成都石室成飛中學(xué)2024-2025學(xué)年下期五月月考高2023級數(shù)學(xué)試卷（解析版）（考試時間：120分鐘總分：150分）注意事項:01．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡規(guī)定的位置上，或?qū)l形碼貼在答題卡規(guī)定的位置上.02．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.03．答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的住置上.04．所有題目必須在答題卡上作答,在試題卷上答題無效.05．考試結(jié)束后，只將答題卡交回.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】雙曲線的漸近線方程為，即.2.已知數(shù)列是首項為1且公差不為0的等差數(shù)列，且，則（）A.20 B.39 C.41 D.58【答案】B【解析】因為數(shù)列是首項為1且公差不為0的等差數(shù)列，且，所以，則.3.已知的展開式中只有第3項的二項式系數(shù)最大，則項的系數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因為的展開式中只有第3項的二項式系數(shù)最大，所以，又因為二項展開式的通項公式為：，令，得，所以項的系數(shù)為：.4.記為等比數(shù)列的前項和.若，，則（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】A【解析】∵為等比數(shù)列的前項和，∴，，成等比數(shù)列∴，∴，∴.故選：A.5.在某次研討會中，甲、乙、丙、丁、戊、己6位專家輪流發(fā)言，其中甲和乙不能連續(xù)發(fā)言，則這6位專家的不同發(fā)言順序共有（）A．240種 B．280種 C．480種 D．720種【答案】C【解析】這6位專家的不同發(fā)言順序共有:種.6.已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，令，，令，，∴在上單調(diào)遞減，則，∴，∴在上單調(diào)遞減，，，經(jīng)檢驗知：當(dāng)時，滿足題意，所以，則實數(shù)的最大值為.7.已知正四棱錐的側(cè)棱長為，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時，它的高為（）A.1 B. C.2 D.3【答案】D【解析】設(shè)底面邊長為，則高，由，所以，所以體積，設(shè)，，則，所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時取得極大值，也為最大值，此時該棱錐的體積最大，此時.8.若,不等式恒成立（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）,則實數(shù)的最小值為A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知：，，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，又，所以，其中，令，則，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，即，故實數(shù)的最小值為．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知數(shù)列滿足，數(shù)列的前項和為，則（）A. B.數(shù)列是等比數(shù)列C.，，構(gòu)成等差數(shù)列 D.數(shù)列前200項和為【答案】AD【解析】由，當(dāng)時，，兩式相減可得，所以，當(dāng)，適合上式，所以；由不是常數(shù)，所以數(shù)列不是等比數(shù)列，故B錯誤；對于A，因為，所以當(dāng)時，可得，故A正確；對于C，由可知，，所以是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以，所以，，，又，所以，所以，，不構(gòu)成等差數(shù)列，故C錯誤；對于D，，所以，故D正確.故選：AD.10.若，則（

）A．B．C．D．【答案】BD【解析】對于A，令，可得，故A錯誤；對于B，令，可得，又，所以，故B正確；對于C，令，則，故C錯誤；對于D，因為令，可得，令，可得，兩式相減得：，所以，故D正確,所以選ABD.11．已知是定義在上的奇函數(shù)，，不恒為零且為偶函數(shù)，則A．為偶函數(shù) B．C． D．【答案】ABD【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，兩邊同時求導(dǎo)，得：，即，則為偶函數(shù)，故A選項正確；因為為偶函數(shù)，所以，所以，令，得，即，故B選項正確；因為為偶函數(shù)，所以，故C選項不正確；由題可知，函數(shù)和都是周期為的周期函數(shù)，，故D選項正確;綜上所述，答案為：ABD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知曲線在處的切線與直線平行，則實數(shù)的值為______.【答案】【解析】因為，所以，又因為該曲線在處的切線與直線平行，所以.13.將5本不同的書分發(fā)給甲、乙、丙三個同學(xué)，每個同學(xué)至少得到1本書，且甲同學(xué)只得到1本書，則不同的分法總數(shù)為________.【答案】70【解析】由題意知，不同的分法總數(shù)為：.14.設(shè)數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的前項和為___________.【答案】【解析】當(dāng)時，，即；又，當(dāng)時，，即，因此，所以，即，經(jīng)檢驗知，時成立，所以,則.設(shè)數(shù)列的前項和為，則：=1\*GB3①=2\*GB3②由=1\*GB3①=2\*GB3②知：，即，所以數(shù)列的前項和為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15．（本小題滿分13分）已知數(shù)列是首項為2且公差不為0的等差數(shù)列，為和的等比中項，記數(shù)列的前項和為.（1）求和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前2022項的和.【解析】（1）因為為和的等比中項，所以，又因為數(shù)列是首項為2且公差不為0的等差數(shù)列，則，所以，，……………5分.……………7分（2）因為……………9分所以數(shù)列的前2022項的和為：.……………13分16．（本小題滿分15分）如圖，在三棱柱中，平面平面，為的中點，，，.（1）證明：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【解析】（1）因為為的中點，，所以，則，，,又，所以，即.……………2分因為，，，所以，即，又平面平面，平面平面，平面，……………4分所以平面，又平面，則，又，所以平面.……………7分（2）由（1）知，平面，又平面，則，又平面，平面，則，所以兩兩垂直，……………8分以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因為，，所以,則,所以的中點，，,……………10分設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，所以.因為平面的一個法向量，……………13分則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.……………15分17．（本小題滿分15分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若不等式恒成立，且，求的最小值．【解析】（1）因為，……………2分當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，無極小值.……………5分（2）因為不等式恒成立，即恒成立，由于，則，設(shè)，……………7分則，……………9分設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以存在，使，即．……………11分當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減.所以．……………13分又，則，由于恒成立，，且所以的最小值為1．……………15分18．（本小題滿分17分）已知,分別是橢圓的左右焦點，直線與軸相交于點，與橢圓相交于不同的兩點、，的面積為，且橢圓的短軸長與焦距相等.（1）求橢圓的方程和實數(shù)的取值范圍；（2）若線段的垂直平分線與軸相交于點，且為直角三角形，求點的坐標(biāo)和直線的方程.【解析】（1）由題意知，因為的面積為，所以，又因為橢圓的短軸長與焦距相等，所以，則，橢圓的方程為：.……………3分聯(lián)立，整理得：，因為直線與橢圓相交于不同的兩點、，所以，解得：或，則實數(shù)的取值范圍為：.……………6分（2）設(shè)，，設(shè)線段的中點為，由（1）知：，，則，，即.設(shè)，由，則，化簡為，①……………9分因為為直角三角形，又，所以，即，所以，，整理為，則：，化簡為②……………11分由①得，即，代入②得，整理得③，又由①得，代入③得：，即，整理得，即,滿足.……………13分當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，直線的方程為：；……………15分當(dāng)時，，點的坐標(biāo)為，直線的方程為：.……………17分19．（本小題滿分17分）已知曲線與直線有且僅有兩個不同的交點,，且.（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）證明：.【解析】（1）因為曲線與直線有且僅有兩個不同的交點，所以關(guān)于的方程有且僅有兩個不同的實數(shù)根，即有且僅有兩個不同的實數(shù)根.令，則，又，由得，……………3分所以時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得極小值，也是最小值，要使有兩個零點，則，即，解得，……………5分當(dāng)時，得，則在區(qū)間上有且只有一個零點；……………6分當(dāng)時，，設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以，則在上有且只有一個零點，故有且僅有兩個零點，實數(shù)的取值范圍為：.……………8分