高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由題意知：，所以，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2.若隨機(jī)變量，且，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5【答案】B【解析】由隨機(jī)變量，根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可知：，因，可得，再根據(jù)正態(tài)分布曲線的對(duì)稱性可知：，所以，故選：B.3.若拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為4，則的值為（）A.1 B.2 C.4 D.8【答案】C【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則有，解得.故選：C.4.已知，，若是的充分不必要條件，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】命題，即，因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，顯然當(dāng)時(shí)滿足，所以當(dāng)時(shí)恒成立，則在上恒成立，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以.故選：A5.展開式中的系數(shù)為（）A B. C. D.【答案】C【解析】現(xiàn)有8個(gè)相乘，從每個(gè)中三項(xiàng)各取一項(xiàng)相乘時(shí)，若結(jié)果為的常數(shù)倍，則所取的8項(xiàng)中有4個(gè)，2個(gè)，2個(gè).所以，總的選取方法數(shù)目就是.每個(gè)這樣選取后相乘結(jié)果都是，即給系數(shù)的貢獻(xiàn)總是，所以的系數(shù)就是全部的選取數(shù).故選：C.6.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若為圖象的一條對(duì)稱軸，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意得：，又因?yàn)槭堑囊粭l對(duì)稱軸，所以，即，下面結(jié)合選項(xiàng)對(duì)整數(shù)k取值（顯然k取負(fù)整數(shù)）：時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.故選：B.7.在中，交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題可建立如圖所示坐標(biāo)系：由圖可得：，又，故直線的方程：，可得，所以，故選：C.8.歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù)，且與互質(zhì)的正整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如.已知，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若恒成立，則的最小值為（）A. B.1 C. D.2【答案】A【解析】因?yàn)?為質(zhì)數(shù)，在不超過(guò)的正整數(shù)中，所有能被3整除的正整數(shù)的個(gè)數(shù)為，，所以，則，所以，，，兩式相減可得：，所以，因?yàn)?，所以在在單調(diào)遞增，所以恒成立，所以，所以的最小值為.故選：A.二、選擇題9.已知函數(shù)，則（）A.是奇函數(shù) B.的最小正周期為C.的最小值為 D.在上單調(diào)遞增【答案】AC【解析】對(duì)于A，函數(shù)定義域?yàn)?，有，所以是奇函?shù)，A正確；對(duì)于B，有，所以，這表明不是的周期，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，我們有，而之前已計(jì)算得到，故的最小值為，C正確；對(duì)于D，由于，，故，所以在上并不是單調(diào)遞增的，D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知雙曲線的離心率為，過(guò)其右焦點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.的最小值為C.若滿足的直線恰有一條，則D.若滿足的直線恰有三條，則【答案】ACD【解析】A：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，故A正確；B：當(dāng)過(guò)其右焦點(diǎn)的直線與交于左右兩支時(shí)，的最小值為，（此時(shí)為雙曲線的兩頂點(diǎn)）當(dāng)過(guò)其右焦點(diǎn)的直線與交于同一支時(shí)，最短弦長(zhǎng)為通徑，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，代入雙曲線方程為，解得，此時(shí)弦長(zhǎng)為，由于不一定等于，故B錯(cuò)誤；C：若滿足的直線恰有一條，由選項(xiàng)B可知直線與雙曲線的兩支分別相交，與同一支不相交，所以，此時(shí)，故C正確；D：若滿足的直線恰有三條，則該直線與雙曲線的兩支分別相交，且有兩條直線與雙曲線的同一支相交，所以，所以，又，所以，故D正確；故選：ACD.11.如圖，在直三棱柱中，，分別為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，，，則（）A.存在使得B.存在使得平面C.若長(zhǎng)度為定值，則時(shí)三棱錐體積最大D.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的余弦值的最小值為【答案】BCD【解析】如圖，由題意可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則由題：，所以，，，，又，，，所以，即，，即，所以，對(duì)A，由上，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由題意是平面的一個(gè)法向量，，故當(dāng)時(shí)，此時(shí)平面，故B正確；對(duì)C，由上，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，所以，取，則，設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，則由得，又由題意可知，故，因?yàn)殚L(zhǎng)度為定值，所以為定值，故當(dāng)時(shí)，三棱錐體積最大，故C正確；對(duì)D，設(shè)直線與所成角為，由上當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立，故D對(duì).故選：BCD.三、填空題12.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值為______．【答案】1或2【解析】因?yàn)榧?，若，所以，所以或或或，或或或或，解得：或或或或或或或，?dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足；當(dāng)時(shí)，，不滿足；綜上：實(shí)數(shù)的值為1或2.故答案為：1或2.13.在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，且，則面積的最大值為______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以由余弦定理，得，所以，又，則，所以由余弦定理以及基本不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即面積的最大值為，故答案為：.14.當(dāng)時(shí)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．【答案】【解析】令，則，由，故，即，即“”是“當(dāng)時(shí)，”的必要條件，當(dāng)時(shí)，令，則，故在上單調(diào)遞增，即，即，則有，令，則，故在上單調(diào)遞增，即，即，則有，即有，令，則，由，，故，即在上單調(diào)遞增，則有，即，故“”是“當(dāng)時(shí)，”的充分條件，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：.四、解答題15.已知是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)的公差為，由題意知，即，即有，因?yàn)椋傻?，，所以；?）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)之和為，偶數(shù)項(xiàng)之和為，則，，所以．16.ChatGPT是AI技術(shù)驅(qū)動(dòng)的自然語(yǔ)言處理工具，引領(lǐng)了人工智能的新一輪創(chuàng)新浪潮.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解使用ChatGPT人群中年齡與是否喜歡該程序的關(guān)系，從某社區(qū)使用過(guò)該程序的人群中隨機(jī)抽取了200名居民進(jìn)行調(diào)查，并依據(jù)年齡樣本數(shù)據(jù)繪制了如下頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)年齡樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)：（2）將年齡不超過(guò)（1）中分位數(shù)的居民視為青年居民，否則視為非青年居民.（i）完成下列列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為年齡與是否喜歡該程序有關(guān)聯(lián)？

