專題17圖形的平移，旋轉(zhuǎn)與軸對稱

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識體系。

02盤·基礎(chǔ)知識：甄選核心知識逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（3大模塊知識梳理）

知識模塊一：圖形的平移

知識模塊二：圖形的旋轉(zhuǎn)

知識模塊三：圖形的軸對稱與中心對稱

03究·考點(diǎn)考法：對考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（8大基礎(chǔ)考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：軸對稱圖形、中心對稱圖形，平移，旋轉(zhuǎn)的識別

考點(diǎn)二：利用平移的性質(zhì)求解

考點(diǎn)三：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解

考點(diǎn)四：利用軸對稱的性質(zhì)求解

考點(diǎn)五：利用中心對稱的性質(zhì)求解

考點(diǎn)六：用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱作圖

考點(diǎn)七：利用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱設(shè)計(jì)圖案

考點(diǎn)八：與坐標(biāo)系有關(guān)的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題

04破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（5大重難點(diǎn)）

重難點(diǎn)一：與三角形有關(guān)的折疊問題

重難點(diǎn)二：與特殊平行四邊形有關(guān)的折疊問題

重難點(diǎn)三：與函數(shù)圖象有關(guān)的折疊問題

重難點(diǎn)四：利用軸對稱求最值

重難點(diǎn)五：旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之線段、線段問題

05辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（2大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：判斷軸對稱圖形與中心對稱圖形時(shí)出錯(cuò)

易錯(cuò)點(diǎn)2：未對旋轉(zhuǎn)方向進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致漏解

1

知識模塊一：圖形的平移

知識點(diǎn)一：平移的定義

平移的定義：把一個(gè)圖形整體沿某一直線方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，圖形這種移動(dòng)叫做平移．它是

由移動(dòng)方向和距離決定的.

知識點(diǎn)二：平移的性質(zhì)

1）平移不改變圖形的大小、形狀，只改變圖形的位置，因此平移前后的兩個(gè)圖形全等.

2

2）平移前后對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等、對應(yīng)角相等.

3）任意兩組對應(yīng)點(diǎn)的連線平行（或在同一條直線上）且相等，對應(yīng)點(diǎn)之間的距離就是平移的距離.

知識點(diǎn)三：平移作圖的步驟

1）定：根據(jù)題目要求，確定平移的方向和距離；

2）找：找出確定圖形形狀的關(guān)鍵點(diǎn)；

3）移：過這些關(guān)鍵點(diǎn)作與平移方向平行的射線，在射線上截取與平移的距離相等的線段，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對

應(yīng)點(diǎn)；

4）連：按原圖順序依次連接各對應(yīng)點(diǎn).

【注意】確定一個(gè)圖形平移后的位置需要三個(gè)條件：①圖形原位置；②平移的方向；③平移的距離.

知識模塊二：圖形的旋轉(zhuǎn)

知識點(diǎn)一：旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ)

旋轉(zhuǎn)的概念：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向(順時(shí)針或逆時(shí)針)轉(zhuǎn)過一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)

叫旋轉(zhuǎn)．這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)過的這個(gè)角叫做旋轉(zhuǎn)角．

旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度．

知識點(diǎn)二：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

1）對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

2）每對對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；

3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．

知識點(diǎn)三：旋轉(zhuǎn)作圖的步驟

1）根據(jù)題意，確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向及旋轉(zhuǎn)角；

2）找出原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；

3）連接關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，按旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)角將它們旋轉(zhuǎn)，得到各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；

4）按原圖形依次連接對應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形．

知識模塊三：圖形的軸對稱與中心對稱

知識點(diǎn)一：軸對稱與中心對稱

類別軸對稱中心對稱

定義把一個(gè)圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另如果一個(gè)圖形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后與另一個(gè)

一個(gè)圖形重合，那么稱這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對圖形重合，我們就把這兩個(gè)圖形叫做成中心對

稱，也稱這兩個(gè)圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱稱.

