和平面的距離為【答案】BCD【解析】以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，對于A，設(shè)平面的法向量為，，設(shè)與平面所成角為所以，故A錯誤；對于B，，設(shè)與所成角為，則，故B正確；對于C，，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，故C正確；對于D，設(shè)平面的法向量為，，則，取，則，由可得平面，所以和平面的距離即為點(diǎn)到平面的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，故D正確.故選：BCD.11.由0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則（）A.其中能被5整除的數(shù)有240個(gè) B.其中偶數(shù)有312個(gè)C.其中2，4相鄰的數(shù)有192個(gè) D.其中1，3不相鄰的數(shù)有372個(gè)【答案】BC【解析】對于A，能被5整除的整數(shù)，個(gè)位為0或5，個(gè)位為0的六位數(shù)有個(gè)；個(gè)位為5的六位數(shù)有個(gè)，共有（個(gè)），A錯誤；對于B，個(gè)位為0的六位偶數(shù)有個(gè)，個(gè)位為2，4之一的六位偶數(shù)有個(gè)，共有（個(gè)），B正確；對于C，視2，4為1個(gè)數(shù)，相當(dāng)于5個(gè)元素的排列，0不能排首位，有（個(gè)），C正確；對于D，由選項(xiàng)C知，1，3相鄰的數(shù)有192個(gè)，符合條件的六位數(shù)有個(gè)，因此1，3不相鄰的數(shù)有（個(gè)），D錯誤.故選：BC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)，則.【答案】0【解析】展開式通項(xiàng)為，所以，故答案為0.13.在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)滿足：，則實(shí)數(shù)a的值為_________.【答案】【解析】由題意，所以，解得.故答案為：14.已知，，直線與曲線相切，則的最小值為_______.【答案】8【解析】設(shè)切點(diǎn)為，因，所以，得，所以，即，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取最小值，所以的最小值為8.故答案為：8.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.等比數(shù)列中的所有項(xiàng)均為整數(shù)，已知，.（1）求與前項(xiàng)和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)的和.解：（1）設(shè)的公比為，依題意得，解得或，又因?yàn)榈缺葦?shù)列中的所有項(xiàng)均為整數(shù)，則，因此，.（2）由（1）知，則所以.16.在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求展開式中的一次項(xiàng)；（2）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開式中所有的有理項(xiàng).解：（1）設(shè)該二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為，則，由題意可得：或，顯然不符題意，舍去，故.令，即含x的一次項(xiàng)為：；（2）由（1）展開式通項(xiàng)為，則，所以不滿足，所以展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（3）由（1）知二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)，由題意知，令得為展開式中所有的有理項(xiàng).17.某班一天的課表共安排6節(jié)課，上午4節(jié)，下午2節(jié)，每門學(xué)科都不重復(fù)，有7門學(xué)科可供選擇，它們分別是數(shù)學(xué)、語文、物理、化學(xué)、體育、生物、歷史.要求體育課必須安排進(jìn)課表，且不安排在上午前3節(jié)課.（1）共有多少種不同的課表?（2）若數(shù)學(xué)安排進(jìn)課表，且安排在上午，共有多少種不同的課表?（3）若數(shù)學(xué)、語文都安排進(jìn)課表，且都安排在上午，共有多少種不同的課表?解：（1）排體育課有種方法，從余下6門學(xué)科中任取5門排入課表有種方法，所以不同的課表種數(shù)是（種）.（2）數(shù)學(xué)排在前3節(jié)，有種方法；數(shù)學(xué)排在第4節(jié)，有種方法，所以不同的課表有（種）.（3）上午不排體育課，有種方法；上午排體育課，有種方法，所以不同的課表有（種）.18.如圖,直三棱柱中,是的中點(diǎn)，，.（1）求與平面所成的角大??；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.解：（1）由已知，，，則，即，又三棱柱為直三棱柱，則平面，如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，又為中點(diǎn)，所以，，易知平面的一個(gè)法向量為，則，所以直線與平面夾角的正弦值為，即直線與平面夾角為；（2）由空間直角坐標(biāo)系可知，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，所以點(diǎn)到平面的距離；（3）由空間直角坐標(biāo)系可知，又為中點(diǎn)，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，則，所以二面角的正弦值為.19.已知函數(shù)，，.（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)的最小值為，在區(qū)間上的最小值為，試比較與的大小關(guān)系；（3）若與在區(qū)間上的單調(diào)性相反，求的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，其定義域，可得，可得，即切線的斜率為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以切線方程，即.（2）由（1）知：當(dāng)時(shí)，，令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所