濱城高中聯(lián)盟2024-2025學(xué)年度下學(xué)期高二5月期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在等比數(shù)列中，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的概念可求得，由此可得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，∵，∴，故，∴.故選：C.2.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，，成等差數(shù)列，則的值是（）A. B. C.9 D.16【答案】A【解析】【分析】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式計算可得.【詳解】設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列的公比為，由，，成等差數(shù)列，可得，即，所以，解得（舍去）或，所以故選：A3.甲、乙兩名游客到開封旅游，各自都準(zhǔn)備從大相國寺、開封府、清明上河園這個景點(diǎn)中隨機(jī)選一個去游玩．記事件：甲和乙選擇的景點(diǎn)相同，事件：甲和乙恰好都去了大相國寺，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由條件求，，結(jié)合條件概率公式求結(jié)論.【詳解】由題意得，，所以.故選：C.4.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出，，然后由全概率公式求解出即可.【詳解】因?yàn)?，所以，由得：，所以由全概率公式得：，故選：A5.已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合求和公式對合理變形為，再結(jié)合代入求解即可.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，所以我們對進(jìn)行變形，得到，因?yàn)?，所以，即，故D正確.故選：D6.下表為某外來生物物種入侵某河流生態(tài)后的前3個月繁殖數(shù)量（單位：百只）的數(shù)據(jù)，通過相關(guān)理論進(jìn)行分析，知可用回歸模型對與的關(guān)系進(jìn)行擬合，則根據(jù)該回歸模型，預(yù)測第7個月該物種的繁殖數(shù)量為（）第個月123繁殖數(shù)量A.百只 B.百只 C.百只 D.百只【答案】B【解析】【分析】對兩邊取自然對數(shù)得，令，則，由回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心即可求得，進(jìn)而得解.【詳解】由兩邊取自然對數(shù)得，令，則，即與呈線性相關(guān)關(guān)系，，，回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心，，解得，，則，當(dāng)時，．故選：B7.小王、小張兩人進(jìn)行象棋比賽，共比賽2n（）局，且每局小王獲勝的概率和小張獲勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記小王贏得比賽的概率為，則下列結(jié)論錯誤的是（）A. B.存在最大值C. D.隨著n的增大而增大【答案】B【解析】【分析】小王至少贏局，小王贏得比賽的概率為，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意知，要使小王贏得比賽，則小王至少贏局，因?yàn)槊烤众A的概率是相同的，所以服從二項(xiàng)分布，由二項(xiàng)分布的概率公式可得贏局的概率為，贏局的概率為，，贏局的概率為，小王贏的概率為：，有，，可知選項(xiàng)A，C正確，選項(xiàng)B錯誤；由，4?2n+12n+2可得，故為遞增數(shù)列，可知D選項(xiàng)正確，B錯誤.故選：B8.把正整數(shù)按一定的規(guī)律排成三角形數(shù)陣，如圖所示.設(shè)是這個三角形數(shù)陣中從上往下數(shù)第行、從左往右數(shù)第個數(shù)，如，若，則與的和為（）A.109 B.110 C.111 D.112【答案】B【解析】【分析】分析得到奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)行，為第個奇數(shù)，利用等差數(shù)列求和得到前個奇數(shù)行和前個奇數(shù)行的奇數(shù)個數(shù)，確定在第行，且在第列，求出，得到答案.【詳解】由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，且第行有個數(shù)，記為第個奇數(shù)，則，又，所以為第個奇數(shù)，又前個奇數(shù)行，共有奇數(shù)，又前個奇數(shù)行，共有奇數(shù)，則，，故在第行，且列，即，所以.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，有錯誤選項(xiàng)得0分．9.設(shè)等差數(shù)列的公差為，前項(xiàng)和為，若，則下列結(jié)論正確的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C. D.中最大的是【答案】BD【解析】【分析】利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)得到，，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得的范圍可判斷AC；進(jìn)而得可判斷B；利用可判斷D，從而得解.【詳解】對于AC：因?yàn)?，且，所以，，又因?yàn)?，所以，解得；所以等差?shù)列是遞減數(shù)列，故AC錯誤；對于B：因?yàn)?，所以，故C正確；對于D：因?yàn)榈炔顢?shù)列是遞減數(shù)列，且，，則，，所以，，故D正確.故選：BD.10.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則下列說法正確的有（）A.若是等比數(shù)列，則B.若，則C.