第27課時與圓有關(guān)的位置關(guān)系1.(2024·上海)在△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,點P在△ABC內(nèi),分別以A,B,P為圓心畫圓,圓A半徑為1,圓B半徑為2,圓P半徑為3,圓A與圓P內(nèi)切,圓P與圓B的關(guān)系是 ()A.內(nèi)含 B.相交 C.外切 D.相離2.(2024·邯鄲模擬)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,過格點A,B,C作一圓弧,點B與下列格點的連線中,能夠與該圓弧相切的是 ()A.點(0,3) B.點(1,3) C.點(6,0) D.點(6,1)3.(2024·福建)如圖,已知點A,B在☉O上,∠AOB=72°,直線MN與☉O相切,切點為C,且C為AB的中點,則∠ACM等于()A.18° B.30° C.36° D.72°4.(2024·石家莊橋西區(qū)二模)如圖,在△ABC中,AB=8,AC=6,O為△ABC的內(nèi)心,若△ABO的面積為20,則△ACO的面積為()A.20 B.15 C.18 D.125.(2024·瀘州)如圖,EA,ED是☉O的切線,切點為A,D,點B,C在☉O上,若∠BAE+∠BCD=236°,則∠E= ()A.56° B.60° C.68° D.70°6.(2024·張家口一模)如圖,O是△ABC的角平分線BO,CO的交點,請用∠A表示∠O.某同學(xué)的做法如下:∵O是△ABC的角平分線BO,CO的交點,∴∠1=12∠ABC,∠2=12∠∴∠1+∠2=12∠ABC+12∠ACB=12(∠ABC+∠又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,∴∠1+∠2=12(180°-∠A)=90°-12∠∴在△BOC中,∠O=180°-(∠1+∠2)=180°-90°-12∠A=下列說法正確的是 ()A.該同學(xué)的做法只用了一次“三角形內(nèi)角和定理”B.該結(jié)論只適用于銳角三角形C.若把“O是△ABC的角平分線BO,CO的交點”替換為“O是△ABC的外心”,該結(jié)論不變D.若把“O是△ABC的角平分線BO,CO的交點”替換為“O是△ABC的內(nèi)心”,該結(jié)論不變7.(2024·唐山一模)如圖,AB是半圓O的直徑,點C,D將弧AB分成相等的三段弧,點M在AB的延長線上,連接MD.三個人給出以下說法:甲:若MD為半圓O的切線,則能得出∠OMD=30°;乙:若連接AC,CD,則∠ACD=130°;丙:若連接AC,BD,則AC=BD.三位同學(xué)給出的結(jié)論正確的是 ()A.甲和乙 B.乙和丙C.甲和丙 D.只有甲8.如圖,AB是☉O的直徑,AC與☉O相切,A為切點,連接BC.已知∠ACB=50°,則∠B的度數(shù)為.

9.(2024·涼山州)如圖,☉M的圓心為M(4,0),半徑為2,P是直線y=x+4上的一個動點,過點P作☉M的切線,切點為Q,則PQ的最小值為.

10.如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB于點F,過A點作☉O的切線m,在m上取一點P,使PA=PD.直線DP與BA的延長線交于點Q,QD=33,QA=3.(1)求證:直線QD是☉O的切線.(2)求☉O的半徑和DC的長.1.(2024·廣州)如圖,☉O中,弦AB的長為43,點C在☉O上,OC⊥AB,∠ABC=30°.☉O所在的平面內(nèi)有一點P,若OP=5,則點P與☉O的位置關(guān)系是 ()A.點P在☉O上 B.點P在☉O內(nèi)C.點P在☉O外 D.無法確定2.數(shù)學(xué)文化劉徽(今山東濱州人)是魏晉時期我國偉大的數(shù)學(xué)家,他在注釋《九章算術(shù)》時十分重視一題多解,其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo),他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式.如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB,BC,CA的長分別為c,a,b.則可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的內(nèi)切圓直徑d,下列表達(dá)式錯誤的是 ()A.d=a+b-c B.d=2C.d=2(D.d=|(a-b)(c-b)|3.如圖,在△ABC中,AC=2,BC=1,∠ACB=90°,點D為邊AB上一動點(點D與點A,B不重合),過點D作DE⊥AC,連接CD.(1)△CDE外接圓的直徑的最小值是.

(2)△CDE內(nèi)切圓的半徑的最大值是.

