初中初中2025年廣東省深圳市中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)《相似三角形》部分重難點(diǎn)專項(xiàng)練習(xí)一、單選題1．（2025·廣東深圳·一模）已知，，，成比例線段．若，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線，分別交直線m，n于點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)．若，，則的長(zhǎng)為（

）A．4 B．5 C．6 D．103．（2025·廣東深圳·一模）兩千四百多年前，我國(guó)學(xué)者墨子就在《墨經(jīng)》中記載了小孔成像實(shí)驗(yàn)的做法與成因，茗茗同學(xué)從中得到啟發(fā)，在活動(dòng)課上做“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，他認(rèn)為小孔成像是光在均勻介質(zhì)中沿直線傳播形成的一種物理現(xiàn)象，也可以利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決隱藏在其中的問(wèn)題．如圖，若，，蠟燭火焰倒立像，則下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（

）A．蠟燭火焰和蠟燭火焰倒立像可以看成是位似圖形B．C．蠟燭火焰長(zhǎng)D．線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)的連線不一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)O4．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，已知，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接，若，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C．3 D．55．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，為上一點(diǎn)，若，，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2024·廣東深圳·三模）如圖，中，，，，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)在外部作，連接，若，則長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．7．（2024·廣東深圳·三模）黃金分割比被稱之為比例之王，在藝術(shù)創(chuàng)作和建筑設(shè)計(jì)上有很多例子．不過(guò)，事實(shí)上黃金分割符合的是西方美學(xué)，而東方美學(xué)更鐘愛(ài)于白銀分割．其中愛(ài)國(guó)品牌紅旗汽車的設(shè)計(jì)中應(yīng)用了白銀分割（圖；福州華林寺大殿——現(xiàn)存最古老木構(gòu)建筑物中也大量運(yùn)用了白銀比例．東方人之所以喜歡白銀分割比，因?yàn)樵谌粘Ｉ钪须S處都可以見(jiàn)到白銀分割的身影，比如常用到的紙，對(duì)折后得到兩個(gè)全等的紙、紙折疊后得到兩個(gè)全等的紙等等（圖，紙，紙、紙等的長(zhǎng)與寬的比都等于白銀比，這樣的矩形稱為白銀矩形．如圖3，若菱形的邊長(zhǎng)與高之比為白銀比，則稱這個(gè)菱形為白銀菱形，以白銀菱形作為平面鑲嵌圖形從而構(gòu)造出具有對(duì)稱美的圖形，則這個(gè)矩形地毯的長(zhǎng)寬比為A． B． C． D．8．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在菱形中，，E是對(duì)角線上一點(diǎn)，連接，作交邊于點(diǎn)F，若，則的值為（

）A． B． C． D．9．（2024·廣東深圳·三模）如圖，在等腰中，，，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，是上兩動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A．8 B． C． D．1010．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在四邊形中，，，是線段上一點(diǎn)(不與點(diǎn)重合)，，連接，交于點(diǎn)，則的最小值是（

）

A． B． C． D．11．（2024·廣東深圳·三模）如圖，中，，，，點(diǎn)P是上一動(dòng)點(diǎn)，于D，于E，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的最小值為（）A． B． C． D．12．（2024·廣東深圳·一模）如圖，在正方形中，是等邊三角形，，的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接，，與相交于點(diǎn)H．給出下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結(jié)論有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題13．（2025·廣東深圳·一模）若，其中，則的值為．14．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在中，，，D為上一點(diǎn)，且滿足，過(guò)D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則．15．（2025·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）在等腰中，，D是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若，，則的值為．16．（2022·廣東深圳·中考真題）已知是直角三角形，連接以為底作直角三角形且是邊上的一點(diǎn)，連接和且則長(zhǎng)為．

17．（2025·廣東深圳·一模）在菱形中，，將沿翻折至，，的延長(zhǎng)線分別交于，兩點(diǎn)，若，則的值為．18．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在菱形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，交于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，已知，，，則=．19．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）如圖，菱形中，點(diǎn)分別在邊，上，，，若，，則．20．（2023·廣東深圳·三模）如圖，在中，，邊上有一點(diǎn)，使，點(diǎn)是線段的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，，且，若，，則的長(zhǎng)為．