若是等差數(shù)列，，若，則D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】對于A，由等比數(shù)列和的性質(zhì)列式計算即可；對于B，根據(jù)的正負(fù)即可去掉絕對值符號，進(jìn)而代入公式計算即可；對于C，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式計算即可；對于D，由可得是等差數(shù)列，代入公式即可求.【詳解】對于A，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以成等比數(shù)列，所以，即，解得，故A錯誤；對于B，因?yàn)?，所以，所以是等差?shù)列，由得，所以，故B正確；對于C，設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，所以，故C正確；對于D，因?yàn)?，所以，所以，又，所以是首?xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以，所以，故D正確.故選：BCD11.一個不透明的箱子中裝有5個小球，其中白球3個，紅球2個，小球除顏色不同外，材質(zhì)大小全部相同，現(xiàn)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，若硬幣正面朝上，則從箱子里抽出一個小球且不再放回；若硬幣反面朝上，則不抽取小球；重復(fù)該試驗(yàn)，直至小球全部取出，假設(shè)試驗(yàn)開始時，試驗(yàn)者手中沒有任何小球，下列說法正確的有（）A.經(jīng)過兩次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手中恰有2個白球的概率為B.若第一次試驗(yàn)抽到一個白球，則第二次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手有白紅球各1個的概率為C.經(jīng)過6次試驗(yàn)后試驗(yàn)停止的概率為D.經(jīng)過8次或9次試驗(yàn)后小球全部取出的概率最大【答案】ABD【解析】【分析】A選項(xiàng)，分析出需要兩次投擲硬幣，均正面朝上，且從箱子里抽出的兩個小球均為白色，利用獨(dú)立事件乘法公式計算出概率；B選項(xiàng)，第二次試驗(yàn)需投擲硬幣，正面朝上，且從箱子里抽出的小球?yàn)榧t球，從而計算出概率；C選項(xiàng)，前5次有4次投擲硬幣，正面朝上，第6次投擲硬幣，正面朝上，求出概率；D選項(xiàng)，設(shè)經(jīng)過次試驗(yàn)后小球全部取出的概率最大，求出相應(yīng)的概率，得到不等式組，求出答案.【詳解】A選項(xiàng)，經(jīng)過兩次試驗(yàn)后，試驗(yàn)者手中恰有2個白球，需要兩次投擲硬幣，均正面朝上，且從箱子里抽出的兩個小球均為白色，故概率為，A正確；B選項(xiàng)，第二次試驗(yàn)需投擲硬幣，正面朝上，且從箱子里抽出的小球?yàn)榧t球，故概率為，B正確；C選項(xiàng)，經(jīng)過6次試驗(yàn)后試驗(yàn)停止，即前5次有4次投擲硬幣，正面朝上，第6次投擲硬幣，正面朝上，概率，C錯誤；D選項(xiàng)，設(shè)經(jīng)過次試驗(yàn)后小球全部取出的概率最大，此時前次有4次投擲硬幣，正面朝上，第次投擲硬幣，正面朝上，故概率為，令，解得，又，故經(jīng)過8次或9次試驗(yàn)后小球全部取出的概率最大，D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.某類考試報名人數(shù)為10000人，已知考試的成績服從正態(tài)分布，若錄取分?jǐn)?shù)線為350分，則錄取人數(shù)約為________．（結(jié)果四舍五入取整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：若服從正態(tài)分布，則）【答案】1587【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線特征求出，結(jié)合參考人數(shù)即可求得錄取人數(shù).【詳解】因，則，則，故錄取人數(shù)為（人）．故答案為：1587．13.從公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列的前8項(xiàng)中任取三項(xiàng)，則這3項(xiàng)能構(gòu)成等比數(shù)列的概率為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可知任取3項(xiàng)能構(gòu)成等比數(shù)列共有12種取法，根據(jù)計數(shù)原理，前8項(xiàng)中任取三項(xiàng)，共有種取法，結(jié)合古典概型可得答案.【詳解】從公比不為1的正項(xiàng)等比數(shù)列的前8項(xiàng)中任取三項(xiàng)，共有種取法，其中能構(gòu)成等比數(shù)列的有，，，，，，，，，，，，共12種取法，假設(shè)任取三項(xiàng)并能構(gòu)成等比數(shù)列為事件A，所以．故答案為：.14.已知在數(shù)列中，，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若不等式對恒成立，則的最小值為________．【答案】【解析】【分析】由遞推公式可得數(shù)列是常數(shù)列，即可得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可得到，然后結(jié)合基本不等式，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知，則數(shù)列是首項(xiàng)為的常數(shù)列，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，，則的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共77分，解答要寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某觀影平臺為了解觀眾對最近上映的某部影片的評價情況（評價結(jié)果僅有“好評”、“差評”），從平臺所有參與評價的觀眾中隨機(jī)抽取216人進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示（單位:人）:好評差評合計男性4068108女性6048108合計100116216（1）判斷是否有的把握認(rèn)為“對該部影片的評價與性別有關(guān)”?