山東省煙臺市煙臺第三中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．的內(nèi)角，，的對邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．若是平面內(nèi)所有向量的一個基底，則下列四組向量中能構(gòu)成平面內(nèi)所有向量的一個基底的是（

）A． B．C． D．4．若單位向量滿足，則向量，夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．5．在中，a，b是∠A，∠B，所對的邊，已知，則的形狀是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形6．如圖，在中，，點是的中點．設(shè)，，則（

）

A． B． C． D．7．已知，則（

）．A． B． C． D．8．已知a，b，c是的三邊，若滿足，即，為直角三角形.類比此結(jié)論：若滿足時，的形狀為（

）.A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上都有可能二、多選題9．下列說法不正確的是（

）A．若，則與的方向相同或者相反B．若，為非零向量，且，則與共線C．若，則存在唯一的實數(shù)使得D．若是兩個單位向量，且，則10．在中，角所對的邊分別為，下列說法正確的有（

）A．B．若，則為銳角三角形C．若，則D．若，則為鈍角三角形11．已知為所在的平面內(nèi)一點，則下列命題正確的是（

）A．若，，則動點的軌跡經(jīng)過的內(nèi)心B．若O為平面內(nèi)任意一點，，則點為的重心C．若為的垂心，，則D．若為銳角的外心，且，則三、填空題12．已知向量，，則的最大值為．13．化簡的值為．14．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，若，且，則的值為.四、解答題15．在直角坐標系中，已知點，，，其中．（1）若，求的值；（2）設(shè)點，求的最大值．16．已知向量，．（1）若向量與垂直，求k的值；（2）若向量，、對應(yīng)的點分別是A、B、C，且三點共線，求k的值；（3）若向量與的夾角為銳角，求k的取值范圍．17．已知在中，．（1）求的大小；（2）若角的角平分線交邊于點，，的周長為15，求的長．18．已知向量，，函數(shù)．（1）求的解析式和當時在方向上的投影向量；（2）已知中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，，，求的邊上的中線長；（3）若，，求．19．法國著名軍事家拿破侖?波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點”，如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為，其中，且.以為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為.

(1)求角；(2)求周長的最大值；(3)若的面積為，求的面積.

參考答案1．【答案】A【詳解】解：因為，由正弦定理，即，解得.故選A2．【答案】D【詳解】解：∵，∴，故選D3．【答案】D【詳解】對于A選項，，所以共線，不能作為基底；對于B選項，，所以共線，不能作為基底；對于C選項，，所以共線，不能作為基底；對于D選項，易知不共線，可以作為基底.故選D.4．【答案】A【解析】將平方可得，再利用向量夾角公式可求出.【詳解】是單位向量，，

，，即，即，解得，則向量夾角的余弦值為.故選A.5．【答案】D【詳解】在中，由及正弦定理，得，則，而，因此或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.故選D6．【答案】A【詳解】由題意在中，，點是的中點，故，故選A7．【答案】B【詳解】因為，而，因此，則，所以.故選B8．【答案】A【詳解】易知角最大，故,由，故為銳角三角形，故選A.9．【答案】CD【詳解】對于A中，若，則與的方向相同或相反，所以A正確；對于B中，由為非零向量，表示與方向相同的單位向量，表示與方向相同的單位相同，因為，所以與共線，所以B正確；對于C中，當，且為非零向量時，此時不存在，所以C錯誤；對于D中，由，可得，所以，所以D錯誤．故選CD．10．【答案】ACD【詳解】對于A，在中，作于D，則,即，即，A正確；對于B，由得，結(jié)合，可知A為銳角，但不能確定B，C角的大小，故不能確定為銳角三角形，B錯誤；對于C，若，由正弦定理可得，則，C正確；對于D，若，由于，則A為銳角；若B為銳角，則，可得，則，故為鈍角三角形；若B為鈍角，則，可得，則，適合題意，此時為鈍角三角形；綜合以上可知為鈍角三角形，D正確，故選ACD11．【答案】BCD【詳解】對于A選項，設(shè)中點為，如圖，則，，所以P點軌跡經(jīng)過三角形的重心，故A不正確；對于B選項，，可得，即，所以點為的重心,故B正確；對于C選項，因為，，又因為為的垂心，所以，所以，故正確；對于D選項，因為且，所以，整理得：，即，設(shè)為中點，則，所以三點共線，如圖，又因為，所以垂直平分，故，正確.故選BCD.12．【答案】【詳解】因為，所以，所以，又，所以，所以當，即時，取得最大值且.13．【答案】【詳解】.14．【答案】/【詳解】解：中，，所以，因為，所以，解得；所以，因為為三角形內(nèi)角，所以所以.15．【答案】（1）；（2）4.【詳解】（1）依題意，，由，得，所以.（2）依題意，，因此，當時，，因此當時，取得最大值，所以的最大值為4.16．【答案】（1）；（2）或；（3）.【詳解】（1）依題意，，，由向量與垂直，得，所以．（2）依題意，，，由（1）得，，由共線，得，則，解得或，所以或.（3）由（1），，由向量與的夾角為銳角，得，且與不共線，則且，解得且，所以k的取值范圍是.17．【答案】（1）（2）【詳解】（1）因為，由正弦定理可得，即，又，所以，所以，又，所以；（2）因為，，由余弦定理得，即，解得.為角的角平分線，，∵，∴，∴，得.18．【答案】（1），（2）（3）【詳解】（1）因為，所以所以，，所以；當時，，所以，，所以在方向上的投影向量為；（2）因為，所以，又，所以，所以，則，由余弦定理，又，，所以設(shè)的邊上的中線為，則，所以，所以，所以的邊上的中線長為；（3）因為，可得，即，又，則，所以，所以.19．【答案】(1)；(2)9；(3).【詳