三、解答題21．（2024·廣東深圳·中考真題）垂中平行四邊形的定義如下：在平行四邊形中，過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作關(guān)于不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的對(duì)角線的垂線交平行四邊形的一條邊，若交點(diǎn)是這條邊的中點(diǎn)，則該平行四邊形是“垂中平行四邊形”．(1)如圖1所示，四邊形為“垂中平行四邊形”，，，則________；________；(2)如圖2，若四邊形為“垂中平行四邊形”，且，猜想與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)①如圖3所示，在中，，，交于點(diǎn)，請(qǐng)畫出以為邊的垂中平行四邊形，要求：點(diǎn)在垂中平行四邊形的一條邊上（溫馨提示：不限作圖工具）；②若關(guān)于直線對(duì)稱得到，連接，作射線交①中所畫平行四邊形的邊于點(diǎn)，連接，請(qǐng)直接寫出的值．22．（2023·廣東深圳·中考真題）（1）如圖，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，連接，①若，過(guò)作交于點(diǎn)，求證：；②若時(shí)，則______．

（2）如圖，在菱形中，，過(guò)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作交于點(diǎn)，若時(shí)，求的值．

（3）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)為上一點(diǎn)，連接，過(guò)作交平行四邊形的邊于點(diǎn)，若時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．

