/山東省淄博市二校聯(lián)考2024_2025學年高一下冊第一次模塊考試數(shù)學試卷一、單選題1．若復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A．2 B．1 C．i D．2．已知向量，若向量與平行，則實數(shù)（

）A． B． C．2 D．3．在中，角的對邊長分別為.若，則（

）A．17 B．7 C．34 D．134．已知角的終邊過點，則的值為（

）A． B． C． D．5．已知正四棱臺的上、下底面邊長分別為7，9，體積為193，則該正四棱臺的側(cè)棱長為（

）A． B． C． D．6．如下圖，在三棱錐中，點，分別為棱，的中點，為線段上的點，若，且滿足平面，則（

）A． B． C．1 D．27．如圖，在中，為邊上靠近點的四等分點，，，的面積為，則等于（

）

A． B． C． D．8．已知正六邊形ABCDEF的邊長為3，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為1，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的最大值是（

）A． B．8 C． D．10二、多選題9．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，下列命題中為假命題的是（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，，則 D．若，，則10．已知函數(shù)的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗蟮玫?，再將的圖象向右平移個單位，得到，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)的解析式為B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．在區(qū)間上單調(diào)遞增D．若關于x的方程在上有1個實數(shù)根，則11．已知函數(shù)，，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．當時，函數(shù)的值域為C．當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為D．當時，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有個零點，則三、填空題12．復數(shù)的模是.四、解答題13．如圖，在等腰中，底邊，D，E是腰AC上的兩個動點，且形，則當取得最小值時，的值為.五、填空題14．已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時，．六、解答題15．已知為單位向量，且與的夾角為60°.（1）求的值；（2）若向量與的夾角為銳角，求實數(shù)的取值范圍.16．如圖，正方形ABCD為圓柱OO′的軸截面，EF是圓柱上異于AD,BC的母線，M,N分別是DE,BF的中點，AB=2（1）證明：MN//平面ABE（2）設平面BDE與圓O′所在平面的交線為l，證明：l//平面17．已知平面向量.（1）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間；（2）當時，求函數(shù)的最小值及此時的值.18．如圖1，設半圓的半徑為2，點B，C三等分半圓，P，M，N分別是OA，OB，OC的中點，將此半圓以OA為母線卷成一個圓錐（如圖2）.在圖2中完成下列各題.（1）求證：平面平面ABC.（2）求四面體ACMN的體積.（3）若D是AN的中點，在線段OB上是否存在一點E，使得平面ABC？若存在，求的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說明理由19．我們知道，三角形中存在諸多特殊位置的點，并且這些特殊點都具備一定的特殊性質(zhì).意大利學者托里拆利在研究時發(fā)現(xiàn)：在三角形的三邊分別向其外側(cè)作等邊三角形，這三個等邊三角形的外接圓交于一點，該點即稱為托里拆利點（以下簡稱“點”）.通過研究發(fā)現(xiàn)三角形中的“點”滿足到三角形三個頂點的距離和最小.當?shù)娜齻€內(nèi)角均小于時，使得的點即為“點”；當有一個內(nèi)角大于或等于時，最大內(nèi)角的頂點為“點”.試用以上知識解決下面問題:已知的內(nèi)角所對的邊分別為.（1）若，則①求；②若，設點為的“點”，求；（2）若，設點為的“點”，，求實數(shù)的最小值.

答案1．【正確答案】B【詳解】由，可得，所以的虛部為1.故選B.2．【正確答案】C【詳解】，因為向量與平行，所以，解得：，故選C3．【正確答案】A【詳解】由，易得，由由正弦定理，可得，故選A4．【正確答案】D【詳解】由角的終邊過點，可得，.故選D.5．【正確答案】C【詳解】

