2026版步步高大一輪高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)講義第二章§2.10指、對(duì)、冪的大小比較§2.10指、對(duì)、冪的大小比較重點(diǎn)解讀函數(shù)“比大小”是非常經(jīng)典的題型，難度不定，方法無常，很受命題者的青睞.每年高考基本都會(huì)出現(xiàn)，難度逐年上升.高考命題中，常常在選擇題中出現(xiàn)，往往將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等混在一起，進(jìn)行排序.這類問題的解法可以從代數(shù)和幾何方面加以探尋，即利用函數(shù)的性質(zhì)與圖象解答.題型一直接法比較大小命題點(diǎn)1利用函數(shù)的性質(zhì)例1(2024·鄂爾多斯模擬)已知a=0.734，b=log834，A.b<a<c B.a<c<bC.b<c<a D.a<b<c命題點(diǎn)2找中間值例2設(shè)a=0.20.5，b=log53，c=50.2，則a，b，c的大小關(guān)系是()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.c<a<b命題點(diǎn)3特殊值法例3已知a>b>1，0<c<12A.ac<bc B.abc<bacC.alogbc<blogac D.logac<logbc思維升華利用特殊值作“中間量”在指數(shù)、對(duì)數(shù)中通常可優(yōu)先選擇“-1，0，12，1”對(duì)所比較的數(shù)進(jìn)行劃分，然后再進(jìn)行比較，有時(shí)可以簡化比較的步驟，也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對(duì)所比較的數(shù)的值進(jìn)行估計(jì)，例如log23，可知1=log22<log23<log24=2，進(jìn)而可估計(jì)log23是一個(gè)1~2之間的小數(shù)，從而便于比較跟蹤訓(xùn)練1(1)(2024·寧河模擬)設(shè)a=2-0.5，b=120.3，c=log0.50.3，則a，b，A.c<b<a B.a<b<cC.b<a<c D.c<a<b(2)(2025·天津模擬)設(shè)a=log2π，b=log12π，c=πA.a>b>c B.b>a>cC.a>c>b D.c>b>a題型二利用指數(shù)、對(duì)數(shù)及冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡比較大小命題點(diǎn)1作差法例4設(shè)a=log62，b=log123，c=log405，則()A.a<b<c B.b<a<cC.c<a<b D.a<c<b命題點(diǎn)2作商法例5(2025·成都模擬)若a=3-14，b=32-13，c=logA.a>b>c B.b>c>aC.c>a>b D.c>b>a命題點(diǎn)3乘方法例6已知a=log35，b=log57，c=43A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.a>c>b思維升華求同存異法比較大小如果兩個(gè)指數(shù)或?qū)?shù)的底數(shù)相同，則可通過真數(shù)的大小與指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)或?qū)?shù)的大小關(guān)系，要熟練運(yùn)用指數(shù)、對(duì)數(shù)公式、性質(zhì)，盡量將比較的對(duì)象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的形式.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知正數(shù)a，b，c滿足2024a=2025，2025b=2024，ec=2，下列說法正確的是()A.logac>logbcB.logca>logcbC.ac<bcD.ca<cb(2)若a=4log232，b=log14A.a>b>c B.b>c>aC.c>b>a D.a>c>b答案精析例1A[由于y=0.7x是R上的減函數(shù)，則0<0.734<0.70=1，所以0<由于y=log8x是(0，+∞)上的增函數(shù)，則log834<log81=0，所以b<0由于y=4x是R上的增函數(shù)，則434>40=1，所以c所以b<a<c.]例2A[0<a=0.20.5=55<2.521>b=log53>log5512=c=50.2>50=1，所以a<b<c.]例3C[取特殊值，令a=4，b=2，c=14則ac=414，bc=214，∴ac>babc=4×214=294，bac=2×∴abc>bac，故B錯(cuò)誤；logac=log414=-1，logbc=log214alogbc=-8，blogac=-2，∴alogbc<blogac，logac>logbc，故C正確，D錯(cuò)誤.]跟蹤訓(xùn)練1(1)B[因?yàn)閍=2-0.5，b=120.3=2-0.易知函數(shù)y=2x在R上是增函數(shù)，又-0.5<-0.3<0，所以a<b<20=1，又易知y=log0.5x在(0，+∞)上是減函數(shù)，所以c=log0.50.3>log0.50.5=1，綜上，a<b<c.](2)C[依題意，a=log2π>log22=1，b=log12π<log121=0，0<c=π-2<π0=1，所以a>例4D[∵1b=log312=1+log3=1+lg4=1+2lg2lg3，1=1+log58=1+lg8=1+3lg2lg5∴1b-1c=2lg2=2lg2=lg2(2lg5-3lg3)=lg2(lg25-lg27)lg3×∴1b<1又b>0，c>0，∴b>c；∵1c=1+log58<1+log5=1+log5532=52，∴c∵1a=log26=1+log23>1+log2=1+log2232=52，∴a∴a<c.∴a<c<b.]例5D[因?yàn)?<a=3-14<30<b=32-13令ab=3-14=3112×而3112×2-13=3×2-4=316<1即3112×2-13<1又因?yàn)閏=log1225=log12410>log12例6D[因?yàn)?3=125>(343)3所以log35>log3343=43，即因?yàn)?3=343<(54所以7<54所以log57<log5543=43，即所以a>c>b.]跟蹤訓(xùn)練2(1)D[∵2024a=2025，2025b=2024，ec=2，∴a=log20242025>1，b=log20252024<1，c=ln2<1，∴a>1，0<b<1，0<c<1，∴l(xiāng)ogac<0，logbc>0，∴l(xiāng)ogac<logbc，故A錯(cuò)誤；∵0<c<1，a>b，∴l(xiāng)ogca<logcb，ac>bc，ca<cb，故B，C錯(cuò)誤，D正確.](2)A[a=4log232=22logb=log147=1-log142=1-ln2ln14，c=log126=1-log122=1-ln2因?yàn)?log142=log1424=log1416>1，則log142>14所以1-log142<1-14=34，即b<而ln2>0，ln14>ln12>0，所以ln2ln14<ln2所以1-ln2ln14>1-ln2ln12，即b>綜上，a>b>c.]§2.11函數(shù)的圖象課標(biāo)要求1.在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).2.會(huì)畫簡單的函數(shù)圖象.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程解的個(gè)數(shù)與不等式解的問題.1.利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象的步驟：、、.