23．（2022·廣東深圳·中考真題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①所示，在正方形中，為邊上一點(diǎn)，將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)．求證：（2）【類比遷移】如圖②，在矩形中，為邊上一點(diǎn)，且將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)延長(zhǎng)交邊于點(diǎn)且求的長(zhǎng)．（3）【拓展應(yīng)用】如圖③，在菱形中，，為邊上的三等分點(diǎn)，將沿翻折得到，直線交于點(diǎn)求的長(zhǎng)．24．（2025·廣東深圳·一模）【問(wèn)題背景】：如圖1，在矩形中，，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交于點(diǎn)F．【實(shí)驗(yàn)探究】：（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明在圖1中發(fā)現(xiàn)；將圖1中的繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接，，如圖2所示，發(fā)現(xiàn)；（2）小亮同學(xué)繼續(xù)將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，連接，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置，請(qǐng)問(wèn)探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說(shuō)明理由；【拓展延伸】：（3）在以上探究中，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點(diǎn)共線時(shí)，的長(zhǎng)為．25．（2025·廣東深圳·一模）為響應(yīng)國(guó)家節(jié)能減排的號(hào)召，廣東新農(nóng)村建設(shè)把主要村道道路上安裝了太陽(yáng)能路燈．如圖（a）所示是行人在某村村道路燈下的影子，圖（b）是該村村道上安裝的兩盞高度不同的太陽(yáng)能路燈的示意圖，其中電線桿的高度為，電線桿的高度為，的長(zhǎng)為．身高的聰聰同學(xué)（）在兩盞路燈之間走動(dòng)，他在B，D兩盞路燈下形成的影長(zhǎng)分別記作和．（A，E，C，M，N在同一直線上，電線桿和人均垂直于地面）(1)請(qǐng)?jiān)趫D（b）中畫出聰聰同學(xué)在路燈D照射下形成的影長(zhǎng)；(2)當(dāng)聰聰同學(xué)站在兩盞路燈的中間（即E為的中點(diǎn)）時(shí)，請(qǐng)求出影長(zhǎng)；(3)若影長(zhǎng)端點(diǎn)N處有一個(gè)竹竿，它在路燈B的照射下其影長(zhǎng)端點(diǎn)恰好與點(diǎn)M重合，同時(shí)影長(zhǎng)端點(diǎn)M處也有一個(gè)竹竿，它在路燈D的照射下其影長(zhǎng)端點(diǎn)恰好與點(diǎn)N重合．（竹竿，均垂直于地面）請(qǐng)回答下列問(wèn)題：①設(shè)的長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為_(kāi)______（請(qǐng)用含有x的代數(shù)式來(lái)表示）；②請(qǐng)判斷的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．26．（2025·廣東深圳·一模）如圖，在菱形中，，，點(diǎn)，分別在邊，上，連接，．(1)如圖（），若，分別是邊，的中點(diǎn)，連接，則______(2)當(dāng)時(shí)，請(qǐng)回答下列問(wèn)題：①如圖（），求的值；②如圖（），若平分時(shí)，求的值；③如圖（），若時(shí)，求的值．27．（2025·廣東深圳·一模）綜合與探究在正方形中，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接．(1)【探索發(fā)現(xiàn)】如圖1，過(guò)點(diǎn)作，求證：；(2)【類比探究】如圖2，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求此時(shí)的長(zhǎng)度與的面積；(3)【拓展延伸】如圖3，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，將沿翻折得到，交于點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段的最小值．28．（2025·廣東深圳·三模）【問(wèn)題提出】（1）如圖，在矩形中，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，若，求證：；【遷移應(yīng)用】（2）如圖，在中，，，點(diǎn)，分別是邊，上的點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且，求的值；【拓展提高】（3）如圖，在四邊形中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，，，，請(qǐng)直接寫出的值．29．（2025·廣東深圳·一模）（1）如圖1，在正方形中，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，①與之間的數(shù)量關(guān)系為．②G，H分別是中點(diǎn)，連接，請(qǐng)證明：．（2）如圖2，在矩形中，，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，G，H分別是中點(diǎn)，連接，已知，求的長(zhǎng)．（3）如圖3，在平行四邊形中，，E為邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，G，H分別是中點(diǎn)，連接，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．30．（2023·廣東深圳·三模）【問(wèn)題】（1）如圖1，四邊形是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則與的數(shù)量關(guān)系是，與的位置關(guān)系是；（2）如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，【探究】①如圖2，以為邊在的右側(cè)作矩形，且，連接、，求證：；【拓展】②如圖3，以為邊在的右側(cè)作正方形，連接、，則面積的最小值為．參考答案題號(hào)12345678910答案BCDABABDBC題號(hào)1112答案DC1．B【分析】本題考查成比例線段，解題的關(guān)鍵是掌握：若四條線段，，，成比例，則（或），是有順序的，位置不能隨意顛倒．據(jù)此列式解答即可．【詳解】解：∵，，，成比例線段，且，，，∴，即，∴．故選：B．2．C【分析】本題主要考查了平行線分線段成比例定理，利用平行線分線段成比例定理列出比例式解答即可．【詳解】解：，，∵，∴，，．故選：C．3．D【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意可得，從而可得，然后證明，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】解：蠟燭火焰和蠟燭火焰倒立像可以看成是位似圖形，A選項(xiàng)正確；由題意得：，∴，∵，∴，B選項(xiàng)正確；∴，∴，解得：，∴蠟燭火焰長(zhǎng)，C選項(xiàng)正確；線段的中點(diǎn)與線段的中點(diǎn)的連線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)O，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．4．A【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，作于，則，由平行可得，結(jié)合可得，則，由勾股定理得到，再由平行得到，代入計(jì)算即可．【詳解】∵矩形中，已知，∴，，，，作于，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，又，∴，∴，∴，∴,∴，∵，∴,∴，∴，解得，故選：A．5．B【分析】本題考查了相似的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)，證明推出，，得到和，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)，．，，，，．，，．設(shè)，，，，．，，．，，，．故選：B．6．A【分析】本題主要考查判斷圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)已知求得，即可判定A、B、C和D四點(diǎn)共圓，且以中點(diǎn)為圓心，連接，求得，，進(jìn)一步可證明，有，設(shè)，則，求得x和y，再證明，有，即可求得．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴A、B、C和D四點(diǎn)共圓，且以中點(diǎn)為圓心，連接，如圖，∵，，，∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，則，解得，∵，∴，∴，即，解得，故選：A．7．B【詳解】解：由題意得，白銀矩形四邊形白銀矩形四邊形，，即，，，，（負(fù)值舍去）即白銀矩形的長(zhǎng)與寬的比為．如下圖，作于點(diǎn),于，于，在上截取,連接,由題可知：,,,,,同理可得,,,,,,,設(shè),,,,,故選：．【點(diǎn)睛】本題考查的時(shí)候相似多邊形的性質(zhì)、平面鑲嵌（密鋪）、菱形的判定與性質(zhì)、翻折變換（折疊問(wèn)題）、比例的性質(zhì)、黃金分割，解決本題的關(guān)鍵是理解白銀矩形的定義．8．D【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)推出，，判定，是等邊三角形，得到，，求出，而，得到，即可證明，推出，令，則，得出，得到，即可求出答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，，∴，是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴令，則，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故選：D．9．B【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，連接，首先解得，，結(jié)合，可得，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可解得，進(jìn)而證明四邊形為平行四邊形，可得；作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，故當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，取最小值，最小值等于的長(zhǎng)度，結(jié)合三角函數(shù)和勾股定理分別解得，，，的值，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得的值，證明，由相似三角形的性質(zhì)解得，進(jìn)而可得，理由勾股定理分別解得，的值，即可獲得答案．【詳解】解：如下圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于，連接，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，由對(duì)稱的性質(zhì)可得，∴，∴當(dāng)點(diǎn)在同一直線上時(shí)，取最小值，最小值等于的長(zhǎng)度，∵為的中點(diǎn)，∴∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴在中，，∴，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，∵，，∴，∴，即，解得，∴，∴在和中，，，∴∴的最小值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，正確作出輔助線，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．10．C【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)，垂線段最短，作于點(diǎn)，證明，得到，即得，推導(dǎo)出是等邊三角形，得到，，由得，即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：作于點(diǎn)，則，

