云南民族大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高2024級(jí)5月月考數(shù)學(xué)試卷（考試時(shí)間120分鐘，滿分150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)/座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚.并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求解集合，再求出集合在中的補(bǔ)集，最后求出集合與的交集.【詳解】已知，因?yàn)?，所?根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于指數(shù)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增.那么由可得，即，所以.已知，，所以.故選：D.2.在某次全市高三模擬考試后，數(shù)學(xué)老師隨機(jī)抽取了6名同學(xué)的第一個(gè)解答題的得分情況如下：7，10，5，8，4，2，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)和分位數(shù)分別為（）A.6，3 B.5，3 C.5，4 D.6，4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出平均數(shù)和分位數(shù)即可.【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由小到大排列這組數(shù)據(jù)：2，4，5，7，8，10，而，則30%分位數(shù)為4.故選：D3.已知，其中為虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的概念可得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由，得，所以，所以.故選：C4.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)，即可根據(jù)周期公式求解.【詳解】，其中為銳角，且，故最小正周期為，故選：A5.設(shè)為兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，與還可能相交；對(duì)于B，還有可能；對(duì)于C，還有可能；對(duì)于D，用反證法可證命題正確.【詳解】對(duì)于A，若，則或與相交.故A不正確；對(duì)于B，若，則或.故B不正確；對(duì)于C，若，則或.故C不正確；對(duì)于D，若，則，命題正確，證明如下：如圖：假設(shè)與不平行，則必相交，設(shè)，設(shè)直線與和分別交于點(diǎn)，在上取一點(diǎn)，連、，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，，所以，又直線、直線、直線在同一平面內(nèi)，所以，這與相矛盾，故假設(shè)不成立，所以.故D正確.故選：D6.已知向量，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)計(jì)算公式，求解即可.【詳解】由題可得：，故，又，，故.故選：D.7.已知定義在上的函數(shù)與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】先推得的對(duì)稱(chēng)性與單調(diào)性，又也關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由對(duì)稱(chēng)性可知方程唯一的根在對(duì)稱(chēng)軸上，代入即可解得.【詳解】因?yàn)?，則，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；又，故可看作由函數(shù)向右平移1個(gè)單位得到，所以的圖象也關(guān)于對(duì)稱(chēng)；又由于函數(shù)與函數(shù)的圖象有唯一公共點(diǎn)，即方程只有一根，因?yàn)閮珊瘮?shù)圖象都關(guān)于對(duì)稱(chēng)，所以方程的根為，即，解得.故選：C．8.如圖，伊麗莎白圈是小動(dòng)物戴在頸子上防止他們自己抓撓傷口和患處或咬傷他人的一種保護(hù)器具，其形狀可看作上下均無(wú)底蓋的圓臺(tái)形物體.某個(gè)伊麗莎白圈的上底面直徑為4分米，下底面直徑為2分米，母線長(zhǎng)為3分米，若要在伊麗莎白圈與寵物接觸的一面進(jìn)行涂層，每平方分米需要消耗5克涂層材料，不考慮伊麗莎白圈的厚度與連接處，則制作該伊麗莎白圈需要消耗涂層材料（）A.克 B.克 C.克 D.克【答案】A【解析】【分析】求出圓臺(tái)的側(cè)面積，計(jì)算得解.【詳解】將伊麗莎白圈看作上下均無(wú)底蓋的圓臺(tái)，則制作該伊麗莎白圈需要涂層的面積等價(jià)于圓臺(tái)的側(cè)面積，圓臺(tái)的側(cè)面積，因?yàn)槊科椒椒置仔枰?克涂層材料，所以制作該伊麗莎白圈需要消耗涂層材料克．故選：A．二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列給出命題正確的是（）A.若為空間的一組基底，則也是空間的一組基底B.點(diǎn)為平面上的一點(diǎn)，且，則C.若直線的方向向量為，平面的法向量，則或D.兩個(gè)不重合的平面的法向量分別是，，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)基底定義可知A錯(cuò)誤；根據(jù)空間向量共面定理知B正確；根據(jù)向量與立體幾何中的垂直與平行的關(guān)系可證得CD正確.【詳解】對(duì)于A，為空間的一組基底，不共線，，，，共面，不能作為空間的一組基底，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，四點(diǎn)共面，，，則，B正確；對(duì)于C，，，或，C正確；對(duì)于D，，，，D正確.故選：BCD.10.銳角三角形中，角所對(duì)的邊分別是，已知，，，則（）A. B.C. D.