2.利用圖象變換法作函數(shù)的圖象(1)平移變換(2)對(duì)稱變換①y=f(x)y=.

②y=f(x)y=.

③y=f(x)y=.

④y=ax(a>0，且a≠1)y=.

(3)翻折變換①y=f(x)y=.

②y=f(x)y=.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y=|f(x)|為偶函數(shù).()(2)函數(shù)y=f(1-x)的圖象，可由y=f(-x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度得到.()(3)當(dāng)x∈(0，+∞)時(shí)，函數(shù)y=|f(x)|與y=f(|x|)的圖象相同.()(4)函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱即函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.()2.函數(shù)y=21-x的大致圖象為()3.函數(shù)f(x)=-x4.函數(shù)y=f(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，再把y=f(x)的圖象向右平移1個(gè)單位長度后得到函數(shù)y=g(x)的圖象，則g(x)=.

謹(jǐn)記三個(gè)圖象變換的注意點(diǎn)(1)“左加右減”只針對(duì)x本身，與x的系數(shù)沒有關(guān)系，如從y=f(-2x)的圖象到y(tǒng)=f(-2x+1)的圖象是向右平移12個(gè)單位長度，即將x變成x-1(2)“上加下減”只針對(duì)函數(shù)值f(x).(3)對(duì)稱變換的對(duì)稱是指兩個(gè)函數(shù)的圖象特征，而與奇偶性有關(guān)的對(duì)稱，是指一個(gè)函數(shù)圖象自身的特征.題型一作函數(shù)的圖象例1作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y=2x(2)y=|x2-4x-5|；(3)y=12x思維升華函數(shù)圖象的常見畫法及注意事項(xiàng)(1)直接法：對(duì)于熟悉的基本函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點(diǎn)，直接作圖.(2)轉(zhuǎn)化法：含有絕對(duì)值符號(hào)的，去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)來畫.(3)圖象變換法：若函數(shù)圖象可由某個(gè)基本函數(shù)的圖象經(jīng)過平移、伸縮、翻折、對(duì)稱得到，則可利用圖象變換作圖.(4)畫函數(shù)的圖象一定要注意定義域.跟蹤訓(xùn)練1作出下列各函數(shù)的圖象：(1)y=x2-2|x|-3；(2)y=|log2(x+1)|.題型二函數(shù)圖象的識(shí)別例2(1)函數(shù)f(x)=21+ex(2)已知某函數(shù)圖象如圖所示，則該函數(shù)解析式可能為()A.f(x)=ln|x|-1B.f(x)=ln|x|+1C.f(x)=1x+ln|xD.f(x)=1x-ln|x思維升華識(shí)別函數(shù)的圖象的主要方法(1)利用函數(shù)的性質(zhì)，如奇偶性、單調(diào)性、定義域等判斷.(2)利用函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)等判斷.(3)利用特殊函數(shù)值判斷.跟蹤訓(xùn)練2(1)函數(shù)f(x)=ln|x|·(2)已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式可能為()A.f(x)=ex-e-xB.f(x)=1-2C.f(x)=xxD.f(x)=x題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用命題點(diǎn)1利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)例3(多選)對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，定義min{a，b}=a，a≤b，b，a>b，若f(x)=2-x2，g(x)=x2，下列關(guān)于函數(shù)FA.函數(shù)F(x)是偶函數(shù)B.方程F(x)=0有三個(gè)解C.函數(shù)F(x)在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞增D.