∵，，∴是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，故選：．11．D【分析】根據(jù)可以確定A，D，P，E四點(diǎn)共圓，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理確定，進(jìn)而確定當(dāng)時(shí)，線段取得最小值，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和圓周角定理的推論確定，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)可，設(shè)，根據(jù)等角對(duì)等邊和勾股定理表示出和，根據(jù)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，圓周角定理和勾股定理表示出，最后代入比例式中計(jì)算即可．【詳解】解：∵于D，于E，∴，∴，∴A、D、P、E四點(diǎn)共圓，且直徑為，∵，是定值，所以直徑最小時(shí)，所對(duì)的弦最小，此時(shí)，在中，∴是等腰直角三角形，，∴也是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，設(shè)，則，，則，∵，∴，過(guò)D作于M，∴，，∴，∴，由勾股定理得：，∴，∴，則線段的最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查確定圓的條件，圓周角定理及其推論，勾股定理，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，含的直角三角形，正確確定何時(shí)取得最小值是解題關(guān)鍵．12．C【分析】由是等邊三角形，得，而，故①正確；由，，可判定②正確；過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，則，，可推出，，則，判定③正確；由可得，進(jìn)而得到，得到，又因?yàn)椴皇侵悬c(diǎn)，故，可判定④錯(cuò)誤；由，得，則，可判定⑤錯(cuò)誤．【詳解】解：為等邊三角形，，，四邊形是正方形，，，又，，，，，，在中，，，又，，故①正確；，，，，故②正確；過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作于，由題意可得，，，，，故③正確；，，，又與同高，，又，不是中點(diǎn)，，，故④錯(cuò)誤；，，，，，又，，，故⑤錯(cuò)誤，綜上所述：正確的結(jié)論有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．13．10【分析】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)合比的性質(zhì)得，進(jìn)而可得．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故答案為：10．14．【分析】本題考查了解直角三角形、勾股定理，平行線分線段成比例，先設(shè)，根據(jù)，，得出再分別用勾股定理求出，故，再運(yùn)用解直角三角形得出，，代入，化簡(jiǎn)即可作答．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作垂足為H,∵，，設(shè)，∴，∵，，∴，∵，∴，解得∴，，∴，，∴，過(guò)點(diǎn)C作垂足為M，∴，，∵,，∴，∴，故答案為：．15．【分析】過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，由正切函數(shù)得，設(shè)，，利用勾股定理分別求出，，，則，再求出，則，，，進(jìn)而得，，根據(jù)得，設(shè)，，則，，由正切函數(shù)，，即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)E作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如圖所示：，在中，，∴設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，，∴，設(shè)，，，，在中，，在中，，，，，，，∴，解得：，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，正切函數(shù)，勾股定理，掌握似三角形的判定及性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能構(gòu)建相似三角形，并能熟練利用正切函數(shù)和勾股定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．16．【分析】將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，利用證明，得，，則，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線段，連接，HE，

