高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省煙臺(tái)市2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期中學(xué)業(yè)水平診斷數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，所?故選：C.2.命題“，”的否定為（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題知：命題“，”的否定為“，”故選：B.3.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，解得，則其定義域?yàn)?故選：A.4.下列各組函數(shù)中是同一個(gè)函數(shù)的是（）A.與B.與C.與D.與【答案】C【解析】A：，定義域相同但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；B：的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；C：，定義域均為R，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，故是同一個(gè)函數(shù)；D：中，所以定義域?yàn)?，中，其定義域?yàn)?，所以定義域不同，故不是同一個(gè)函數(shù)；故選：C.5.已知，則的最小值為（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取到最小值.故選：D.6.已知函數(shù)與在同一坐標(biāo)系下的大致圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】從題圖的圖象可知，函數(shù)的圖象分布在第二、四象限，則，一次函數(shù)在上單調(diào)遞增，且與軸的交點(diǎn)位于正半軸上，則，，所以，二次函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，且，二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)位于正半軸上，D選項(xiàng)中的圖象合乎題意.故選：D.7.已知是定義在上的偶函數(shù)，，且對(duì)，都有，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因?yàn)閷?duì)，都有，所以在上單調(diào)遞增，又是定義在上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，又，所以，則不等式可轉(zhuǎn)換為，所以或，解得或，則不等式的解集為.故選：B8.若集合的三個(gè)子集滿足，則稱為集合的一組“親密子集”.已知集合，則的所有“親密子集”的組數(shù)為（）A.9 B.12 C.15 D.18【答案】D【解析】〖祥解〗先確定出的子集，然后根據(jù)集合中元素個(gè)數(shù)分類討論，由此可求結(jié)果.【詳析】的所有子集有：；（1）若，為單元素集合，為雙元素集合，符合要求的有：，，，，，，共組；（2）若，為單元素集合，為三元素集合，符合要求的有：，，，共組；（3）若，為雙元素集合，為三元素集合，符合要求的有：，，，共組；（4）若為單元素集合，為雙元素集合，為三元素集合，符合要求的有：，，，，，，共組；綜上所述，滿足要求的“親密子集”一共有組.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知均為實(shí)數(shù)，下列命題正確有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)椋裕?，所以，所以選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椴灰欢檎龜?shù)，例如：，但，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，易知，根?jù)不等式性質(zhì)，可知，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.在上單調(diào)遞減 B.的值域?yàn)镃.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱【答案】BD【解析】根據(jù)題意可知，易知將奇函數(shù)向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位可得，畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：可得在和1,+∞上是分別單調(diào)遞減的，不能用并集表示，即A錯(cuò)誤；由圖可知，的值域?yàn)?，即B正確；的圖象不是軸對(duì)稱圖形，可知C錯(cuò)誤；依據(jù)奇函數(shù)平移規(guī)則可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即D正確.故選：BD11.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑓^(qū)間，若存在非零常數(shù)，使得對(duì)任意，，都有，則稱函數(shù)是區(qū)間上的“衰減函數(shù)”.下列說(shuō)法正確的有（）A.函數(shù)是上的“衰減函數(shù)”B.若函數(shù)是上的“衰減函數(shù)”，則的最大值為1C.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若是上的“衰減函數(shù)”，則的最大值為D.已知函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，若是上的“衰減函數(shù)”，則的最小值為【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，定義域是，，時(shí)，，，即，滿足，A正確；選項(xiàng)B，，是上的“衰減函數(shù)”，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，，則，，即，，時(shí)，恒成立，而，所以，即的最大值是2，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，f(x)=x-a-a(a>0)，作出的大致圖象，如圖，把它向左平移1個(gè)單位得的圖象，是上的“衰減函數(shù)”，則在區(qū)間上的圖象在圖象的下方，原點(diǎn)必須平移到點(diǎn)左側(cè)，因此，解得，的最大值是，C正確；選項(xiàng)D，函數(shù)為奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，f(x)=x-a-a(a>0)，作出的大致圖象，如圖，把它向左平移1個(gè)單位得的圖象，是上的“衰減函數(shù)”，則在區(qū)間上的圖象在圖象的下方，原點(diǎn)平移到點(diǎn)，該點(diǎn)不能在左側(cè)，圖中點(diǎn)所在上的表達(dá)式為，在上表達(dá)式為,由得，點(diǎn)橫坐標(biāo)不大于，因此有，解得，即的最小值是，D正確．故選：ACD．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為________.【答案】0【解析】由題意可得，即，整理可得，即.故答案為：13.若函數(shù)的最小值為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，關(guān)于對(duì)稱，若最小值為，可知，即可得；又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；若最小值為可得，即，解得；綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：14.已知函數(shù)在上的最大值為5，則的值為________；令，，若用（且）將區(qū)間分成4個(gè)小區(qū)間，且恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為________.【答案】①.1②.5【解析】易知關(guān)于對(duì)稱，且開口向上，所以函數(shù)在上的最大值為，解得；依題意可得，記當(dāng)時(shí)，可知；若，即；可得；若，可得當(dāng)時(shí)，可知，；若，可得；若，可得；當(dāng)時(shí)，可知,；若，可得；若，可得；當(dāng)時(shí)，可知,；可得；綜上可得，實(shí)數(shù)的最小值為5.故答案為：1；5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.設(shè)集合，.（1）若，求；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由得，，所以.當(dāng)時(shí)，，，所以或.（2）令，得，因?yàn)椋獾?，所以，因?yàn)椤啊笔恰啊钡某浞植槐匾獥l件，所以，所以且等號(hào)不同時(shí)成立，解得.16.已知函數(shù)（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，是單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，的對(duì)稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，若函數(shù)為上的增函數(shù)，只需，解得.（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，對(duì)稱軸為，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以；當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以；綜上所述，當(dāng)時(shí)，的最小值為；當(dāng)時(shí)，的最小值為.17.已知某工廠生產(chǎn)一種電子元件，每年需投入固定成本5萬(wàn)元，當(dāng)年產(chǎn)量為（單位：萬(wàn)件）時(shí)，需額外投入可變成本（單位：萬(wàn)元）.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，每個(gè)元件售價(jià)為7元；在年產(chǎn)量不超過(guò)8萬(wàn)件時(shí)，；在年產(chǎn)量超過(guò)8萬(wàn)件時(shí)，.假設(shè)該元件的年銷量等于年產(chǎn)量.（注：年利潤(rùn)年銷售收入固定成本可變成本）（1）求年利潤(rùn)關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)解析式；（2）當(dāng)為何值時(shí)，年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？解：（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”.因?yàn)?，?dāng)該電子元件的年產(chǎn)量為6萬(wàn)件時(shí)，最大年利潤(rùn)為13萬(wàn)元.18.若定義在上的函數(shù)滿足.（1）求函數(shù)的解析式；（2）用定義法證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).利用上述結(jié)論，求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.（注：）（1）解：由，得，聯(lián)立消去得：，即，所以函數(shù)解析式是.（2）證明：任取且，則由，得，，，，因此，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.（3）設(shè)函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為，則函數(shù)為奇函數(shù)，于是，，而，因此，對(duì)任意恒成立，則，且，解得，，所以函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為.19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)定義域內(nèi)任意x，y都有.（1）設(shè)，證明：函數(shù)為偶函數(shù)；（2）若滿足：當(dāng)時(shí)，.（i）求不等式的解集；（ii）若，使得對(duì)，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（1）證明：由，得，令，得，所以.令，得，所以令