3

軸.折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，也叫做對稱點(diǎn).

性質(zhì)1）對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分；1）對應(yīng)點(diǎn)的連線都經(jīng)過對稱中心，且被對稱

2）成軸對稱的兩個(gè)圖形全等；中心平分；

3）只有一條對稱軸.2）成中心對稱的兩個(gè)圖形全等；

3）只有一個(gè)對稱中心.

知識點(diǎn)二：軸對稱圖形與中心對稱圖形

類別軸對稱圖形中心對稱圖形

定義如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部如果一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后能與它

分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形就叫做軸對稱圖自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對稱圖

形.這條直線就是它的對稱軸.形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對稱中心.

性質(zhì)1）有對稱軸;1)有對稱中心;

2）將圖形沿對稱軸折疊后，對稱軸兩旁的部分完2)將圖形繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°旋轉(zhuǎn)后的圖

全重合.形能與原來的圖形重合.

考點(diǎn)一：軸對稱圖形、中心對稱圖形，平移，旋轉(zhuǎn)的識別

1．（2023·湖南郴州·中考真題）下列圖形中，能由圖形通過平移得到的是（）

?

A．B．C．D．

2．（2024·江蘇徐州·中考真題）古漢字“雷”的下列四種寫法，可以看作軸對稱圖形的是（）

A．B．C．D．

3．（2024·山西·中考真題）1949年，伴隨著新中國的誕生，中國科學(xué)院（簡稱“中科院”）成立．下列是中

4

科院部分研究所的圖標(biāo)，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）

A．山西煤炭化學(xué)研究所B．東北地理與農(nóng)業(yè)生態(tài)研究所

C．西安光學(xué)精密機(jī)械研究所D．生態(tài)環(huán)境研究中心

考點(diǎn)二：利用平移的性質(zhì)求解

4．（2024·山東東營·中考真題）如圖，將沿方向平移得到，若的周長為，

則四邊形的周長為．△?????3cm△???△???24cm

????cm

5．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，等腰中，，，將沿其底邊中

線向下平移，使的對應(yīng)點(diǎn)滿足△?，??則平移?前?后=兩??三=角2形重∠?疊?部?分=的12面0°積是△???．

''1

??????=3??

6．（2024·河北·中考真題）平面直角坐標(biāo)系中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)，且橫、縱坐標(biāo)之和大于0的

點(diǎn)稱為“和點(diǎn)”．將某“和點(diǎn)”平移，每次平移的方向取決于該點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)之和除以3所得的余數(shù)（當(dāng)余數(shù)為

0時(shí)，向右平移；當(dāng)余數(shù)為1時(shí)，向上平移；當(dāng)余數(shù)為2時(shí)，向左平移），每次平移1個(gè)單位長度．

例：“和點(diǎn)”按上述規(guī)則連續(xù)平移3次后，到達(dá)點(diǎn)，其平移過程如下：

?2,1?32,2

若“和點(diǎn)”Q按上述規(guī)則連續(xù)平移16次后，到達(dá)點(diǎn)，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（）

A．或B．或C．?16?或1,9D．或

6,17,115,?78,06,08,05,17,1

考點(diǎn)三：利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解

7．（2024·湖北·中考真題）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)是，將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)

?4,6??90°

5

的坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．

8．（42,0624·內(nèi)蒙古赤峰·中考6真,4題）如圖，中，?6,?4，?4,．?將6繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

得到，點(diǎn)與點(diǎn)B是對應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)△與?點(diǎn)??C是對?應(yīng)?點(diǎn)=．??若=點(diǎn)1恰∠?好=落7在2°BC邊△上?，??下列結(jié)論：①點(diǎn)B

''''

在旋轉(zhuǎn)△過??程?中經(jīng)過?的'路徑長是；②?；③；④?．其中正確的結(jié)論是（）

'

1''????

5???∥????=????=??

