第第頁2025年北京高考數(shù)學(xué)真題試卷及答案第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1.集合,,則()A. B. C. D.2.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C.4 D.83.雙曲線的離心率為()A. B. C. D.4.為得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)()A.橫坐標(biāo)變成原來的倍,縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)變成原來的2倍,縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)變成原來的倍,橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)變成原來的3倍,橫坐標(biāo)不變5.已知是公差不為0的等差數(shù)列,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C.16 D.186.已知,,則()A. B. C. D.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?則“函數(shù)的值域?yàn)椤笔恰皩θ我?存在,使得”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件8.設(shè)函數(shù),若恒成立,且在上存在零點(diǎn),則的最小值為()A.8 B.6 C.4 D.39.在一定條件下,某人工智能大語言模型訓(xùn)練個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間(單位:小時(shí)),其中為常數(shù).在此條件下,已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí);當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加(單位:小時(shí))()A.2 B.4 C.20 D.4010.已知平面直角坐標(biāo)系中,,,設(shè),則的取值范圍是()A. B. C. D.第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分．11．拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3,則________．12．已知,則________;________．13.已知,且,,寫出滿足條件的一組________,_____________.14.某科技興趣小組通過3D打印機(jī)的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體,其中是一個(gè)平行多邊形,平面平面,平面平面,,,,若,,則該多面體的體積為_______________.15.關(guān)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù),以下說法正確的有_________.①存在在上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立;②存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立;③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個(gè);④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個(gè).三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.16.在中,,.(1)求;(2)在以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,使得存在,求的高.①;②;③面積為.

17.四棱錐中,與為等腰直角三角形,,,為的中點(diǎn).(1)為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),證明：面;(2)若面,,求與面所成角的正弦值.

18.有一道選擇題考查了一個(gè)知識點(diǎn),甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人,甲校有80人答對,乙校有75人答對,用頻率估計(jì)概率.(1)從甲校隨機(jī)抽取1人,求這個(gè)人做對該題目的概率.(2)從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人,設(shè)為做對的人數(shù),求恰有1人做對的概率以及的數(shù)學(xué)期望.(3)若甲校同學(xué)掌握這個(gè)知識點(diǎn)則有100%的概率做對該題目,乙校同學(xué)掌握這個(gè)知識點(diǎn)則有85%的概率做對該題目,未掌握該知識點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè),設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識點(diǎn)的概率為,乙校學(xué)生掌握該知識點(diǎn)的概率為,試比較與的大小(結(jié)論不要求證明)

19.已知的離心率為,橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為4.(1)求橢圓方程;(2)設(shè)為原點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),直線與直線,交于.與的面積為,,比較與的大小.

20.函數(shù)的定義域?yàn)?,,為處的切線.(1)的最大值;(2),除點(diǎn)外,曲線均在上方;(3)若時(shí),直線過且與垂直,,分別于軸的交點(diǎn)為與,求取值范圍.

21.,,從中選出個(gè)有序數(shù)對構(gòu)成一列:.相鄰兩項(xiàng)滿足:或,稱為列.(1)若列的第一項(xiàng)為,求第二項(xiàng).(2)若為列,且滿足為奇數(shù)時(shí),;為偶數(shù)時(shí),;判斷：與能否同時(shí)在中,并說明理由;(3)證明：中所有元素都不構(gòu)成列.

