/山東省淄博市2024-2025學(xué)年高二下冊3月質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試卷一．單項選擇題（本大題共8題，每小題5分，共計40分.每小題列出的四個選項中只有一項是最符合題目要求的）1.已知等差數(shù)列，其前項和為，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.27【正確答案】C【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)，結(jié)合前項和公式計算即得.【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，所以.故選：C.2.在正項等比數(shù)列中，為其前項和，若，，則的值為（）A50 B.70 C.90 D.110【正確答案】B【分析】利用等比數(shù)列的片段和性質(zhì)列式計算即可.【詳解】由等比數(shù)列的片段和性質(zhì)得，，成等比數(shù)列所以所以，解得.故選：B.3.函數(shù)的圖象如圖所示，則下列不等關(guān)系中正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義和割線的斜率可得三者之間的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)，由圖可得，而，故，故選：C.4.數(shù)列中，已知對任意自然數(shù)，，則等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)條件，利用與，求得，進而得到，再利用等比數(shù)列的前項和公式，即可求解.【詳解】因為①，當(dāng)時，②，①-②得，，又，滿足，所以，所以，所以.故選：C.5.在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過其關(guān)”．其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為378里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，則此人后3天共走的里程數(shù)為（）A.6 B.18 C.28 D.42【正確答案】D【分析】設(shè)第天走里，其中，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式求出的值，然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得此人后天共走的里程數(shù)．【詳解】設(shè)第天走里，其中，由題意可知，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，，解得，所以，此人后三天所走的里程數(shù)為．故選：D．6.設(shè)是等差數(shù)列的前項和，，，當(dāng)取得最小值時，（）A.1 B.4 C.7 D.8【正確答案】D【分析】由等差數(shù)列的基本量法求得和，得前項和，確定的單調(diào)性，找到中相鄰項是一正一負的兩項，比較絕對值大小可得結(jié)論．【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得，解得，，由于，，即時，時，，所以時，遞減，時，遞增，其中，由的表達式得，，，所時，最小．故選：D．7.把正整數(shù)按一定的規(guī)律排成三角形數(shù)陣，如圖所示.設(shè)是這個三角形數(shù)陣中從上往下數(shù)第行、從左往右數(shù)第個數(shù)，如，若，則與的和為（）A.109 B.110 C.111 D.112【正確答案】B【分析】分析得到奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)行，為第個奇數(shù)，利用等差數(shù)列求和得到前個奇數(shù)行和前個奇數(shù)行的奇數(shù)個數(shù)，確定在第行，且在第列，求出，得到答案.【詳解】由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù)列，偶數(shù)行為偶數(shù)列，且第行有個數(shù)，記為第個奇數(shù)，則，又，所以為第個奇數(shù)，又前個奇數(shù)行，共有奇數(shù)，又前個奇數(shù)行，共有奇數(shù)，則，，故在第行，且列，即，所以.故選：B.8.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和，后來人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，記為數(shù)列的前項和，則下列結(jié)論正確的為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】依題意可得，，，利用遞推公式一一驗證即可.【詳解】依題意，，，，，，，故A錯誤；當(dāng)時，，，上述三式相加可得，故B錯誤；，故C錯誤；，故D正確.故選：D二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.）9.下列命題正確有（）A.已知函數(shù)在上可導(dǎo)，若，則B.已知函數(shù)，若，則C.D.設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則【正確答案】BD【分析】通過導(dǎo)數(shù)的概念可判斷選項，對復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)然后計算可判斷選項，直接用除法的求導(dǎo)法則可判斷選項，對于選項直接求導(dǎo)然后代數(shù)解方程即可.【詳解】對于因為函數(shù)在上可導(dǎo)，且，所以，故錯誤.對于因為，若則，即，故正確.對于因為，故錯誤.對于因為,故，故，正確.故選:10.已知等比數(shù)列的前n項和為，且是與的等差中項，數(shù)列滿足，數(shù)列的前n項和為，則下列命題正確的是（）A.數(shù)列的通項公式為 B.C. D.的取值范圍是【正確答案】BCD【分析】由等比數(shù)列的基本量法求得公比和，然后可得通項公式，由等比數(shù)列前項和公式得，求出后用裂項相消法求得和，由的單調(diào)性得其取值范圍，判斷各選項．【詳解】，所以，，又，，2，所以，A錯；，B正確；，，C正確；易知是關(guān)于遞增函數(shù)，所以，又，所以，D正確．故選：BCD．11.設(shè)數(shù)列前n項和為，且，若，則下列結(jié)論正確的有（）A. B.數(shù)列單調(diào)遞減C.