A．①②③④B．①②③C．①③④D．②④

9．（2024·山東德州·中考真題）在中，，，點(diǎn)D是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與

A，B重合），以點(diǎn)D為中心，將線△段???順時(shí)針??旋=轉(zhuǎn)??∠得??到?線=12．0°??

??120°??

(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；

(2)如圖2，連接∠???，=當(dāng)15°∠???時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？如果不變求，的度數(shù)；如

果變化，請說明?理?由；0°<∠???<90°∠???∠???

(3)如圖3，點(diǎn)M在CD上，且，以點(diǎn)C為中心，將線CM逆時(shí)針轉(zhuǎn)得到線段CN，連接

EN，若，求線段EN的?取?值:?范?圍=．3:2120°

??=4

考點(diǎn)四：利用軸對稱的性質(zhì)求解

10．（2024·甘肅臨夏·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為

，點(diǎn)在第一象限（不與點(diǎn)重合），且△???與?全等，點(diǎn)0,1的坐標(biāo)?是．4,1?

3,4??△???△????

6

11．（2024·福建·中考真題）小明用兩個(gè)全等的等腰三角形設(shè)計(jì)了一個(gè)“蝴蝶”的平面圖案．如圖，其中

與都是等腰三角形，且它們關(guān)于直線對稱，點(diǎn)，分別是底邊，的中點(diǎn)，．下△列?推??

斷錯(cuò)△誤??的?是（）?????????⊥??

A．B．

C．??⊥??D．∠???=∠???

12．?（?2=02?3·?山東泰安·中考真題）如圖，在中∠?，??+∠???=1，80點(diǎn)°D在上，點(diǎn)E在上，點(diǎn)B關(guān)

于直線的軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，△，??分?別與??相=交?于?=F1點(diǎn)6，G點(diǎn)，若??，??，

''''

則的?長?度為．?????????=8??=7,??=4

??

考點(diǎn)五：利用中心對稱的性質(zhì)求解

13．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，在正六邊形中，，點(diǎn)在邊上，且，若

經(jīng)過點(diǎn)的直線將正六邊形面積平分，則直線被正六??邊?形??所?截的線??段=長6是??．???=2

???

7

14．（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是菱形，O是兩條對角線的交點(diǎn)，過O點(diǎn)的三條直線

將菱形分成陰影和空白部分，當(dāng)菱形的兩條對角?線??的?長分別為8和15時(shí)，則陰影部分的面積

為．

15．（2024·陜西咸陽·三模）如圖，分別以平行四邊形的邊和為直角邊，向平行四邊形內(nèi)

作等腰和等腰，在的斜邊?、???的?斜?邊??上分別取點(diǎn)、，連接??、??，

四邊形Rt△?為??正方形，R若t平△行??四?邊形△???的面積為??4，△則???的面?積?為．??????

????????△???

考點(diǎn)六：用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱作圖

16．（2023·江蘇·中考真題）如圖，、、、是直線上的四點(diǎn)，，，．

???????=????=????=??

(1)求證：；

(2)點(diǎn)、△分?別?是?≌△??、?的內(nèi)心．

①用直?尺?和圓規(guī)作△出?點(diǎn)??（△保?留?作?圖痕跡，不要求寫作法）；

②連接，則與的?關(guān)系是________．

17．（2?0?23·江?蘇?宿遷??·中考真題）如圖，在中，，，．

???????=5??=32∠?=45°

8

(1)求出對角線的長；

(2)尺．規(guī)．作．圖．：將??四邊形沿著經(jīng)過點(diǎn)的某條直線翻折，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，請作出折痕．（不．

寫．作．法．，保．留．作．圖．痕．跡．）?????????

18．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）如圖，在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)

都在網(wǎng)格點(diǎn)上．△???