的面積為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理、余弦定理結(jié)合三角形內(nèi)角和定理和三角形的面積公式逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)榍覟殇J角三角形，所以.根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得：，故A正確.由余弦定理：得：.整理得，又，所以，故B錯(cuò)誤；根據(jù)正弦定理：，故C錯(cuò)誤；因，故D正確.故選：AD11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則（）.A.存在點(diǎn)，使平面 B.不存在點(diǎn)，使四點(diǎn)共面C.三棱錐的體積是定值 D.經(jīng)過(guò)四點(diǎn)的球的表面積為10【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)平行的傳遞性可得，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷A；當(dāng)Q與點(diǎn)重合時(shí)，四點(diǎn)共面，即可判斷B；結(jié)合三棱錐體積公式判斷C；易知經(jīng)過(guò)四點(diǎn)的球即為長(zhǎng)方體的外接球，求出球的半徑即可判斷D.【詳解】連接，當(dāng)是的中點(diǎn)時(shí)，因?yàn)?，所以．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，故A正確，如圖，在正方體中，連接．因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共面，即當(dāng)Q與點(diǎn)重合時(shí)，四點(diǎn)共面，故B錯(cuò)誤，直線上的點(diǎn)到面的距離為2，而，所以是定值，故C正確，設(shè)G,H分別為，的中點(diǎn)，則為長(zhǎng)寬高分別為2，2，1的長(zhǎng)方體，根據(jù)分割補(bǔ)形法知：經(jīng)過(guò)四點(diǎn)的球即為長(zhǎng)方體的外接球，所求球的直徑滿足：，經(jīng)過(guò)四點(diǎn)的球的表面積為，故D錯(cuò)誤．故選：AC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，則___________．【答案】3【解析】【分析】由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化關(guān)系求出，再利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】由，得，所以.故答案為：313.在四棱錐中，平面，四邊形為平行四邊形，且，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】利用線面垂直的性質(zhì)，結(jié)合空間向量數(shù)量積求出異面直線夾角的余弦.【詳解】在四棱錐中，由平面，平面，得，，在中，，，則，，由為的中點(diǎn)，得，，，因此，所以異面直線與所成的角的余弦值為.故答案為：14.內(nèi)一點(diǎn)（見(jiàn)圖1），式子可以寫(xiě)成，這個(gè)式子中、、的系數(shù)均為，以三個(gè)系數(shù)作為邊長(zhǎng)可構(gòu)造一個(gè)等邊三角形，因此我們嘗試把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到（見(jiàn)圖2），所以等于，顯然，當(dāng)、、、四點(diǎn)共線時(shí)（見(jiàn)圖3），最小．試用類(lèi)似的方法解決下面這道題目：已知是平面內(nèi)的任意一個(gè)向量，向量、滿足，且，，則的最小值為_(kāi)_____________．【答案】【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)、、，不妨設(shè)，，，可得，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，可得出，即可得解.【詳解】在如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)、、，不妨設(shè)，，，由題意可得，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則，，其中點(diǎn)，故，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)也與點(diǎn)重合，等號(hào)成立，故的最小值為.故答案為：.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.有900名學(xué)生參加“環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽”，為考察競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取部分學(xué)生的成績(jī)（得分均整數(shù)，滿分為100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)你根據(jù)尚未完成并有局部污損的頻率分面表和頻率分布直方圖（如圖）解釋下列問(wèn)題.分組頻數(shù)頻率40.08

0.1610

160.32

合計(jì)50