函數(shù)F(x)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間命題點(diǎn)2利用圖象解不等式例4已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)在[0，+∞)上的圖象如圖所示，則不等式x2f(x)>2f(x)的解集為()A.(-2，0)∪(2，2)B.(-∞，-2)∪(2，+∞)C.(-∞，-2)∪(-2，0)∪(2，2)D.(-2，-2)∪(0，2)∪(2，+∞)命題點(diǎn)3利用圖象求參數(shù)的取值范圍例5已知函數(shù)f(x)=sinπx，0≤x≤1，log2024x，x>1，若實(shí)數(shù)a，b，c互不相等，且f(a)=f(b思維升華當(dāng)不等式問題不能用代數(shù)法求解或用代數(shù)法求解比較困難，但其對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象可作出時(shí)，常將不等式問題轉(zhuǎn)化為圖象的位置關(guān)系問題，從而利用數(shù)形結(jié)合思想求解.跟蹤訓(xùn)練3(1)把函數(shù)f(x)=ln|x-a|的圖象向左平移2個(gè)單位長度，所得函數(shù)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，則a的最大值為()A.1 B.2 C.3 D.4(2)已知f(x)=x2+2x+3，x≤0，1+lnx，x>0，若存在x1<x2<x3使得f(x1)=f(x2答案精析落實(shí)主干知識(shí)1.列表描點(diǎn)連線2.(1)f(x)+kf(x+h)f(x-h)f(x)-k(2)①-f(x)②f(-x)③-f(-x)④logax(a>0，且a≠1)(3)①|(zhì)f(x)|②f(|x|)自主診斷1.(1)×(2)√(3)×(4)×2.A3.D4.e-x+1探究核心題型例1解(1)原函數(shù)解析式可化為y=2+1x-1，故函數(shù)圖象可由函數(shù)y=1x的圖象向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移(2)y=|x2-4x-5|的圖象可由函數(shù)y=x2-4x-5的圖象保留x軸上方的部分不變，將x軸下方的部分翻折到x軸上方得到，如圖所示.(3)y=12x-1|-1，其圖象可看作由函數(shù)y=12而y=12x=12x，x≥0，2x，則y=12x-1跟蹤訓(xùn)練1解(1)y=x2-2|x|-3=x2-2(2)y=|log2(x+1)|，其圖象可由y=log2x的圖象向左平移1個(gè)單位長度，再保留x軸上方部分不變，將x軸下方部分翻折到x軸上方得到，如圖所示.例2(1)B[依題意，函數(shù)f(x)=1-ex1+ex·cosx的定義域?yàn)镽，f(-x)=1-e-x1+e-x·cos(-x即函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，選項(xiàng)A，C不滿足；當(dāng)x∈0，π2時(shí)，1-ex1+ex<0，cosx>0，即f(x)<0(2)D[對(duì)于A，f(1)=ln1-11=-1，顯然不滿足圖象，故A對(duì)于B，f(-1)=ln|-1|+1|-1|=1對(duì)于C，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，經(jīng)檢驗(yàn)，f(x)=1x-ln|x|滿足對(duì)應(yīng)圖象，故D正確.跟蹤訓(xùn)練2(1)A[由函數(shù)f(x)=ln|x|·cosxx可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|由f(-x)=ln|-x|·cos(-x)-x=-ln|x|·cosxx=-又由f(2)=ln2·cos22<0可得C項(xiàng)不合題意，故A(2)D[根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象，知f(1)≈1，而對(duì)A選項(xiàng)，f(1)=e-e-1>2，排除A；對(duì)B選項(xiàng)，f(x)=1-2ex+1，因?yàn)閑x+1>1，則2ex+1∈(0，2)，則f(x)=1-2ex+1∈根據(jù)C選項(xiàng)的解析式，f(2)=22≈2.8，而根據(jù)函數(shù)f(x)的圖象，知f(2)≈1，排除C.]例3ABD[根據(jù)函數(shù)f(x)=