(1)以點(diǎn)為中心將旋轉(zhuǎn)，得到，畫出；

(2)將?向右平△移?7?個(gè)?單位1長80度°，再向△上?平?移1?1個(gè)單位△長?度?，1?得1到，畫出；

(3)連接△???，利用網(wǎng)格作出線段的中點(diǎn)．（保留作圖痕跡即可△）?2?2?2△?2?2?2

19．（2?012?42·寧夏銀川·模擬預(yù)測）?按1?下2列要求?在如圖的格點(diǎn)中作圖：

(1)作出關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的（A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，）；

(2)以點(diǎn)△C?為?位?似中心，作出放△大?兩1?倍1的?1（A，B的對應(yīng)點(diǎn)分?別1為?1，?1）．

△???△?2?2??2?2

考點(diǎn)七：利用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)、中心對稱設(shè)計(jì)圖案

20．（2023·山東棗莊·中考真題）（1）觀察分析：在一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)中，老師向同學(xué)們展示了圖①，

圖②，圖③三幅圖形，請你結(jié)合自己所學(xué)的知識，觀察圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，寫出三個(gè)圖案都具有的

兩個(gè)共同特征：___________，___________．

9

（2）動(dòng)手操作：請?jiān)趫D④中設(shè)計(jì)一個(gè)新的圖案，使其滿足你在（1）中發(fā)現(xiàn)的共同特征．

21．（2022·四川廣安·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師組織同學(xué)們設(shè)計(jì)多姿多彩的幾何圖形，下圖都是

由邊長為1的小等邊三角形構(gòu)成的網(wǎng)格，每個(gè)網(wǎng)格圖中有3個(gè)小等邊三角形已涂上陰影，請同學(xué)們在余下

的空白小等邊三角形中選取一個(gè)涂上陰影，使得4個(gè)陰影小等邊三角形組成一個(gè)軸對稱圖形或中心對稱圖

形，請畫出4種不同的設(shè)計(jì)圖形．規(guī)定：凡通過旋轉(zhuǎn)能重合的圖形視為同一種圖形）

22．（2024·四川廣安·模擬預(yù)測）如圖是在北京舉辦的世界數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)“弦圖”．請將“弦圖”中的四個(gè)

直角三角形通過你所學(xué)過的圖形變換，在以下方格紙中按要求設(shè)計(jì)另外四個(gè)不同的圖案．作圖要求：①每

個(gè)直角三角形的頂點(diǎn)均在方格紙的格點(diǎn)上，且四個(gè)三角形互不重疊；②所設(shè)計(jì)的圖案（不含方格紙）經(jīng)過

變換后與其它圖案相同的視為一種設(shè)計(jì)．

23．（2024·四川廣安·二模）如圖，網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長為1．請你認(rèn)真觀察圖1中的三個(gè)網(wǎng)格中的

黑色部分構(gòu)成的圖案，解答下列問題：

(1)這三個(gè)圖案都具有以下共同特征：都是______對稱圖形，都不是______對稱圖形；

10

(2)在圖2中選一個(gè)白色的小正方形并涂黑，使圖2中黑色部分是軸對稱圖形；

(3)請?jiān)趫D3中設(shè)計(jì)出一個(gè)面積為4的圖案，且具備（1）中的特征（不與圖1中所給圖案相同）．

考點(diǎn)八：與坐標(biāo)系有關(guān)的對稱、平移、旋轉(zhuǎn)問題

24．（2024·山東淄博·中考真題）如圖，已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，將線段平移得

到線段．若點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)是，則點(diǎn)的?對應(yīng)?點(diǎn)的坐標(biāo)是??3,1．??1,3??

????1,2??

25．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，過點(diǎn)作軸的垂

線，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的最小值??為?．?3,0?0,2??

?????????+??

26．（2024·湖北·中考真題）平面坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，則

點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）?????4,6???90°

'

??

A．B．C．D．

27．（4,62024·江蘇常州·中考真6,題4）如圖，在平面直角?坐4,標(biāo)?系6中，正方形?6,?4的對角線、相交于原

點(diǎn)O．若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是．???????????

