江蘇省2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期百校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將本人的學(xué)校、班級(jí)、姓名、考試號(hào)填在答題卡上.2.將每題的答案或解答寫在答題卡上，在試卷上答題無(wú)效.3.考試結(jié)束，只交答題卡.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為2cm，它是用斜二測(cè)畫法畫出的一個(gè)平面圖形水平放置的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)為（）A.12cm B.16cmC. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法的原理作出原圖形，求出邊長(zhǎng)即可得原圖形的周長(zhǎng).【詳解】從直觀圖可得，原圖形為：則四邊形OABC為平行四邊形，，，所以其周長(zhǎng)為cm.故選：B2.已知是三個(gè)不同的平面，是三條不同的直線，且.在下列條件中，能推出的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由線面垂直的判定定理結(jié)合圖象判斷即可求解【詳解】當(dāng)時(shí)（如圖所示），由推不出，即錯(cuò)誤；同理可知，錯(cuò)誤；若，可知與交于一點(diǎn)，且，所以，即D正確.故選：D3.如圖，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫作向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo).若，則（）A. B.3 C. D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)系中向量的坐標(biāo)規(guī)定，先求出的值，再將分別用，表示，計(jì)算出的表達(dá)式，最后利用向量模的定義求出.【詳解】依題意，，，則，則，故.故選：C.4.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，則（）A.2 B. C.3 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理及同角公式求解即得.【詳解】在中，由正弦定理得，而，則是銳角，因此，.故選：D5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用和差角的余弦公式求出，再利用二倍角的余弦求解.【詳解】由，得，所以.故選：D6.在三棱錐中，，則異面直線PB與AC所成角的正切值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，，，可得，，進(jìn)而得到（或其補(bǔ)角）為與所成角，進(jìn)而結(jié)合余弦定理及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【詳解】如圖，設(shè)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連結(jié)，，，所以，，且，，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成角，由于，，所以在等邊中，，同理在等邊中，，故，所以為等邊三角形，故，所以在中，，，，由余弦定理可得：，則，則，由于異面直線的夾角范圍為，所以異面直線與所成角為的補(bǔ)角，則異面直線與所成角的正切值為.故選：C.7.如圖，在中，，，為邊AB的中點(diǎn)，線段AC與DE交于點(diǎn)，則（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助幾何性質(zhì)可得，借助余弦定理可得，再借助余弦定理的推論即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所以是等邊三角形，所以，因?yàn)?，所以，所以，設(shè)，則，在中，由余弦定理可得，所以．故選：C.8.在中，分別為內(nèi)角所對(duì)的邊，已知.設(shè)為邊BC上一點(diǎn)，若，且，則面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件恒等式，求得，然后設(shè)，則，利用面積關(guān)系可以得到，從而求得；再利用面積關(guān)系可以得到，再利用基本不等式求出的取值范圍，再根據(jù)面積公式計(jì)算可得.【詳解】由正弦定理可得,又所以，由兩角和正弦公式可得，，又，所以，所以，即，又，所以，所以即，設(shè)，則，∵，，∴，即，化簡(jiǎn)得，即，又，解得或（舍去），所以，又，所以，即，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，即面積的最小值為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（）A. B.直線一定與共面C.的最小值為 D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】推導(dǎo)出平面，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；取與點(diǎn)重合，結(jié)合異面直線的定義可判斷B選項(xiàng)；利用三角形的面積公式可判斷C選項(xiàng)；將和延展為一個(gè)平面，分析可知當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖所示：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，因?yàn)椋?、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，同理可得，因?yàn)?，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，因此，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，與既不平行也不相交，此時(shí)與異面，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)槠矫?，設(shè)平面，因?yàn)?，，故三棱錐為正三棱錐，所以為等邊的中心，因平面，故，如下圖所示：當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)取最小值，因?yàn)闉榈冗叺闹行?，所以，，此時(shí)為的中點(diǎn)，且，由，故，所以，即的最小值為，C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，將和延展為一個(gè)平面，如下圖所示：當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最小值，此時(shí)，在和中，，，，所以，所以，所以，此時(shí)，，則為的中點(diǎn)，所以，，，故的最小值為，D對(duì).故選：AD.10.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且，則下列說法正確的是（）A. B.若，則面積的最大值為C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，由余弦定理可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于B，由余弦定理結(jié)合重要不等式可得面積最值；對(duì)于C，由A選項(xiàng)分析結(jié)合正弦定理可得b，再由余弦定理可得c；對(duì)于D，由輔助角公式及A分析可得，由正弦定理可得，據(jù)此可得c.