2025年北京高考數(shù)學(xué)真題試卷答案第一部分(選擇題共40分)一、選擇題共10小題,每小題4分,共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中,選出符合題目要求的一項(xiàng).1.集合,,則()A. B. C. D.【解析】因?yàn)?所以,故選：D.2.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C.4 D.8【解析】由可得,,所以,故選：B.3.雙曲線的離心率為()A. B. C. D.【解析】由得,,所以,,,即,,所以,故選：B.4.為得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)()A.橫坐標(biāo)變成原來的倍,縱坐標(biāo)不變B.橫坐標(biāo)變成原來的2倍,縱坐標(biāo)不變C.縱坐標(biāo)變成原來的倍,橫坐標(biāo)不變D.縱坐標(biāo)變成原來的3倍,橫坐標(biāo)不變【解析】因?yàn)?所以將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變成原來的倍,縱坐標(biāo)不變,即可得到函數(shù)的圖象,故選：A.5.已知是公差不為0的等差數(shù)列,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C.16 D.18【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,(),因?yàn)?,成等比數(shù)列,且,所以,即,解得或(舍去),所以.故選：C.6.已知,,則()A. B. C. D.【解析】對于A,當(dāng)時(shí),,故A錯(cuò)誤;對于BD,取,,此時(shí),故BD錯(cuò)誤;對于C,由基本不等式可得,故C正確.故選:C.7.已知函數(shù)的定義域?yàn)?則“函數(shù)的值域?yàn)椤笔恰皩θ我?存在,使得”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解析】若函數(shù)的值域?yàn)?則對任意,一定存在,使得取,則,充分性成立;取,,則對任意,一定存在,使得取,則,但此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?必要性不成立;所以“函數(shù)的值域?yàn)椤笔恰皩θ我?存在,使得”的充分不必要條件.故選：A.8.設(shè)函數(shù),若恒成立,且在上存在零點(diǎn),則的最小值為()A.8 B.6 C.4 D.3【解析】函數(shù),設(shè)函數(shù)的最小正周期為,由可得,所以,即;又函數(shù)在上存在零點(diǎn),且當(dāng)時(shí),,所以,即;綜上,的最小值為4.故選：C.9.在一定條件下,某人工智能大語言模型訓(xùn)練個(gè)單位的數(shù)據(jù)量所需要時(shí)間(單位:小時(shí)),其中為常數(shù).在此條件下,已知訓(xùn)練數(shù)據(jù)量從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加20小時(shí);當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加(單位:小時(shí))()A.2 B.4 C.20 D.40【解析】設(shè)當(dāng)取個(gè)單位、個(gè)單位、個(gè)單位時(shí)所需時(shí)間分別為,,由題意,因?yàn)?所以所以所以當(dāng)訓(xùn)練數(shù)據(jù)量N從個(gè)單位增加到個(gè)單位時(shí),訓(xùn)練時(shí)間增加4小時(shí).故選：B.10.已知平面直角坐標(biāo)系中,,,設(shè),則的取值范圍是()A. B. C. D.【解析】因?yàn)閨,由平方可得,,所以．,,所以,又,即所以,即,故選：D．第二部分(非選擇題共110分)二、填空題共5小題,每小題5分,共25分．11．拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3,則________．【解析】因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)到焦距的距離為,故,故,故答案為：6．12．已知,則________;________．【解析】令,則,又故令,則令,則,故故答案為：1,15.13.已知,且,,寫出滿足條件的一組________,_____________.【解析】因?yàn)?所以的終邊關(guān)于軸,且不與軸重合,故且,即,故取可滿足題設(shè)要求;故答案為：14.某科技興趣小組通過3D打印機(jī)的一個(gè)零件可以抽象為如圖所示的多面體,其中是一個(gè)平行多邊形,平面平面,平面平面,,,,若,,則該多面體的體積為_______________.【解析】先證明一個(gè)結(jié)論:如果平面平面,平面平面,平面,則.證明:設(shè),,在平面取一點(diǎn),,,在平面內(nèi)過作直線,使得,作直線,使得,因?yàn)槠矫嫫矫?,故,而,故,同理,而,,故.下面回歸問題.連接,因?yàn)榍?故,同理而,故直角梯形與直角梯形全等,故在直角梯形中,過作,垂足為則四邊形為矩形,且為以為直角的等腰直角三角形故平面平面,平面平面,平面,故平面取的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為,連接,則,同理可證平面,而平面,故平面平面,同理平面平面,而平面平面,故平面故,故四邊形為平行四邊形,故.在平面中過作,交于,連接.則四邊形為平行四邊形,且,,故,故四邊形為平行四邊形而,,,,平面故平面,故平面平面而,,,故故幾何體為直棱柱而,故,因?yàn)?故平面而平面,故平面平面在平面中過作,垂足為,同理可證平面而,故,故由對稱性可得幾何體的體積為故答案為：60.15.關(guān)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù),以下說法正確的有_________.①存在在上單調(diào)遞增的函數(shù)使得恒成立;②存在在上單調(diào)遞減的函數(shù)使得恒成立;③使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個(gè);④使得恒成立的函數(shù)存在且有無窮多個(gè).