北京大學(xué)高數(shù)題庫及答案

單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=x^2\)在\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=\)（）A.0B.1C.-1D.不存在3.曲線\(y=e^x\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\((0,+\infty)\)D.無4.不定積分\(\intxdx=\)（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)5.函數(shù)\(z=x^2+y^2\)在點(diǎn)\((1,1)\)處關(guān)于\(x\)的偏導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.46.定積分\(\int_{0}^{1}x^2dx=\)（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{1}{4}\)D.\(\frac{1}{5}\)7.下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\sinx\)D.\(y=e^x\)8.極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x+1}{2x-1}=\)（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.0D.不存在9.函數(shù)\(y=\lnx\)的定義域是（）A.\((-\infty,0)\)B.\((0,+\infty)\)C.\((-\infty,+\infty)\)D.\([0,+\infty)\)10.曲線\(y=x^3-3x\)的拐點(diǎn)是（）A.\((0,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,2)\)D.\((2,2)\)多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列哪些是基本初等函數(shù)（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)2.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)可導(dǎo)的充分必要條件是（）A.左導(dǎo)數(shù)存在B.右導(dǎo)數(shù)存在C.左導(dǎo)數(shù)等于右導(dǎo)數(shù)D.函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)3.下列積分運(yùn)算正確的有（）A.\(\int\cosxdx=\sinx+C\)B.\(\int\sinxdx=-\cosx+C\)C.\(\inte^xdx=e^x+C\)D.\(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C\)4.關(guān)于函數(shù)\(y=x^3\)說法正確的是（）A.奇函數(shù)B.單調(diào)遞增C.有極值點(diǎn)D.圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱5.多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)的偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}\)的求法有（）A.把\(y\)看成常數(shù)對(duì)\(x\)求導(dǎo)B.用定義求導(dǎo)C.先對(duì)\(x\)求導(dǎo)再對(duì)\(y\)求導(dǎo)D.先對(duì)\(y\)求導(dǎo)再對(duì)\(x\)求導(dǎo)6.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\sin\frac{1}{x}\)7.函數(shù)\(f(x)\)的駐點(diǎn)可能是（）A.極值點(diǎn)B.最值點(diǎn)C.拐點(diǎn)D.間斷點(diǎn)8.以下哪些是定積分的性質(zhì)（）A.\(\int_{a}^kf(x)dx=k\int_{a}^f(x)dx\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\int_{a}^[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^f(x)dx+\int_{a}^g(x)dx\)C.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^f(x)dx\)（\(a<c<b\)）9.函數(shù)\(y=\sqrt{4-x^2}\)的定義域是（）A.\([-2,2]\)B.\((-2,2)\)C.\((-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)D.\(\{x|-2\leqx\leq2\}\)10.關(guān)于曲線\(y=\frac{1}{x}\)說法正確的是（）A.定義域?yàn)閈(x\neq0\)B.是奇函數(shù)C.圖像在一、三象限D(zhuǎn).有漸近線判斷題（每題2分，共10題）1.函數(shù)\(y=|x|\)在\(x=0\)處可導(dǎo)。（）2.若\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)導(dǎo)數(shù)恒為0，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)是常數(shù)函數(shù)。（）3.定積分的值只與被積函數(shù)和積分區(qū)間有關(guān)，與積分變量的符號(hào)無關(guān)。（）4.多元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點(diǎn)\((x_0,y_0)\)連續(xù)，則在該點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)一定存在。（）5.函數(shù)\(y=x^2+1\)沒有拐點(diǎn)。（）6.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim_{x\tox_0}g(x)\)不存在，則\(\lim_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)不存在。（）7.不定積分\(\intf(x)dx\)的結(jié)果是唯一的。（）8.函數(shù)\(y=\sin^2x\)的周期是\(\pi\)。（）9.曲線\(y=e^{-x}\)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減。（）10.函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)處的切線斜率等于\(f'(x_0)\)。（）簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述函數(shù)極限的定義。答：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在點(diǎn)\(x_0\)的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)\(A\)，對(duì)于任意給定的正數(shù)\(\varepsilon\)，總存在正數(shù)\(\delta\)，使得當(dāng)\(x\)滿足\(0<|x-x_0|<\delta\)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值\(f(x)\)都滿足\(|f(x)-A|<\varepsilon\)，那么常數(shù)\(A\)就叫做函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_0\)時(shí)的極限。2.求函數(shù)\(y=x^3-2x^2+1\)的導(dǎo)數(shù)。答：根據(jù)求導(dǎo)公式\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)，\(y^\prime=(x^3-2x^2+1)^\prime=3x^2-4x\)。3.簡(jiǎn)述定積分與不定積分的聯(lián)系。答：不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算，是一族原函數(shù)。定積分是積分和的極限，其值是一個(gè)常數(shù)。牛頓-萊布尼茨公式建立了兩者聯(lián)系，若\(F(x)\)是\(f(x)\)的一個(gè)原函數(shù)，則\(\int_{a}^f(x)dx=F(b)-F(a)\)。4.求函數(shù)\(z=x^2y+xy^2\)關(guān)于\(x\)和\(y\)的偏導(dǎo)數(shù)。答：把\(y\)看成常數(shù)對(duì)\(x\)求導(dǎo)，\(\frac{\partialz}{\partialx}=2xy+y^2\)；把\(x\)看成常數(shù)對(duì)\(y\)求導(dǎo)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=x^2+2xy\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)的單調(diào)性、奇偶性、漸近線。答：?jiǎn)握{(diào)性：在\((-\infty,1)\)和\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減。奇偶性：非奇非偶函數(shù)。漸近線：\(x=1\)是垂直漸近線，\(y=0\)是水平漸近線。2.討論多元函數(shù)\(z=x^2+y^2\)的極值情況。答：求偏導(dǎo)數(shù)\(\frac{\partialz}{\partialx}=2x\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=2y\)，令偏導(dǎo)數(shù)都為0，得駐點(diǎn)\((0,0)\)。\(A=\frac{\partial^2z}{\partialx^2}=2\)，\(B=\frac{\partial^2z}{\partialx\partialy}=0\)，\(C=\frac{\partial^2z}{\partialy^2}=2\)，\(AC-B^2=4>0\)且\(A>0\)，所以\((0,0)\)是極小值點(diǎn)，極小值為0。3.討論極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}\)的求解思路。答：利用極限的運(yùn)算法則，\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=\lim_{x\to\infty}\sinx\cdot\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)。因?yàn)閈(|\sinx|\leq1\)有界，\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\)，根據(jù)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小，所以\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=0\)。4.討論函數(shù)\(y=\ln(x^2-1)\)的定義域及單調(diào)區(qū)間。答：定義域：\(x^2-1>0\)，即\(x<-1\)或\(x>1\)。求導(dǎo)\(y^\prime=\frac{2x}{x^2-1}\)，令\(y^\prime>0\)得\(x>1\)或\(x<-1\)時(shí)遞增區(qū)間為\((1,+\infty)\)，\((-\infty,-1)\)；令\(y^\prime<0\)得遞減區(qū)間為\((-1,0)\)，\((0,1)\)（舍去不在定義域部分），所以遞增區(qū)間\((1,+\infty)\)，\