商河弘德中學(xué)高中2024級(jí)高一階段性教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)（第三次）數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題共58分）注意事項(xiàng)：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不涂在答題卡上，只答在本卷上無(wú)效。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．如圖，斜二測(cè)畫(huà)法的直觀圖是，的面積為6，那么的面積為（

）A． B． C． D．3．如圖，一輛汽車(chē)在一條水平的公路上由正東向正西方向行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上（即）．行駛300m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山頂D相對(duì)公路所在平面的高度（

）.A． B．100m C． D．4．在中，，且，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形5．已知，，，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．6．已知向量滿(mǎn)足，，，則（

）A．-2 B．-1 C．1 D．27．已知三棱錐P-ABC中，PA=4，AB=AC=2，BC=6，PA⊥面ABC，則此三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．8．在中，角的對(duì)邊分別為，若，，，則此三角形（

）A．無(wú)解 B．有兩解 C．有一解 D．解的個(gè)數(shù)不確定二、多選選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．已知，為兩條不同的直線，，為兩個(gè)不同的平面，則下述正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，，、則10．某學(xué)校為了調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間的情況，隨機(jī)選取了100名學(xué)生，繪制了如圖所示頻率分布直方圖，則（

）A．B．平均數(shù)的估計(jì)值為30C．眾數(shù)的估計(jì)值為35D．這100名學(xué)生中有25名學(xué)生每天體育活動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘11．已知中，其內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c下列命題正確的有（