是等腰直角三角形，∴∠HBD=45°∵∠FBD=45°∴點(diǎn)B、F、H共線又是等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形．17．【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)以及解直角三角形分別求出，，，再結(jié)合勾股定理得，因?yàn)檎郫B，得，，，，運(yùn)用勾股定理得出，，，，再證明，運(yùn)用兩個(gè)相似三角形的高的比等于相似比列式化簡(jiǎn)，即可作答．【詳解】解：分別過(guò)點(diǎn)，作的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線，且過(guò)F作分別交于點(diǎn)，如圖所示：∵四邊形是菱形，∴，，，∵∴，設(shè)，∴在中，，即，∴，∵，的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線，∴，∵，∴∴在中，，，即，，∴，，在中，，則，∵將沿翻折至，，的延長(zhǎng)線分別交于，兩點(diǎn)，∴，，，，∴，即，∴，解得，∴∴，∴，∵，∴，即，∴，∴，則，∴，∴，∵，∴，∴（兩個(gè)相似三角形的高的比等于相似比），故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，難度大，綜合性強(qiáng)，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．18．【分析】過(guò)點(diǎn)作交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在上截取，連接，由四邊形是菱形，則，，再由旋轉(zhuǎn)可得，，從而證明是等邊三角形，然后由等邊三角形的性質(zhì)可得∴，，從而，最后由平行線分線段成比例即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作交、的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在上截取，連接，∵四邊形是菱形，∴，，，由旋轉(zhuǎn)可得，，∴，∴，又∵，∴，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，∴，，∴，，∴DP=2，∵，，∴四邊形是平行四邊形，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，平行線分線段成比例，菱形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．19．【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連接．證明，得出．設(shè)，則，，，，由，根據(jù)余弦定義可得，利用相似三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得出，然后代入數(shù)值求解即可．【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，連接．，，菱形，，，，，，，，，．設(shè)，則，，，，，，，，，，，解得，，．故答案為：11．20．【分析】過(guò)作交于，設(shè)，則，，由勾股定理得到：，即可求出的長(zhǎng)，由等腰直角三角形的性質(zhì)求出的長(zhǎng)，由平行線等分線段定理得到的長(zhǎng)，由，得到，代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：過(guò)作交于，

設(shè)，則，，∵，∴，∴，∴（舍去負(fù)值），∴，∴，∵，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是由勾股定理求出CD的長(zhǎng)；通過(guò)作輔助線構(gòu)造相似三角形．21．(1)，(2)，理由見(jiàn)解析(3)①見(jiàn)解析；②或．【分析】（1）根據(jù)題意可推出，得到，從而推出，再根據(jù)勾股定理可求得，再求得；（2）根據(jù)題意可推出，得到，設(shè)，則，，再利用勾股定理得到，從而推出、，即可求得答案；（3）①分情況討論，第一種情況，作的平行線，使，連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)；第二種情況，作的平分線，取交的平分線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在射線上取，連接；第三種情況，作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，作的垂直平分線；在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，連接；②根據(jù)①中的三種情況討論：第一種情況，根據(jù)題意可證得是等腰三角形，作，則，可推出，從而推出，計(jì)算可得，最后利用勾股定理即可求得；第二種情況，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，同理可得是等腰三角形，連接，可由，結(jié)合三線合一推出，從而推出，同第一種情況即可求得；第三種情況無(wú)交點(diǎn)，不符合題意．【詳解】（1）解：，為的中點(diǎn)，，，，，，，即，解得，，；故答案為：1；；（2）解：，理由如下：根據(jù)題意，在垂中四邊形中，，且為的中點(diǎn)，，；又，，；設(shè)，則，，，，，，，，；（3）解：①第一種情況：作的平行線，使，連接，則四邊形為平行四邊形；延長(zhǎng)交于點(diǎn)，，，，，，，即，為的中點(diǎn)；故如圖1所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第二種情況：作的平分線，取交的平分線于點(diǎn)，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，在射線上取，連接，故為的中點(diǎn)；同理可證明：，則，則四邊形是平行四邊形；故如圖2所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：第三種情況：作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，作的垂直平分線；在延長(zhǎng)線上取點(diǎn)F，使，連接，則為的中點(diǎn)，同理可證明，從而，故四邊形是平行四邊形；故如圖3所示，四邊形即為所求的垂中平行四邊形：②若按照?qǐng)D1作圖，由題意可知，，四邊形是平行四邊形，，，是等腰三角形；過(guò)P作于H，則，，，，，，；,，，，即