青年非青年合計(jì)喜歡

20

不喜歡60

合計(jì)

200（ii）按照等比例分層抽樣的方式從樣本中隨機(jī)抽取8名居民.若從選定的這8名居民中隨機(jī)抽取4名居民做進(jìn)一步調(diào)查，求這4名居民中至少有3人為青年居民的概率.參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）由頻率分布直方圖可知，年齡在40歲以下的居民所占比例為，年齡在50歲以下的居民所占比例為，所以分位數(shù)位于內(nèi)，由，所以，樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為45；（2）（i）由題知，列聯(lián)表為：青年非青年合計(jì)喜歡9020110不喜歡603090合計(jì)15050200根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得：所以，有的把握認(rèn)為年齡與是否喜歡該程序有關(guān)聯(lián)；（ii）按照分層抽樣，青年居民應(yīng)抽取人，非青年居民應(yīng)抽取2人．設(shè)從中隨機(jī)抽取的4名居民中為青年居民的人數(shù)為，，，所以，所以，這4名居民中至少有3人為青年居民的概率為．17.如圖，在三棱錐中，，為的中點(diǎn)，為內(nèi)部一點(diǎn)且平面．（1）證明：平面；（2）若，求二面角的余弦值．（1）證明：連接，取中點(diǎn)，連接．因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，平面，所以．所以，在中，，同理，因?yàn)?，所以．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)?，且在同一平面?nèi)，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．又因?yàn)?，平面，所以平面平面．因?yàn)槠矫?，所以平面．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以以及與垂直向上的方向?yàn)檩S的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．在直角中，因?yàn)?，所以，在中，，所以，又，所以．設(shè)面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，所以．設(shè)面的一個(gè)法向量，則，即，取，則，所以．設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則，所以二面角的余弦值為．18.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題可知，，且在定義域上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，令，則，所以時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在恒成立，單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?，所以，又，所以，即，故時(shí)，恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，所以，從而．將兩邊同時(shí)取以為底的對(duì)數(shù)可得整理可得．令，則，且在上單調(diào)遞增，因?yàn)榍?，所以在上恒成立，所以恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以，所以，又因?yàn)?，所以?9.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且不垂直于坐標(biāo)軸的直線交于兩點(diǎn)，在兩點(diǎn)處的切線交于點(diǎn)．（1）求證：點(diǎn)在定直線上，并求出該直線方程；（2）設(shè)點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，且，求的最小值．（1）證明：由題意可知，，所以，所以橢圓方程