如上圖所示，正四棱臺，，易知即棱臺的高，由棱臺的體積公式知：，所以，所以側(cè)棱長.故選C6．【正確答案】A【詳解】連接，交于，連接，如圖，平面，平面平面，平面，，點，分別為棱，的中點．是的重心，，又，則.故選A.7．【正確答案】D【詳解】由題意得，解得，在中，，所以，所以，解得.故選D.8．【正確答案】C【詳解】如圖，，所以當最大時，的值最大，故當點與正六邊形的頂點重合時，的最大值為，故的最大值為.故選C9．【正確答案】ACD【詳解】對于A：若，，則也成立，A選項錯誤；若，，則無公共點，所以無公共點，所以，B選項正確；若，，，則或異面，C選項錯誤；若，，則或異面或相交，D選項錯誤；故選ACD.10．【正確答案】BCD【詳解】對于A，函數(shù)的圖象橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋逗?，得到，將的圖象向右平移個單位，得到，故A錯誤；對于B，當時，，所以直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，故B正確；對于C，由，得，當時，，故C正確；對于D，方程在上有1個實數(shù)根，所以與的圖象有一個交點，由，所以，作出圖象，由圖可知：，故D正確.故選BCD.11．【正確答案】ABD【分析】利用余弦型函數(shù)和正弦函數(shù)的周期性可判斷A選項；利用二次函數(shù)的值域可判斷B選項；利用復合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項；在時解方程，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)的最小正周期為，故函數(shù)的最小正周期為，A正確；對于B選項，當時，，令，則，，當時，；當時，；當時，,所以，，所以，當時，函數(shù)的值域為，B正確；對于C選項，當時，，則，令，則，則外層函數(shù)，外層函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，當時，則內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞增時，則函數(shù)為增函數(shù)，所以，,當時，則內(nèi)層函數(shù)單調(diào)遞減時，則函數(shù)為增函數(shù)，所以，,綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為、，C錯誤；對于D選項，當時，，可得或，由于函數(shù)的最小正周期為，且，現(xiàn)在考慮函數(shù)在上的零點個數(shù)，由可得，由可得或，所以，函數(shù)在上的零點個數(shù)為，因為，故，D正確.故選ABD.【方法總結(jié)】三角函數(shù)最值的不同求法：①利用和的最值直接求；②把形如的三角函數(shù)化為的形式求最值；③利用和的關系轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值；④形如或轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)求最值.12．【正確答案】【詳解】，所以故.13．【正確答案】【詳解】因為D，E是腰AC上的兩個動點，根據(jù)三點共線分別可得：，，所以，又，得到，根據(jù)基本不等式可得，當且僅當，即，時等號成立，所以，則又是等腰三角形，且底邊，取中點，連接，則，且根據(jù)平面向量數(shù)量積的公式可得：，故答案為.14．【正確答案】/【詳解】[方法一]：余弦定理設，則在中，，在中，，所以，當且僅當即時，等號成立，所以當取最小值時，.[方法二]：建系法令BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理設BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，則，，，當且僅當，即時等號成立.[方法四]：判別式法設，則在中，，在中，，所以，記，則由方程有解得：即，解得：所以，此時所以當取最小值時，，即.

15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）對先平方可得：展開得：因為，為單位向量，所以，則，.又因為與的夾角為，可得：將，，代入可得：所以.（2）因為向量與的夾角為銳角，所以且與不同向共線.可得：將，，代入上式可得：整理得：，即，得：，解得.若兩向量同向共線，則存在實數(shù)，使得，即.所以可得，將代入得，解得.所以當兩向量不同向共線時，.綜合以上兩個條件，實數(shù)的取值范圍是.16．【正確答案】（1）【證明】如圖，連接AE,AF.根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得AD//EF且AD=因為M為DE的中點，所以M為AF的中點.又N為BF的中點，所以MN//因為MN?平面ABE，AB?平面所以MN//平面ABE（2）根據(jù)圓柱的性質(zhì)可得圓O′//平面ABE又平面BDE∩圓O′=l，平面BDE∩平面因為l?平面BEF，BE?平面所以l//平面BEF17．【正確答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）的最小值為此時.【詳解】（1），令得；令得；得的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當時,，此時，，的最小值為，此時，即.18．【正確答案】（1）證明見解析（2）.（3）存在，，證明見解析【詳解】（1）證明：因為M，N分別是OB，OC的中點，所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，同理得平面ABC，又平面PMN，平面PMN，，所以平面平面ABC.（2）如圖所示：設圓錐的底面圓半徑為r，則，解得.所以在圖中，B，C為圓錐的底面圓周的三等分點，所以為等邊三角形，所以，所以.，圓錐的高，所以，所以，即四面體ACMN的體積為.（3）如圖所示：在線段OB上存在點E，且，使得平面ABC，理由如下：取AC的中點F，且D是AN的中點，連接DF，所以，.取CB的四等分點G，使，連接GE，F(xiàn)G.因為，所以，，所以，，所以四邊形DFGE是平行四邊形，所以，又平面ABC，平面ABC，所以平面ABC.