當(dāng)時，取得最小值 D.時，n的最小值為7【正確答案】AC【分析】根據(jù)已知條件及累加法求數(shù)列的前n項和為，利用與的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，再結(jié)合已知條件逐項判斷即可求解．詳解】由，得，，解得，當(dāng)時，滿足上式，所以當(dāng)時，所以，故A正確；當(dāng)時，單調(diào)遞增，又所以數(shù)列單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，取得最小值，故B錯誤，C正確；又故D錯誤．故選：AC．三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線在點處的切線方程為________________________【正確答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點處的切線斜率，再由點斜式方程可得結(jié)果.【詳解】由可得，因此在點處的切線斜率為,因此切線方程為，即.故13.設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，若，則______．【正確答案】1【分析】利用等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和公式計算作答.【詳解】在等差數(shù)列中，，所以．故114.已知數(shù)列的前項和為，且，設(shè)函數(shù)，則___________，___________.【正確答案】①.②.##【分析】根據(jù)，作差即可求出的通項公式，再由的解析式及誘導(dǎo)公式得到，再利用倒序相加法求和.【詳解】解：由于，①，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，，②，①②得：，所以，顯然時也成立，當(dāng)時，，當(dāng)時也成立，所以；根據(jù)函數(shù)，所以，，所以；所以．故；四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在數(shù)列中，，且（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和．【正確答案】（1）證明見解析，；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知有且，，即可證結(jié)論，應(yīng)用等比數(shù)列定義寫出通項公式；（2）應(yīng)用分組求和及等差、等比數(shù)列的前n項和公式求.【小問1詳解】由，則且，而，所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則，所以.【小問2詳解】由（1）知.16.已知數(shù)列為等比數(shù)列，其前項和為，且滿足.（1）求的值及數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【正確答案】（1），（2）【分析】（1）當(dāng)時，，兩式相減得，由，可求出的值；（2）由（1）知，由絕對值的定義結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式即可求出數(shù)列的前項和.【小問1詳解】因為，所以時，，所以.又由數(shù)列為等比數(shù)列，所以.又因為，所以，綜上.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以.17.已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和為；（3）若的前項和為，求證.【正確答案】（1），（2）（3）證明見解析【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列的通項公式直接求解即可；（2）利用錯位相減法求解數(shù)列的前項和；（3）結(jié)合等差數(shù)列前項和公式，即可得證.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因為，可得，又因為，解得，所以，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因為，可得，解得，所以.【小問2詳解】因為，所以，則，兩式作差得：，則，整理.【小問3詳解】因為的前項和，則，，又，所以.18.已知數(shù)列對于任意的均有；數(shù)列的前項和為，且，．（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）令為數(shù)列的前項和，且恒成立，求的最大值．【正確答案】（1）；（2）10【分析】（1）根據(jù)數(shù)列的遞推式，采用兩式相減的方法可求得其通項公式，根據(jù)可證明數(shù)列為等比數(shù)列，即可求得其通項公式.（2）利用（1）結(jié)果可求得的通項，繼而求得，將恒成立，化為，即，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性，即可求得答案.【小問1詳解】因為——①當(dāng)時，，當(dāng)時，——②由①—②有：，所以時，，經(jīng)檢驗當(dāng)時，，符合上式，所以.因為，，當(dāng)，當(dāng)時，，又因為，所以數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，因為，令，則，因為，，所以當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增；又因為，所以，即，可得的最大值為10.19.已知等比數(shù)列為單增數(shù)列，，是與的等差中項，（1）求（2）若不等式對恒成立，求的取值范圍；（3）項數(shù)為的數(shù)列滿足，，我們將稱為n項對稱數(shù)列，如數(shù)列1，2，2，1稱為4項對稱數(shù)列，1，2，3，2，1稱為5項對稱數(shù)列．記數(shù)列為項的對稱數(shù)列，是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列的最大項為，記前項的和為，，求k的值．【正確答案】（1）；（2）；（3）或5.【分析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，根據(jù)等差中項的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的基本量列式求解即可；（2）根據(jù)題設(shè)可得，討論的奇偶性及數(shù)列的單調(diào)性研