（2）若將頻率視為概率，從觀影平臺的所有給出“好評”的觀眾中隨機(jī)抽取3人，用隨機(jī)變量表示被抽到的男性觀眾的人數(shù)，求的分布列;（3）在抽出的216人中，從給出“好評”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人，從給出“差評”的觀眾中抽取人.現(xiàn)從這人中，隨機(jī)抽出2人，用隨機(jī)變量表示被抽到的給出“好評”的女性觀眾的人數(shù).若隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望不小于1，求的最大值.參考公式:，其中.參考數(shù)據(jù):0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有（2）答案見解析（3）2【解析】【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表，求出，再根據(jù)參考數(shù)據(jù)可判斷；（2）先求出隨機(jī)抽取1人為男性的概率，由題意，由二項(xiàng)分布可得答案；（3）Y的可能取值為0，1，2，求出概率，求出期望，建立不等式，可得答案.【小問1詳解】，所以有的把握認(rèn)為“觀影評價與性別有關(guān)”.【小問2詳解】從觀影平臺的所有給出“好評”的觀眾中隨機(jī)抽取1人為男性的概率為，且各次抽取之間相互獨(dú)立，所以，所以，，故的分布列為0123【小問3詳解】從給出“好評”的觀眾中利用分層抽樣的方法抽取10人，則男性4人，女性6人.則的可能取值為0，1，2，所以.所以，即即，解得，又，所以的最大值為2.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小問的解決關(guān)鍵是，將問題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布問題，即根據(jù)條件得出，從而得解.16.已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推式子即可求通項(xiàng)公式；（2）易知的周期為4，故構(gòu)造構(gòu)數(shù)列，易證數(shù)列為常數(shù)列，故題目所求可化為.【小問1詳解】①當(dāng)時，，即；當(dāng)時，②①－②得因?yàn)闀r，也滿足上式，故．【小問2詳解】記，則（常數(shù)）數(shù)到為常數(shù)列，17.某植物園種植一種觀賞花卉，這種觀賞花卉的高度（單位：cm）介于之間，現(xiàn)對植物園部分該種觀賞花卉的高度進(jìn)行測量，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示．（1）求值；（2）若從高度在和中分層抽樣抽取5株，在這5株中隨機(jī)抽取3株，記高度在內(nèi)的株數(shù)為，求的分布列；（3）以頻率估計概率，若在所有花卉中隨機(jī)抽取3株，求至少有2株高度在的條件下，至多1株高度低于的概率．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)各小組的頻率之和等于1列式計算即得；（2）根據(jù)抽樣比得到高度在和的株數(shù)分別為2和3，確定的可能取值，利用超幾何分布計算各概率值，寫出分布列即可；（3）根據(jù)獨(dú)立重復(fù)概率公式，以及條件概率公式，即可求解.【小問1詳解】依題意可得，解得；【小問2詳解】結(jié)合（1）的結(jié)論，可得高度在和的頻率分別為0.1和0.15，所以分層抽取的5株中，高度在和的株數(shù)分別為2和3，則可取0，1，2，于是，，，所以的分布列為：012P【小問3詳解】從所有花卉中隨機(jī)抽取3株，記至少有2株高度在為事件，至多1株高度低于23cm為事件，因高度在內(nèi)的頻率為，即，高度在內(nèi)的頻率為，即，高度在內(nèi)的頻率為，即，則，而，所以.18.已知數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，記數(shù)列的前項(xiàng)和為．①求；②若，成立，求的取值范圍．【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法求出通項(xiàng)公式.（2）①由（1）的結(jié)論，利用錯位相減法求出前項(xiàng)和；②由①的結(jié)論，結(jié)合已知分離參數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列，利用不等式確定最大項(xiàng)即可.【小問1詳解】由，得，因此數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式.【小問2詳解】①由（1）得，，，于是，則，，所以.②由，，得，令，不妨設(shè)的第項(xiàng)取得最大值，由，解得，即數(shù)列的最大值為，所以，即的取值范圍是.19.前關(guān)濕地有兩條散步路線，分別記為路線和路線．濕地附近的居民經(jīng)常來此散步，經(jīng)過一段時間的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，前一天選擇路線的居民第二天選擇路線和路線的概率均為；前一天選擇路線的居民第二天選擇路線和路線的概率分別為和．已知居民第一天選擇路線的概率為，選擇路線的概率為．（1）若有4位居民連續(xù)兩天去濕地散步，記第二天選擇路線散步的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望．（2）若某居民每天都去濕地散步，記第天選擇路線的概率為．①請寫出與的遞推關(guān)系；②設(shè)，求證：【答案】（1）（2）①；②證明見解析【解析】【分析】（1）先求居民第二天路線的概率，然后根據(jù)二項(xiàng)分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二項(xiàng)分布期望公式可得期望；（2）（?。┓治?/p>