∴若按照?qǐng)D2作圖，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，同理可得：是等腰三角形，連接，，，，，；同理，，，，，，即，

，若按照?qǐng)D3作圖，則：沒(méi)有交點(diǎn)，不存在PE（不符合題意）故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了垂中平行四邊形的定義，平行四邊形的性質(zhì)與判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，尺規(guī)作圖，等腰三角形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)，讀懂題意并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（1）①見(jiàn)解析；②；（2）；（3）或或【分析】（1）①根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而證明結(jié)合已知條件，即可證明；②由①可得，，證明，得出，根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，，根據(jù)已知條件得出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解；（3）分三種情況討論，①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，解，進(jìn)而得出，根據(jù)，得出，建立方程解方程即可求解；②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，則，四邊形是平行四邊形，同理證明，根據(jù)得出，建立方程，解方程即可求解；③當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，求得，而，得出矛盾，則此情況不存在．【詳解】解：（1）①∵四邊形是矩形，則，∴，又∵，∴，，∴，又∵，∴；②由①可得，∴∴，又∵∴,故答案為：．（2）∵在菱形中，，∴，，則，∵，∴，∵∴，∴，∵，∴,又，∴，∴，∴；（3）①當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平行四邊形中，，，∴，,∵，∴∴，∴∴在中，，則，，∴∴，∵，∴∴∴∴設(shè)，則，，，∴解得：或，即或，②當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，

連接，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，則，四邊形是平行四邊形，設(shè)，則，，∵∴∴，∴∴，∵∴過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，∴，，∴，則，∴，∴，，∴∴，即，∴即解得：（舍去）即；③當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖所示，