【詳解答案】基礎(chǔ)夯實1.B解析:∵圓A的半徑為1,圓P半徑為3,圓A與圓P內(nèi)切,∴圓A在圓P內(nèi),即PA=3-1=2,∴P在以A為圓心、2為半徑的圓與△ABC相交形成的弧上運動,如圖所示:∴當(dāng)P運動到P'位置時,圓P與圓B圓心距離PB最大,為12∵17<3+2=5,圓P與圓B圓心距最小為3,∴圓P與圓B相交,故選B.2.B解析:如圖,∵過格點A,B,C作一圓弧,∴三點組成的圓的圓心為:O'(2,0),∵只有∠O'BD+∠EBF=90°時,BF與圓相切,∴△BO'D≌△FBE,∴EF=BD=2,∴點F的坐標(biāo)為(5,1),直線BF過點(1,3),∴點B與格點(1,3)的連線能夠與該圓弧相切.故選B.3.A解析:∵C為AB的中點,∠AOB=72°,∴∠AOC=∠BOC=36°,∵OA=OC,∴∠ACO=∠OAC=72°,∵直線MN與☉O相切,切點為C,∴∠OCM=90°,∴∠ACM=∠OCM-∠ACO=90°-72°=18°.故選A.4.B解析:∵O為△ABC的內(nèi)心,∴點O到AB,AC的距離相等,∴S△AOB∶S△AOC=AB∶AC=8∶6=4∶3.∵△ABO的面積為20,∴△ACO的面積為15.故選B.5.C解析:如圖,連接AD,∵四邊形ABCD是☉O的內(nèi)接四邊形,∴∠BAD+∠BCD=180°,∵∠BAE+∠BCD=236°,∴∠EAD+∠BAD+∠BCD=∠EAD+180°=236°,∴∠EAD=56°,∵EA,ED是☉O的切線,切點為A,D,∴EA=ED,∴∠EDA=∠EAD=56°,∴∠E=180°-∠EDA-∠EAD=180°-56°-56°=68°.故選C.6.D解析:A.該同學(xué)的做法中,兩次利用三角形內(nèi)角和定理,因此選項A不符合題意;B.該結(jié)論適用于所有三角形,因此選項B不符合題意;C.若把“O是△ABC的角平分線BO,CO的交點”替換為“O是△ABC的外心”,其結(jié)論變?yōu)椤螼=2∠A,因此選項C不符合題意;D.△ABC的內(nèi)心就是三條內(nèi)角平分線的交點,與原題相同,因此其結(jié)論不變,所以選項D符合題意.故選D.7.C解析:如圖,甲:連接OD,OC,∵點C,D將弧AB分成相等的三段弧,∴AC=∴∠AOC=∠COD=∠DOB=60°,∵M(jìn)D為半圓O的切線,OD是半徑,∴∠ODM=90°,∴∠OMD=30°,故甲正確;乙:連接AC,CD,∵OD,OC是半徑,∠AOC=∠COD=60°,∴△AOC,△DOC都是等邊三角形,∴∠ACO=∠DCO=60°,∴∠ACD=120°,故乙錯誤;丙:連接AC、BD,∵AC=∴AC=BD,故丙正確,∴結(jié)論正確的是甲和丙.故選C.8.40°解析:∵AB是☉O的直徑,AC與☉O相切,A為切點,∴BA⊥AC,∴∠BAC=90°,∵∠ACB=50°,∴∠B=90°-50°=40°.9.27解析:如圖,連接MP,MQ,∵PQ是☉M的切線,∴MQ⊥PQ,∴PQ=PM∴當(dāng)PM最小時,PQ最小,當(dāng)MP⊥AB時,MP最小,易知直線y=x+4與x軸的交點A的坐標(biāo)為(-4,0),與y軸的交點B的坐標(biāo)為(0,4),∴OA=OB=4,∴∠BAO=45°,AM=8,當(dāng)MP⊥AB時,MP=AM·sin∠BAO=8×22=42∴PQ的最小值為:(42)10.解:(1)證明:如圖,連接OP,OD,∵直線m與☉O相切,∴OA⊥AP,∴∠OAP=90°,在△OAP和△ODP中,OA=∴△OAP≌△ODP(SSS),∴∠ODP=∠OAP=90°,∴OD⊥QD,∵OD是☉O的半徑,∴直線QD是☉O的切線.(2)設(shè)☉O的半徑為r,∵∠ODQ=90°,∴OQ2=DQ2+OD2,∴(3+r)2=r2+(33)2,∴r=3,∵tan∠DOQ=QDOD∴∠DOQ=60°,∴DF=OD·sin∠DOQ=3×sin60°=33∵CD⊥AB,∴DC=2DF=2×332=3能力提升1.C解析:如圖,設(shè)AB與OC交于點D,∵弦AB的長為43,OC⊥AB,∴AD=BD=12AB=23∵∠ABC=30°,∴∠AOD=2∠ABC=60°,∴∠A=90°-60°=30°,∴OA=2OD,設(shè)OD=x,則OA=2x,在Rt△AOD中,OD2+AD2=OA2,即x2+(23)2=(2x)2,解得x=±2(負(fù)值舍去),∴OA=2x=4,∵OP=5,∴OP>OA,∴點P在圓O外.故選C.2.D解析:如圖,過點O作OE⊥AC于點E,OD⊥BC于點D,OF⊥AB于點F.易證四邊形OECD是正方形,設(shè)OE=OD=OF=r,則EC=CD=r,∴AE=AF=b-r,BD=BF=a-r,∵AF+BF=AB,∴b-r+a-r=c,∴r=a+∴d=a+b-c.故選項A正確.∵S△ABC=S△∴12ab=12ar+12br+∴ab=r(a+b+c),∴r=aba+b+c,即d=2∵由前面可知d=a+b-c,∴d2=(a+b-c)2=(a+b)2-2c(a+b)+c2=a2+2ab+b2-2ac-2bc+c2,∵a2+b2=c2,∴上述式子=2c2+2ab-2ac-2bc=2(c2+ab-ac-bc)=2[(c2-ac)+b(a-c)]=2(c-a)(c-b),∴d=2(c-a)(排除法可知選項D錯誤.故選D.3.(1)255解析:(1)∵DE⊥CE,∴CD就是△CDE外接圓的直徑,∵D在AB上,∴當(dāng)CD⊥AB時,CD最小,在Rt△ABC中,AB=AC∴CD=AC·(2)取△CDE的內(nèi)心O,過點O作OF⊥CD于點F,OM⊥DE于點M,ON⊥CE于點N,如圖.設(shè)OM=ON=OF=r,DE=x,根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)可知,DF=DM,CF=CN,EM=EN,∵∠DEC=90°,∴四邊形ENOM為正