2,1

11

重難點(diǎn)一：與三角形有關(guān)的折疊問題

1．（2023·浙江紹興·中考真題）如圖，在紙片中，，點(diǎn)，分別在邊上，

且，將沿折疊，使點(diǎn)A落在△邊???上的點(diǎn)∠?F=處9，0則°,∠?=60°（）????,??

??=??△?????????:??=

A．B．C．D．

2．（3:22024·四川·中考真題）如3:圖2，中，23:3，，4:3，折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)B

重合，折痕與交于點(diǎn)D，與Rt交△于?點(diǎn)??E，則∠?=的9長0為°??=8．??=4△???

????????

3．（2023·江蘇徐州·中考真題）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上．將

沿折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接，則Rt△?的?最?小值∠為?=90°,?．?=??=3???△???

'''

????????

12

重難點(diǎn)二：與特殊平行四邊形有關(guān)的折疊問題

1．（2024·江蘇徐州·中考真題）如圖，將矩形紙片沿邊折疊，使點(diǎn)在邊中點(diǎn)處．若

，，則．????????????=

4??=6??=

2．（2023·江蘇南京·中考真題）如圖，在菱形紙片中，點(diǎn)E在邊上，將紙片沿折疊，點(diǎn)B

落在處，，垂足為F若，????，則????

'''

???⊥????=4cm??=1cm??=cm

3．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點(diǎn)A

的對應(yīng)點(diǎn)P落在邊上，點(diǎn)B的對?應(yīng)??點(diǎn)?為點(diǎn)G，交于點(diǎn)H??．????????

??????

(1)如圖1，求證：；

(2)如圖2，當(dāng)P為△?的??中∽點(diǎn)△，???，時(shí)，求的長；

(3)如圖3，連接?，?當(dāng)P，H分??別=為2，??=的3中點(diǎn)時(shí)，??探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

??????????

重難點(diǎn)三：與函數(shù)圖象有關(guān)的折疊問題

1．（2024·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸相交于，

2

兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），頂點(diǎn)為，連接．?=?2?+??+???1,0

????2,???

13

(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)如圖1，若是軸正半軸上一點(diǎn)，連接．當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，求證：；

1

????,???0,2∠???=∠???

(3)如圖2，連接，將沿軸折疊，折疊后點(diǎn)落在第四象限的點(diǎn)處，過點(diǎn)的直線與線段相

''

交于點(diǎn)，與軸?負(fù)?半軸相△交??于?點(diǎn)?．當(dāng)時(shí)，?與是否相?等？請說明?理由．??

??8'

?????=73?△???2?△???

2．（2024·天津·中考真題）將一個(gè)平行四邊形紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，點(diǎn)，

點(diǎn)在第一象限，且．?????0,0?3,0

°

?,???=2,∠???=60

(1)填空：如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；

(2)若為軸的①正半軸上?一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作直線?軸，沿直線折疊該紙片，折疊后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在軸

'

的正半?軸?上，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為．設(shè)?．?⊥?????

'

如圖，若直?線與邊相?交于點(diǎn)??，=當(dāng)?折疊后四邊形與重疊部分為五邊形時(shí)，與

''''

①相交于點(diǎn)②．試用含?有的?式?子表示線段?的長，并直接寫?出??的?取值?范??圍?；?????

設(shè)折疊?后重疊部分的?面積為，當(dāng)??時(shí)，求的取值?范圍（直接寫出結(jié)果即可）．

211

②?3≤?≤4?

3．（2024·廣東·中考真題）【問題背景】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，D是直線上

第一象限內(nèi)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以線段為對角線作矩形，軸．反比例函數(shù)?=??的?>圖0象經(jīng)

?

??>??????????∥??=?

過點(diǎn)A．

【構(gòu)建聯(lián)系】（1）求證：函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)C．

?

?=?

（2）如圖2，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E落在y軸上，且點(diǎn)B的坐標(biāo)為時(shí)，

求k的值．??????1,2

14

【深入探究】（3）如圖3，把矩形沿折疊，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為E．當(dāng)點(diǎn)E，A重合時(shí)，連接交

于點(diǎn)P．以點(diǎn)O為圓心，長為半?徑?作???．?若，當(dāng)與的邊有交點(diǎn)時(shí)，求k的?取?值?范?