詳解】對(duì)于A，由，可得，，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，又由余弦定理結(jié)合重要不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào).則，故B正確；對(duì)于C，由A可知，又，則，則由正弦定理，，則再由余弦定理可得：或（舍），故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，又由正弦定理可得：，則，故D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，若存在非零常數(shù)，都有成立，我們就稱為“不減函數(shù)”，若，都有成立，我們就稱為“嚴(yán)格增函數(shù)”.下列說法正確的是（）A.函數(shù)是“不減函數(shù)”B.若函數(shù)，則一定不是“嚴(yán)格增函數(shù)”C.函數(shù)為“嚴(yán)格增函數(shù)”D.若函數(shù)是“不減函數(shù)”，則的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)“T不減函數(shù)”和“嚴(yán)格T增函數(shù)”的概念與性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可判斷ABC；根據(jù)函數(shù)新定義，結(jié)合不等式恒成立，即可判斷D.【詳解】A：，則，，當(dāng)時(shí)，，所以，所以函數(shù)是“T不減函數(shù)”，故A正確；B：，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)可知，不論取何值，由于正弦型函數(shù)的周期性和波動(dòng)性，總會(huì)存在使得，不滿足“嚴(yán)格增函數(shù)”定義，所以一定不是“嚴(yán)格增函數(shù)”，故B正確；C：函數(shù)，則，得，由，得，所以，所以即在上不恒成立，故函數(shù)不是“嚴(yán)格增函數(shù)”，故C錯(cuò)誤；D：因?yàn)楹瘮?shù)是“不減函數(shù)”，所以對(duì)恒成立，對(duì)恒成立，得，即對(duì)恒成立，又，所以，則，即實(shí)數(shù)k的取值范圍為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若兩個(gè)單位向量滿足，則與的夾角是__________.【答案】【解析】【分析】通過平方運(yùn)算將模長(zhǎng)變?yōu)閿?shù)量積運(yùn)算的形式，可構(gòu)造出關(guān)于夾角余弦值的方程，從而求得夾角.【詳解】由題意知：，，所以，所以，所以，所以，所以向量與的夾角是.故答案：.13.已知，則__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦的和差公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式計(jì)算即可得解.【詳解】即，由題意，所以又所以，所以，故答案為：14.在銳角中，分別是內(nèi)角的對(duì)邊，，且的面積為3，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)于點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】【分析】由正弦定理邊角互化，結(jié)合同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系得出，根據(jù)平方關(guān)系得出，由三角形面積得出，再由得出，過點(diǎn)作，垂足分別為，則，由三角函數(shù)分別表示出，根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義即可求解．【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，進(jìn)而，因?yàn)椋?，在中，，在中，，由得，，過點(diǎn)作，垂足分別為，則，所以，同理可得，因?yàn)?，所以，故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知平面向量滿足，且.（1）求在方向上的投影向量；（2）若，求實(shí)數(shù)的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）將模平方后可得，再有投影向量公式可求投影向量；（2）利用向量垂直的向量形式可求實(shí)數(shù)的值.【小問1詳解】由，且，兩邊平方得，解得，所以在方向上的投影向量為.【小問2詳解】因?yàn)樗曰?jiǎn)得所以解得.16.如圖，在長(zhǎng)方體中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，為AC與BD的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理分析證明；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理分析證明.【小問1詳解】分別是的中點(diǎn)，是矩形，，且，四邊形是平行四邊形，則.又平面平面，平面.【小問2詳解】如圖，連接.正方形ABCD的邊長(zhǎng)為，，則.又平面平面ABCD，.由底面ABCD為正方形可得，又平面平面，平面.又平面，，又平面平面，平面.17.在中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若，求；（2）求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）方法一：先由正弦定理結(jié)合題設(shè)條件以及平方和關(guān)系求出，再由正弦定理即可求解；方法二：先由正弦定理結(jié)合題設(shè)條件得，再由即可求解；（2）先由正弦定理結(jié)合題設(shè)條件求出，再由余弦定理求得，再由基本不等式求出最大值即可由面積公式求解.【小問1詳解】（方法一）由正弦定理和已知可得，，化簡(jiǎn)可得.又，.（方法二）由正弦定理及已知可得，.又，即，兩式平方相加可得，故當(dāng)時(shí)，.【小問2詳解】由（1）知，又，則，化簡(jiǎn)可得，即.由余弦定理得，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積取得最大值.故的面積最大值為.18.如圖，在中，，且與CE交于點(diǎn).設(shè).（1）求的值；（2）分別求向量和向量的模；（3）求的值.【答案】（1）0（2），（3）【解析】【分析】（1）由題意可得，再結(jié)合三點(diǎn)共線的推論可得，，進(jìn)而求解即可；（2）根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得，，進(jìn)而結(jié)合平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解即可；（3）結(jié)合平面向量的夾角余弦公式及平方關(guān)系求解即可.【小問1詳解】由，，得，所以.又三點(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以，，兩式相減得.【小問2詳解】由（1）知，，則，，所以，則，，則.【小問3詳解】由（2）知，，，，所以，所以.19.在銳角三角形ABC中，角所對(duì)的邊分別為，且.（1）若，求面積的取值范圍；（2）已知，.（i）求BC邊上的高；（ii）若AD是的平分線，交BC于點(diǎn)，且，求的值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件結(jié)合正弦定理求出角，再根據(jù)已知條件結(jié)合正弦余弦定理求出，通過面積公式利用正弦定理邊化角再結(jié)合角的范圍即可求解；（2）（i）根據(jù)已知條件結(jié)合正余弦定理及兩角和的正弦公式求出，根據(jù)結(jié)合余弦定理求出，利用正弦定理面積公式，根據(jù)等面積法求出高；（i