【解析】對于①,若存在上的增函數(shù),滿足,則即,故時(shí),,故,故即,矛盾,故①錯(cuò)誤;對于②,取,該函數(shù)為上的減函數(shù)且,故該函數(shù)符合,故②正確;對于③,取,,此時(shí),由可得有無窮多個(gè),故③正確;對于④,若存在,使得,令,則,但,矛盾,故滿足的函數(shù)不存在,故④錯(cuò)誤.故答案為:②③三、解答題共6小題,共85分.解答應(yīng)寫出文字說明,演算步驟或證明過程.16.在中,,.(1)求;(2)在以下三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知,使得存在,求的高.①;②;③面積為.【小問1詳解】因?yàn)?,所以由正弦定理有,解得;【小問2詳解】如圖所示,若存在,則設(shè)其邊上的高為若選①,,因?yàn)?所以,因?yàn)?這表明此時(shí)三角形有兩個(gè)鈍角,而這是不可能的,所以此時(shí)三角形不存在,故邊上的高也不存在;若選②,,由正弦定理有,解得,此時(shí),而,,,所以,可以唯一確定所以此時(shí),也可以唯一確定這表明此時(shí)三角形是存在的,且邊上的高;若選③,的面積是,則解得,由余弦定理可得可以唯一確定進(jìn)一步由余弦定理可得,也可以唯一確定,即,可以唯一確定這表明此時(shí)三角形是存在的,且邊上的高滿足:,即17.四棱錐中,與為等腰直角三角形,,,為的中點(diǎn).(1)為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),證明：面;(2)若面,,求與面所成角的正弦值.【小問1詳解】取的中點(diǎn),的中點(diǎn),連接∵與為等腰直角三角形,,不妨設(shè),,,分別為的中點(diǎn),,,,,,,,四邊形為平行四邊形,,面,面,面;【小問2詳解】面,以為原點(diǎn),所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)設(shè),則,,,,,,設(shè)面的一個(gè)法向量為取,,,設(shè)與面成的角為則即與平面成角的正弦值為.18.有一道選擇題考查了一個(gè)知識點(diǎn),甲、乙兩校各隨機(jī)抽取100人,甲校有80人答對,乙校有75人答對,用頻率估計(jì)概率.(1)從甲校隨機(jī)抽取1人,求這個(gè)人做對該題目的概率.(2)從甲、乙兩校各隨機(jī)抽取1人,設(shè)為做對的人數(shù),求恰有1人做對的概率以及的數(shù)學(xué)期望.(3)若甲校同學(xué)掌握這個(gè)知識點(diǎn)則有100%的概率做對該題目,乙校同學(xué)掌握這個(gè)知識點(diǎn)則有85%的概率做對該題目,未掌握該知識點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè),設(shè)甲校學(xué)生掌握該知識點(diǎn)的概率為,乙校學(xué)生掌握該知識點(diǎn)的概率為,試比較與的大小(結(jié)論不要求證明)【小問1詳解】用頻率估計(jì)概率,從甲校隨機(jī)抽取1人,做對題目的概率為.【小問2詳解】設(shè)為“從甲校抽取1人做對”,則,則設(shè)為“從乙校抽取1人做對”,則,則設(shè)為“恰有1人做對”,故而可取0,1,2,,故的分布列如下表：0120.050.350.6故.【小問3詳解】設(shè)為“甲校掌握該知識點(diǎn)的學(xué)生”,因?yàn)榧仔Ｕ莆者@個(gè)知識點(diǎn)則有100%的概率做對該題目,未掌握該知識點(diǎn)的同學(xué)都是從四個(gè)選項(xiàng)里面隨機(jī)選擇一個(gè),故即,故,同理有,故,故.19.已知的離心率為,橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之和為4.(1)求橢圓方程;(2)設(shè)為原點(diǎn),為橢圓上一點(diǎn),直線與直線,交于.與的面積為,,比較與的大小.【小問1詳解】由橢圓可知,,所以,又,所以,故橢圓方程為;【小問2詳解】聯(lián)立,消去得,,整理得,①,又,所以,,故①式可化簡為,即,所以,所以直線與橢圓相切,為切點(diǎn).設(shè),,易知,當(dāng)時(shí),由對稱性可知,.故設(shè),易知,聯(lián)立,解得,,聯(lián)立,解得,所以故法二：不妨設(shè),易知,當(dāng)時(shí),由對稱性可知,故設(shè),聯(lián)立,解得聯(lián)立,解得則,,又,所以,所以則tan,即,所以20.函數(shù)的定義域?yàn)?,,為處的切線.(1)的最大值;(2),除點(diǎn)外,曲線均在上方;(3)若時(shí),直線過且與垂直,,分別于軸的交點(diǎn)為與,求取值范圍.【小問1詳解】設(shè),由可得,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,所以的最大值為.【小問2詳解】因?yàn)?所以直線的方程為,即,設(shè),,由(1)可知,在上單調(diào)遞增,而,所以,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,且而當(dāng)時(shí),,所以總有,單調(diào)遞增故,從而命題得證;【小問3詳解】由可設(shè),又,所以,即因?yàn)橹本€的方程為,易知所以直線的方程為所以由(1)知,當(dāng)時(shí),,所以所以21.,,從中選出個(gè)有序數(shù)對構(gòu)成一列:.相鄰兩項(xiàng)滿足:或,稱為列.(1)若列的第一項(xiàng)為,求第二項(xiàng).(2)若為列,且滿足為奇數(shù)時(shí),;為偶數(shù)時(shí),;判斷：與能否同時(shí)在中,并說明理由;(3)證明：中所有元素都不構(gòu)成列.【小問1詳解】根據(jù)題目定義可知,或若第一項(xiàng)為,顯然或不符合題意(不在集合中),所以下一項(xiàng)是或;【小問2詳解】假設(shè)二者同時(shí)出現(xiàn)在中,由于列取反序后仍是列,故可以不妨設(shè)在之前.顯然,在列中,相鄰兩項(xiàng)的橫縱坐標(biāo)之和的奇偶性總是相反的,所以從到必定要向