單調(diào)性的題目及答案1.題目：判斷函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間(-∞,+∞)上的單調(diào)性，并求出其單調(diào)區(qū)間。答案：首先，我們需要求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。對(duì)f(x)=x^3-3x求導(dǎo)得到：f'(x)=3x^2-3。接下來，我們需要找出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。令f'(x)=0，解得：3x^2-3=0x^2=1x=±1因此，我們得到了兩個(gè)臨界點(diǎn)x=-1和x=1。接下來，我們需要檢查這兩個(gè)臨界點(diǎn)將定義域分成的三個(gè)區(qū)間：(-∞,-1)，(-1,1)，(1,+∞)。在區(qū)間(-∞,-1)上，取x=-2，代入f'(x)得到：f'(-2)=3(-2)^2-3=9>0由于f'(x)>0，函數(shù)在區(qū)間(-∞,-1)上單調(diào)遞增。在區(qū)間(-1,1)上，取x=0，代入f'(x)得到：f'(0)=3(0)^2-3=-3<0由于f'(x)<0，函數(shù)在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減。在區(qū)間(1,+∞)上，取x=2，代入f'(x)得到：f'(2)=3(2)^2-3=9>0由于f'(x)>0，函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增。綜上所述，函數(shù)f(x)=x^3-3x在區(qū)間(-∞,-1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)遞減。2.題目：判斷函數(shù)f(x)=2x^2-4x+3的單調(diào)性，并求出其單調(diào)區(qū)間。答案：首先，我們需要求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。對(duì)f(x)=2x^2-4x+3求導(dǎo)得到：f'(x)=4x-4。接下來，我們需要找出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。令f'(x)=0，解得：4x-4=0x=1因此，我們得到了一個(gè)臨界點(diǎn)x=1。接下來，我們需要檢查這個(gè)臨界點(diǎn)將定義域分成的兩個(gè)區(qū)間：(-∞,1)和(1,+∞)。在區(qū)間(-∞,1)上，取x=0，代入f'(x)得到：f'(0)=4(0)-4=-4<0由于f'(x)<0，函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減。在區(qū)間(1,+∞)上，取x=2，代入f'(x)得到：f'(2)=4(2)-4=4>0由于f'(x)>0，函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增。綜上所述，函數(shù)f(x)=2x^2-4x+3在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增。3.題目：判斷函數(shù)f(x)=e^x-x^2的單調(diào)性，并求出其單調(diào)區(qū)間。答案：首先，我們需要求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。對(duì)f(x)=e^x-x^2求導(dǎo)得到：f'(x)=e^x-2x。接下來，我們需要找出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。令f'(x)=0，解得：e^x-2x=0這個(gè)方程沒有顯式的解，但我們可以通過分析f'(x)的符號(hào)來確定函數(shù)的單調(diào)性。當(dāng)x<0時(shí)，e^x<1，而-2x>0，所以f'(x)>0，函數(shù)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增。當(dāng)x>0時(shí)，e^x>1，而-2x<0，所以f'(x)的符號(hào)取決于e^x和2x的大小關(guān)系。我們可以通過進(jìn)一步分析來確定單調(diào)區(qū)間。令g(x)=e^x-2x，求g'(x)：g'(x)=e^x-2。令g'(x)=0，解得：e^x-2=0x=ln(2)當(dāng)0<x<ln(2)時(shí)，g'(x)<0，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,ln(2))上單調(diào)遞減。由于g(0)=1>0，g(ln(2))=0，所以在區(qū)間(0,ln(2))上，g(x)>0，即f'(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,ln(2))上單調(diào)遞增。當(dāng)x>ln(2)時(shí)，g'(x)>0，函數(shù)g(x)在區(qū)間(ln(2),+∞)上單調(diào)遞增。由于g(ln(2))=0，所以在區(qū)間(ln(2),+∞)上，g(x)>0，即f'(x)>0，函數(shù)f(x)在區(qū)間(ln(2),+∞)上單調(diào)遞增。綜上所述，函數(shù)f(x)=e^x-x^2在區(qū)間(-∞,0)和(ln(2),+∞)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,ln(2))上單調(diào)遞減。4.題目：判斷函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1的單調(diào)性，并求出其單調(diào)區(qū)間。答案：首先，我們需要求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。對(duì)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1求導(dǎo)得到：f'(x)=4x^3-12x^2+12x-4。接下來，我們需要找出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。令f'(x)=0，解得：4x^3-12x^2+12x-4=0x^3-3x^2+3x-1=0這個(gè)方程可以分解為：(x-1)^3=0因此，我們得到了一個(gè)臨界點(diǎn)x=1。接下來，我們需要檢查這個(gè)臨界點(diǎn)將定義域分成的兩個(gè)區(qū)間：(-∞,1)和(1,+∞)。在區(qū)間(-∞,1)上，取x=0，代入f'(x)得到：f'(0)=4(0)^3-12(0)^2+12(0)-4=-4<0由于f'(x)<0，函數(shù)在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減。在區(qū)間(1,+∞)上，取x=2，代入f'(x)得到：f'(2)=4(2)^3-12(2)^2+12(2)-4=4>0由于f'(x)>0，函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增。綜上所述，函數(shù)f(x)=x^4-4x^3+6x^2-4x+1在區(qū)間(-∞,1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增。5.題目：判斷函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的單調(diào)性，并求出其單調(diào)區(qū)間。答案：首先，我們需要求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。對(duì)f(x)=sin(x)+cos(x)求導(dǎo)得到：f'(x)=cos(x)-sin(x)。接下來，我們需要找出導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)，以確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。令f'(x)=0，解得：cos(x)-sin(x)=0cos(x)=sin(x)tan(x)=1這個(gè)方程的解為：x=kπ+π/4，其中k為整數(shù)。因此，我們得到了一系列的臨界點(diǎn)x=kπ+π/4。接下來，我們需要檢查這些臨界點(diǎn)將定義域分成的區(qū)間。在區(qū)間(kπ-π/4,kπ+π/4)上，取x=kπ，代入f'(x)得到：f'(kπ)=cos(kπ)-sin(kπ)=(-1)^k>0由于f'(x)>0，函數(shù)在區(qū)間(kπ-π/4,kπ+π/4)上單調(diào)遞增。在區(qū)間(kπ+π/4,(k+1)π-π/4)上，取x=(k+1/2)π，代入f'(x)得到：f'((k+1/2)π)=cos((k+1/2)π)-sin((k+1/2)π)=