過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，在中，，，∴，∵，∴，∵，∴點(diǎn)不可能在邊上，綜上所述，的長(zhǎng)為或或．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關(guān)鍵．23．（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）的長(zhǎng)為或【分析】（1）根據(jù)將沿翻折到處，四邊形是正方形，得，，即得，可證；（2）延長(zhǎng)，交于，設(shè)，在中，有，得，，由，得，，，而，，可得，即，，設(shè)，則，因，有，即解得的長(zhǎng)為；（3）分兩種情況：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，設(shè)，，則，，由是的角平分線，有①，在中，②，可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，同理解得，．【詳解】證明：（1）將沿翻折到處，四邊形是正方形，，，，，，；（2）解：延長(zhǎng)，交于，如圖：設(shè)，在中，，，解得，，，，，，即，，，，，，，，即，，設(shè)，則，，，，即，解得，的長(zhǎng)為；（3）（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于，過(guò)作于，如圖：設(shè)，，則，，，，，沿翻折得到，，，，是的角平分線，，即①，，，，，在中，，②，聯(lián)立①②可解得，；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于，過(guò)作交延長(zhǎng)線于，如圖：同理，，即，由得：，可解得，，綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，涉及全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形角平分線的性質(zhì)，勾股定理及應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是方程思想的應(yīng)用．24．（1）；；（2）結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析；（3）或【分析】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類討論思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．（1）通過(guò)證明，可得，即可求解；（2）通過(guò)證明，即得，可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，先求出，的長(zhǎng)，用（2）的結(jié)論即可求解．【詳解】解：（1）如圖：，，，如圖2：繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，，，，故答案為：；（2）結(jié)論仍然成立，理由如下：如圖，繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，，，，；（3）當(dāng)點(diǎn)E在的上方時(shí)，如圖：，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn)，，，，，D、E、F三點(diǎn)共線，，，，由（2）可得：，，；當(dāng)點(diǎn)E在AB的下方時(shí)，如圖：同理可求：，故答案為：或．25．(1)見(jiàn)解析(2)(3)①或；②是，【分析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用．（1）連接并延長(zhǎng)交與點(diǎn)N即可．（2）先得出，，由相似三角形的性質(zhì)得出，，分別求出和，最后根據(jù)代入計(jì)算即可．（3）①根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)，由（2）可知，，由全等三角形的性質(zhì)得出，，再根據(jù)，進(jìn)而可得出，再證明，即可由全等三角形的性質(zhì)得出．②方法一：根據(jù)，直接計(jì)算即可．方法二：證明，，由相似三角形的性質(zhì)得出，，進(jìn)而可得出，然后求解即可．【詳解】（1）解：圖中線段為所求．（2）解：當(dāng)米時(shí)，∵，∴，，，，即，，解得：，，∴．（3）解：①根據(jù)題意畫出圖形：設(shè)，由（2）可知，，，，即，，解得：，，∴，，∵，∴，解得：，∵，∴，∴，即，整理得：或，②方法一：同①可求得，∵，∴，，，，．方法二：∵，∴，，∴，，∴，，，，∴．26．(1)(2)①；②；③【分析】（1）連接、相交于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)得，，，，進(jìn)而得，由勾股定理得，從而，再根據(jù)三角形的中位線判定及性質(zhì)即可得解．（2）①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，從而，利用勾股定理即可得解；②將延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，由角平分線的定義得，又根據(jù)菱形性質(zhì)得，進(jìn)而得，，，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得解；③延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，由①可得：設(shè)，則，．證利用相似三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得，，于是，利用勾股定理即可得解．【詳解】（1）解：如圖，連接、相交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，，，∴，，，，∴，∴，∴，∵，分別是邊，的中點(diǎn)，∴，故答案為：；（2）解：①過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵，∴∴由勾股定理可得：，；②將延長(zhǎng)交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，∴，∵平分∴，∵四邊形是菱形，∴，∴∴，∴，∴∵，∴，∴．③延長(zhǎng)與延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，過(guò)作于點(diǎn)，由①可得：∵，∴設(shè)，∴，∴∴．∵四邊項(xiàng)是菱形，∴，∴∴∴即∴∴解得，∵，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形函數(shù)解直角三角形，勾股定理，菱形的性質(zhì)，度直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握三角形函數(shù)解直角三角形，勾股定理，菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．(1)見(jiàn)解析(2)當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，(3)【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)，結(jié)合相似三角形的判定即可證明；（2）由正方形和直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)是等腰三角形得出或，則分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形三線合一性質(zhì)以及三角形的面積公式分別求解即可；（3）連接交于點(diǎn)K，交于點(diǎn)L，由翻折的性質(zhì)得，，，得出是的垂直平分線，同理（2）的方法證出，，得到，，，，設(shè)，利用相似三角形的性質(zhì)表示出的長(zhǎng)，進(jìn)而得出，結(jié)合的范圍即可求出線段的最小值．【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，，，，，，，，又，．（2）解：四邊形是正方形，，，，，，在中，，，為等腰三角形，或；①當(dāng)時(shí)，如圖，作于點(diǎn)H，，，，，，，，，，即，又，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，即，，，是等腰直角三角形，，，三點(diǎn)共線，點(diǎn)和點(diǎn)重合，；②當(dāng)時(shí)，如圖，作于點(diǎn)H，，，，，，由①中的結(jié)論得，，又，，，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，，，，，，，即，解得：，；綜上所述，當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，．（3）解：如圖，連接交于點(diǎn)K，交于點(diǎn)L，由翻折的性質(zhì)得，，，是的垂直平分線，，，，同理（2）的方法可得，，，，，，，設(shè)，則，，由（2）得，，，，，，，，，，，，，又，，，又，當(dāng)時(shí)，有最大值20，此時(shí)有最小值，線段的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理與翻折問(wèn)題、全等三角形的性質(zhì)與判定、二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，學(xué)會(huì)結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．本題屬于幾何綜合題，需要較強(qiáng)的幾何知識(shí)儲(chǔ)備和輔助線構(gòu)造能力，適合有能力解決幾何難題的學(xué)生．28．（）見(jiàn)解析；（）；（）【分析】（）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，求得，得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，求得；（）根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，，根