高二數學注意事項：1．答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內容：人教A版必修第一冊到選擇性必修第二冊第四章占30%，選擇性必修第二冊第五章到選擇性必修第三冊第七章占70%．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據題意，結合集合交集的概念與運算，即可求解.【詳解】由集合，，根據集合交集的概念與運算，可得.故選：C.2.在復平面內，復數對應的點位于（）A第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】【分析】由復數的乘法運算化簡，再由復數的幾何意義，即可得到結果.【詳解】因為，所以其對應的點位于第二象限.故選：B3.已知雙曲線離心率為3，則雙曲線C的漸近線方程為A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據可得，再根據雙曲線的幾何性質可得結果.【詳解】因為，所以，由雙曲線的幾何性質可得漸近線方程為：，故選：C【點睛】本題考查了雙曲線的離心率，考查了雙曲線的漸近線，屬于基礎題.4.已知向量，，則在上的投影向量的坐標為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由投影向量的定義代入計算，即可得到結果.【詳解】向量在向量上的投影向量為．故選：C5.將一個邊長為20的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為的小正方形，做成一個無蓋方盒，當方盒的容積最大時，（）A.3 B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意可知方盒的底面是邊長為的正方形，方盒高為，則，進而可得方盒的容積為，.利用導數研究函數的單調性，求出極值點，即可得解.【詳解】由題意可知方盒的底面是邊長為的正方形，方盒高為，則.所以無蓋方盒的容積為，.所以，令，解得；令，解得.∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值即最大值，即當時方盒的容積最大.故選：D6.在正四棱柱中，，為的中點，為底面內一點，若，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】在以為球心，為半徑的球與底面的交線上，即的軌跡是以為圓心、1為半徑、圓心角為的圓弧，由扇形的弧長公式即可求解.【詳解】因為，所以在以為球心，為半徑的球上．因為在平面內，所以的軌跡是以為圓心、1為半徑、圓心角為的圓弧，所以的軌跡長度為．故選：B.7.現提供5種不同的顏色給圖中①②③④⑤這5個區(qū)域涂色，要求相鄰的區(qū)域不能涂同1種顏色，每個區(qū)域只涂1種顏色，則不同的涂色方案共有（）A.360種 B.420種 C.120種 D.480種【答案】B【解析】【分析】根據題意，分只用3種顏色涂色，只用4種顏色涂色和只用5種顏色涂色，三種情況分類討論，結合排列數和組合數的計算公式，即可求解.【詳解】根據題意，可得按使用的顏色數分類：若只用3種顏色涂色，則①③同色且②④同色，不同涂色方案有種；若只用4種顏色涂色，則①③同色或②④同色，不同的涂色方案有種；若用5種顏色涂色，則不同的涂色方案有種，故不同的涂色方案共有種．故選：B.8.若的展開式各項系數的絕對值之和為512，則的展開式中的系數為（）A. B.56 C. D.70【答案】A【解析】【分析】由二項式系數的和可得，再由二項式的展開式代入計算，即可得到結果.【詳解】的展開式各項系數的絕對值之和等于的展開式各項系數之和，則，得，則，因為的展開式中沒有的項，所以的展開式中的系數為的展開式中的系數，即.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知隨機變量的分布列為023則下列結論正確是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由分布列的性質求得，逐一判斷各個選項即可.【詳解】由，解得，，，，．故選：AC.10.若，則（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】利用賦值法求系數和，可判斷ACD，利用指定項求系數可判斷B.【詳解】令，得，A正確．，B錯誤．令，得，則，C錯誤．令，得，則，D正確．故選：AD.11.若不等式恒成立，則實數a的取值可能是（）A. B. C.2 D.e【答案】AB【解析】【分析】根據對數運算性質將不等式變形為，根據的單調性，進一步將問題轉化為在恒成立，即可求解.【詳解】由可得，進而得，記，,由于函數為上的單調遞增函數，由可得，因此，即在恒成立。因此，故AB均符合，CD不符合，故選：AB三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，則________．【答案】【解析】【分析】令，，，利用余弦定理求解即可.【詳解】令，，，由余弦定理可得.故答案為：.13.定義在上的函數的導函數為，若，且，則不等式的解集為________．【答案】【解析】【分析】設，得到，根據題意，求得的單調性，且，分類討論，即可求解不等式的解集.【詳解】設，可得，因為，所以在上單調遞減，因為，可得，當時，；當時，，故不等式的解集為．故答案為：．14.已知是定義在上的奇函數，且，當時，，則________．【答案】【解析】【分析】根據給定條件，利用奇函數的性質推導出的周期，再求出函數值.【詳解】由是定義在上的奇函數，得，即，而，則，，因此函數的周期為8，且，當時，，則，所以.