（1）填滿頻率分布表；（2）補(bǔ)全頻率分布直方圖；（3）若成績(jī)?cè)趯W(xué)生可以獲得二等獎(jiǎng)，求獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù).【答案】（1）分布表見(jiàn)解析（2）直方圖見(jiàn)解析（3）234【解析】【分析】（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，結(jié)合頻率、頻數(shù)關(guān)系分析運(yùn)算即可；（2）根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)可得頻率分布直方圖；（3）先求成績(jī)?cè)诘念l率，進(jìn)而估計(jì)人數(shù).【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，，，且所有頻率和為1，據(jù)此填滿頻率分布表，如下表所示：分組頻數(shù)頻率40.0880.16100.2160.3212024合計(jì)501【小問(wèn)2詳解】根據(jù)（1）中數(shù)據(jù)可得頻率分布直方圖，如圖所示：【小問(wèn)3詳解】由題意可知：成績(jī)?cè)陬l率為，估計(jì)獲得二等獎(jiǎng)的學(xué)生人數(shù)為.16.如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上.（1）求；（2）若，，求的長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理以及題目中的條件，解得角的值，根據(jù)三角形內(nèi)角和以及正弦和角公式，可得答案.（2）法一：由圖形的性質(zhì)，根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案；法二：先由余弦定理求得的長(zhǎng)，根據(jù)向量數(shù)乘可得線段的長(zhǎng)，利用正弦定理求角以及余弦定理求邊，可得答案.【小問(wèn)1詳解】中，由正弦定理，因?yàn)?，，所以，所以，則.【小問(wèn)2詳解】方法1：因?yàn)?，所以，所以，則.方法2：在中，由余弦定理得，因?yàn)闉榫€段上靠近的三等分點(diǎn)，所以.因?yàn)椋?，因?yàn)闉殇J角，所以，在中，由余弦定理得，，所以.17.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為.（1）求的解析式與單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求方程的所有根的和.【答案】（1），，（2）【解析】【分析】（1）利用恒等變換化簡(jiǎn)后，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)求解；（2）利用圖象變換法則求得的函數(shù)表達(dá)式，解方程求得的值，利用換元思想，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析求得.【小問(wèn)1詳解】，∵圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，∴的最小正周期為，即可得，.又為奇函數(shù)，則，又，∴，故，令，，得，.∴函數(shù)的遞減區(qū)間為，.【小問(wèn)2詳解】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖象，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，又，則或，即或.令，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出的圖象如圖所示：有兩個(gè)根，，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，即，，則，，，在上有兩個(gè)不同的根，，，∴；又的根為0，，，所以方程在內(nèi)所有根的和為.18.如圖，在四棱錐中，側(cè)面平面，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，底面為直角梯形，其中，，，為線段中點(diǎn)，連接．（1）證明：平面；（2）求M到平面的距離；（3）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，證出四邊形為平行四邊形，即可得證.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量以及，因?yàn)槠矫妫訫到平面的距離為到平面的距離，然后利用點(diǎn)到平面的距離向量公式即可求解.（3）求得平面的法向量以及，利用向量夾角公式即可求解．【小問(wèn)1詳解】在四棱錐中，取中點(diǎn)，連接，由為的中點(diǎn)，且，，得，，則四邊形為平行四邊形，，而平面，平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)，連接，，由為等邊三角形，得，而平面平面，平面平面，平面，則平面，由，得四邊形是平行四邊形，于是，而，則，直線兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，又，所以到平面的距離，因?yàn)槠矫?，所以M到平面的距離為到平面的距離，即.【小問(wèn)3詳解】令，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，平面的法向量為，于是，化簡(jiǎn)得，又，解得，即，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值為，.19.如圖，設(shè)，且，當(dāng)時(shí)，定義平面坐標(biāo)系為的斜坐標(biāo)系．在的斜坐標(biāo)系中，任意一點(diǎn)P的斜坐標(biāo)這樣定義：設(shè)，分別為Ox，Oy正方向同向的單位向量，若向量，記向量．在的斜坐標(biāo)系中．（1）若向量，求．（2）已知向量，，證明：．（3）若向量，的斜坐標(biāo)分別為和，，設(shè)函數(shù)，，．①證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)．②比較與的大小，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）（2）證明解析.（3），理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）（2）直接利用提干信息進(jìn)行計(jì)算；（3）①先化簡(jiǎn)出，然后分別討論在，，三個(gè)區(qū)間的正負(fù)，然后利用零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)是否存在以及有多少個(gè)；②利用①將化成，從而根據(jù)的范圍判斷與的大小.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橄蛄?，所以?/p>