）A．若，則B．若，，則外接圓半徑為10C．若，則為等腰三角形D．若，，，則第Ⅱ卷（非選擇題共92分）注意事項(xiàng)：第Ⅱ卷所有題目的答案，考生必須用0.5毫米黑色簽字筆答在答題卡規(guī)定的區(qū)域內(nèi)，在區(qū)域外答題或在試卷上答題均無(wú)效。三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．從高三抽出50名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，由成績(jī)得到如圖的頻率分布直方圖，則估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)為分．13．某學(xué)校高一男生、女生的人數(shù)之比為，現(xiàn)采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法抽取90人，若樣本中男生的平均身高為171，女生的平均身高為160.2，則該校高一學(xué)生平均身高的估計(jì)值為（單位：）．14．某學(xué)校體育部有5名學(xué)生干部，其中高一2名，高二3名．從這5名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校體育活動(dòng)，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知復(fù)數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z是：①實(shí)數(shù)；②純虛數(shù)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)．16．已知向量(1)求；(2)若，求的值；(3)若與的夾角為銳角，求的取值范圍(4)求與的夾角的余弦值.17．受突如其來(lái)的新冠疫情的影響，全國(guó)各地學(xué)校都推遲2020年的春季開(kāi)學(xué)，某學(xué)?！巴Ｕn不停學(xué)”，利用云課平臺(tái)提供免費(fèi)線上課程，該學(xué)校為了解學(xué)生對(duì)線上課程的滿(mǎn)意程度，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對(duì)該線上課程評(píng)分、其頻率分布直方圖如圖.（1）求圖中a的值；（2）求評(píng)分的中位數(shù)；（3）以頻率當(dāng)作概率，若采用分層抽樣的方法，從樣本評(píng)分在和內(nèi)的學(xué)生中共抽取5人進(jìn)行測(cè)試來(lái)檢驗(yàn)他們的網(wǎng)課學(xué)習(xí)效果，再?gòu)闹羞x取2人進(jìn)行跟蹤分析，求這2人中至少一人評(píng)分在內(nèi)的概率.18．如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形，(1)求證：平面；(2)求證：直線平面；(3)求直線與平面所成角的正切值．19．的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿(mǎn)足(1)求；(2)的角平分線與交于點(diǎn)，求的最小值.數(shù)學(xué)試題答案一、選擇題（每小題5分，共8小題40分）1．C【詳解】,,故選:C.2．A【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫(huà)法還原圖形，利用面積公式可得答案.【詳解】由，則，如圖，作出還原后，則，故，所以.故選:A.3．C【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解.【詳解】由題意，而，由正弦定理可得，即，解得，注意到，從而.故選：C.4．C【分析】首先由余弦定理得，再由題干條件結(jié)合正弦定理得，故是等邊三角形.【詳解】由，得，所以；又，由正弦定理得，所以是等邊三角形.故選：C.5．A【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量投影向量公式直接計(jì)算即可.【詳解】設(shè)與的夾角為，則向量在方向上的投影向量為.故選：A.6．C【分析】根據(jù)模長(zhǎng)與數(shù)量積的關(guān)系列出得的方程，解方程組即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以，解?故選：7．C【分析】在底面中，利用余弦定理求出，得到，再由正弦定理得到的外接圓半徑，利用勾股定理，得到三棱錐外接球的半徑，得到其表面積.【詳解】∵底面中，，，，的外接圓半徑，面三棱錐外接球的半徑，所以三棱錐外接球的表面積．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查球的幾何特性，正余弦定理解三角形和求外接圓半徑，屬于簡(jiǎn)單題.8．B【分析】根據(jù)正弦定理，即可判斷.【詳解】由正弦定理可知，，即，得，因?yàn)?，所以或，所以此三角形的個(gè)數(shù)為2個(gè).故選：B9．BC【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于A，若，，則與相交、平行或異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，，則，故B正確；對(duì)于C，若，，則,若，則，故C正確；對(duì)于D，若，則，可能相交，故D錯(cuò)誤.故選:BC.10．ACD【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形面積之和為求出，再根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)及頻率分布直方圖一一判斷即可.【詳解】依題意可得，解得，故A正確；平均數(shù)的估計(jì)值為，故B錯(cuò)誤；由頻率分布直方圖可知的頻率最大，因此眾數(shù)的估計(jì)值為，故C正確；隨機(jī)選取這100名學(xué)生中體育活動(dòng)時(shí)間不低于40分鐘的人數(shù)為，故D正確；故選：ACD11．ACD【分析】利用三角形性質(zhì)和正弦定理可知A正確，利用正弦定理可知B,C的正誤，利用三角形面積公式可知D正確.【詳解】因?yàn)?，所以，由正弦定理，可得，即，A正確；由正弦定理可知，所以外接圓半徑為5，B不正確；因?yàn)?，所以，即，整理可得，即，因?yàn)闉槿切蔚膬?nèi)角，所以，即為等腰三角形，C正確；因?yàn)椋?，，所以，D正確.故選：ACD.12．【分析】利用給定的頻率分布直方圖，借助頻率估計(jì)即可.【詳解】依題意，前四個(gè)小矩形的面積之和為，前五個(gè)小矩形的面積之和為，因此分位數(shù)位于內(nèi)，，所以估計(jì)這50名學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)為分．故答案為：13．165【分析】利用平均數(shù)的求法即可得解.【詳解】依題意，設(shè)樣本中高一男生人數(shù)為，則樣本中高一女生的人數(shù)為，故，解得，則樣本中高一男生人數(shù)為，高一女生的人數(shù)為，所以樣本中高一學(xué)生平均身高為，故而該校高一學(xué)生平均身高的估計(jì)值為.故答案為：165.14．/【分析】列出所有的樣本空間以及滿(mǎn)足題意的情況數(shù)，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可得到答案.【詳解】2名高一學(xué)生干部記為：a，b；3名高二學(xué)生干部記為：，，，則樣本空間共含有10個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)事件表示“這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)”，則包含，即，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.故答案為：.15．（Ⅰ）①m=1或m=2；②m=﹣（Ⅱ）【詳解】試題分析：（I）利用復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)、純虛數(shù)的充要條件即可得出．（II）當(dāng)m=0時(shí)，z=-2+2i，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出試題解析：（Ⅰ）①當(dāng)m2﹣3m+2=0時(shí)，即m=1或m=2時(shí)，復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)．②當(dāng)時(shí)，解得，即m=﹣時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)．（Ⅱ）當(dāng)m=0時(shí)，z=﹣2+2i，∴．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義16．(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根據(jù)向量模的運(yùn)算求得正確答案.（2）根據(jù)向量平行列方程，由此求得.（3）根據(jù)向量夾角為銳角列不等式，由此求得.（4）根據(jù)向量夾角公式求得正確答案.【詳解】（1）已知，，可得.則.可得.（2），，則.因?yàn)?，所以，即，，解?（3）已知，，則，即，解得.由（2）可知，當(dāng)與共線時(shí)，所以要排除.綜上，的取值范圍是.（4），，則.，，.所以.17．（1）；（2）81.25；（3）.【分析】（1）由頻率分布直方圖各組頻率和為1列方程，即可得解；（2）由頻率分布直方圖中中位數(shù)兩側(cè)的長(zhǎng)方形面積和相等列方程，即可得解；（3）利用列舉法求出所有的基本情況數(shù)及滿(mǎn)足要求的基本情況數(shù)，再由古典概型概率公式即可得解.【詳解】（1）由題意，所以；（2）由頻率分布直方圖可得評(píng)分的中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)評(píng)分的中位數(shù)為x，則，解得，所以評(píng)分的中位數(shù)為81.25；（3）由題知評(píng)分在和內(nèi)的頻率分別為0.1和0.15，則抽取的5人中，評(píng)分在內(nèi)的為2人，評(píng)分在的有3人，記評(píng)分在內(nèi)的3位學(xué)生為a，b，c，評(píng)分在內(nèi)的2位學(xué)生為D，E，則從5人中任選2人的所有可能結(jié)果為：，，，，，，，，，，共10種；其中，這2人中至少一人評(píng)分在內(nèi)可能結(jié)果為：，，，，，，，共7種；所以這2人中至少一人評(píng)分在的概率.【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了古典概型概率的求解及運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18．(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】(1)根據(jù)線面平行的判定定理證明；(2)根據(jù)線面垂直的判定定理證明；(3)根據(jù)線面夾角的定理找到線面角，再根據(jù)直角三角形中求正切值.【詳解】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面．?）證明：因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以．?/p>