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.2025年河北廣播電視臺《魅力朗讀者》青少年朗讀大會以“雙爭”為主題，延續(xù)中華文脈與基因，激發(fā)青少年的愛國愛鄉(xiāng)情懷，讓經典的力量浸潤青少年的心田，使時代之聲得以傳揚，同時，該活動也為廣大學生提供一個認識自我、鍛煉自我、展示自我、完善自我的舞臺，攜手廣大青少年立時代新潮，發(fā)時代新聲．某學校準備從2名女同學與7名男同學中隨機抽取5名同學為本次朗讀大會做準備練習，且均以單人形式按先后順序進行練習．（1）若2名女同學均參加練習，且她們的練習順序不能相鄰，則不同的安排方法有多少種？（2）若2名女同學均參加練習，且前3名練習的同學中有女同學，則不同的安排方法有多少種？【答案】（1）種（2）種【解析】【分析】（1）運用插空法列式求解；（2）運用間接法即可求解.【小問1詳解】因2名女同學均參加練習，這可從7名男同學中選取3名，又因2名女同學練習順序不相鄰，可考慮在3名男同學留下的4個空位插入2位女同學，則不同的安排方法有種．【小問2詳解】采用間接法.因2名女同學均參加練習且不考慮順序，則不同的安排方法有種；考慮前3名練習的同學中沒有女同學，則這2名女同學被安排在最后2位練習，不同的安排方法有種．故2名女同學均參加練習，且前3名練習的同學中有女同學的安排方法有種．16.在等差數列中，，．（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意列出關于的方程組，求出首項、公差即可；（2）由等比數列求和公式以及錯位相減法即可求解.【小問1詳解】設數列的首項為，公差為，所以解得，，故通項公式為．【小問2詳解】因為，所以，①，②①-②得，故．17.某研究生導師帶領6名研究生參與某項目研究，其中有2名研究生有參與項目經驗，4名研究生沒有參與項目經驗．該項目研究分為三個階段，依次開展，每個階段均從這6名研究生中隨機抽取2名參與研究．沒有參與項目經驗的研究生只要參加了1次項目研究，即視為有參與項目經驗的研究生．（1）求研究生在該項目研究的三個階段中恰有一次被抽到的概率；（2）求第一階段抽到有參與項目經驗的研究生人數的分布列；（3）記第二階段抽到沒有參與項目經驗研究生人數為，求的期望．【答案】（1）（2）分布列見解析（3）【解析】【分析】（1）先求出研究生每個階段被抽到的概率，再根據獨立事件的概率公式計算即可；（2）依題意可知的所有可能取值為0，1，2，根據古典概型的概率計算公式分別計算概率即可得到分布列；（3）依題意可知的所有可能取值為0，1，2，根據古典概型的概率計算公式分別計算概率即可得到分布列，進而可求數學期望.【小問1詳解】由題意得研究生每個階段被抽到的概率為，則研究生在該項目研究的三個階段中恰有一次被抽到的概率為．【小問2詳解】的所有可能取值為0，1，2．，，，所以的分布列為012【小問3詳解】的所有可能取值為0，1，2．，，，所以的分布列為012所以．18.某零件廠銷售部以箱為單位銷售某種零件，每箱零件的定價為500元，低于200箱按原價銷售，不低于200箱有兩種優(yōu)惠方案．方案一：以200箱為基準，每多100箱免12箱的金額．方案二：通過雙方議價，買方能以每箱優(yōu)惠的價格成交的概率為0.3，以每箱優(yōu)惠的價格成交的概率為0.4，以每箱優(yōu)惠的價格成交的概率為0.3．（1）買方甲要在該廠購買200箱這種零件，并選擇方案二，求甲以低于萬元的金額購買這200箱零件的概率．（2）買方乙要在該廠購買400箱這種零件，以購買總價的數學期望為決策依據，試問乙選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算？請說明你的理由．（3）買方丙要在該廠購買960箱這種零件，由于購買的箱數超過500，該廠的銷售部讓丙綜合使用這兩種方案作為第三種方案，即一部分用方案一（箱數必須是100的正整數倍），另一部分使用方案二（箱數不限），試問丙應該如何使用方案三，才能獲得最多的優(yōu)惠？說明你的理由．【答案】（1）0.7（2）方案二更優(yōu)惠，理由見解析（3）應該選擇900箱使用方案一，60箱使用方案二，這樣才能獲得最多的優(yōu)惠，理由見解析【解析】【分析】（1）分別計算買方甲以每箱優(yōu)惠，，的價格成交的金額，再與萬元比較即可求解；（2）先計算乙選擇方案一的成交金額，再計算乙選擇方案二的成交金額的數學期望，比較大小即可判斷；（3）設丙用方案一購買箱，表示出丙購買的金額的期望為萬元，利用為減函數即可做出決策.【小問1詳解】買方甲要在該廠購買200箱這種零件，并選擇方案二，若甲以每箱優(yōu)惠的價格成交，則成交的金額為萬元;若甲以每箱優(yōu)惠的價格成交，則成交的金額為萬元;若甲以每箱優(yōu)惠的價格成交，則成交的金額為萬元故甲以低于萬元的金額購買這200箱零件的概率為；【小問2詳解】買方乙要在該廠購買400箱這種零件，若乙選擇方案一，則成交的金額為萬元若乙選擇方案二，設成交的金額為萬元，則，所以買方乙按方案二在該廠購買400箱這種零件的成交金額的數學期望為萬元因為，所以方案二更優(yōu)惠；【小問3詳解】設丙用方案一購買箱，則丙用方案一需要支付的金額為元，方案二需要支付的金額的期望為元，所以丙購買的金額的期望為萬元因為為減函數，所以越大，越小，故應該選擇箱使用方案一，箱使用方案二，這樣才能獲得最多的優(yōu)惠.19.已知函數．（1）若曲線在點處的切線方程為，求；（2）若在上有兩個零點，求的取值范圍；（3）若，過點向曲線作切線，求切線的方程．【答案】（1）；（2）；（3）或.【解析】【分析】（1）求導得，根據得到方程組，解出即可；（2）等價轉化為直線與曲線有兩個交點，再利用導數研究的最值即可；（3）設切點為，寫出切