圍．??⊙???=32⊙?△???

重難點(diǎn)四：利用軸對稱求最值

1．（2022·山東德州·中考真題）如圖，正方形的邊長為6，點(diǎn)在上，，點(diǎn)是對角線

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（）?????????=2???

??+??

A．B．C．D．

2．（620224·山東煙臺·中考真3題5）如圖，在2中，13，4，13．E為邊的中點(diǎn)，F(xiàn)

為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將沿翻折得?????，連∠接?=1，20°，??則=8??面=積1的0最小值為??．

''''

??△?????△???????△???

3．（2023·遼寧盤錦·中考真題）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)（不

與點(diǎn)A，D重合），連接，．點(diǎn)M，N分??別??是，?的?中=點(diǎn)，10連接??=，42，，點(diǎn)?E?在邊上，

，則的最??小值?是?（）????????????

??∥????+??

15

A．B．3C．D．

233242

重難點(diǎn)五：旋轉(zhuǎn)或軸對稱綜合題之線段、面積問題

1．（2023·湖北隨州·中考真題）1643年，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出一個(gè)著名的幾何問題：給定不在同一條直

線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C，求平面上到這三個(gè)點(diǎn)的距離之和最小的點(diǎn)的位置，意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里

拆利給出了分析和證明，該點(diǎn)也被稱為“費(fèi)馬點(diǎn)”或“托里拆利點(diǎn)”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題．

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補(bǔ)充以下推理過程：（其中處從“直角”和“等邊”中選擇填空，

處從“兩點(diǎn)之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空①，處填寫角度數(shù)，處填寫該三

②角形的某個(gè)頂點(diǎn)）③④

當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，

如圖△?1?，?將繞，點(diǎn)C順12時(shí)0針°旋轉(zhuǎn)得到，連接，

'''

△???60°△?????

由，，可知為三角形，故，又，故

'''''''

??=??∠?，??=60°△???①??=????=????+??+??=??+

''

?由?+??可≥知，??當(dāng)B，P，，A在同一條直線上時(shí)，取最小值，如圖2，最小值為，此時(shí)的

''

P點(diǎn)②為該三角形的“費(fèi)馬點(diǎn)?”，且有??+??+??；??

已知當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等∠于???=時(shí)∠，??“?費(fèi)=馬∠點(diǎn)?”?為?該=三③角形的某個(gè)頂點(diǎn)．如圖3，若，

則該三角△形??的?“費(fèi)馬點(diǎn)”為點(diǎn)．120°∠???≥120°

(2)如圖4，在中，三④個(gè)內(nèi)角均小于，且，，，已知點(diǎn)P為的“費(fèi)

馬點(diǎn)”，求△???的值；120°??=3??=4∠???=30°△???

??+??+??

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(3)如圖5，設(shè)村莊A，B，C的連線構(gòu)成一個(gè)三角形，且已知km，km，．現(xiàn)欲

建一中轉(zhuǎn)站P沿直線向A，B，C三個(gè)村莊鋪設(shè)電纜，已知由?中?轉(zhuǎn)=站4P到村??莊=A2，B3，C的∠鋪??設(shè)?成=本60分°別為a

元/km，a元/km，元/km，選取合適的P的位置，可以使總的鋪設(shè)成本最低為___________元．（結(jié)果用

含a的式子表示）2?

2．（2023·吉林松原·二模）如圖所示，在Rt中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出

發(fā)以每秒2個(gè)單位長度的速度沿向終點(diǎn)B△運(yùn)?動(dòng)?，?當(dāng)點(diǎn)?P?不=與8點(diǎn)∠A??，?B=重9合0°時(shí)，∠?作=60°，邊

交折線于點(diǎn)D，點(diǎn)A關(guān)于?直?線的對稱點(diǎn)為