/山西省晉中市2024-2025學(xué)年高二下冊二月?？紨?shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求.1.已知兩條直線，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】由兩直線平行求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷即得.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A2.已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，焦距為6.若為橢圓上一點(diǎn)，且的周長為16，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】運(yùn)用橢圓定義和焦距性質(zhì)可解.【詳解】根據(jù)題意，焦距，.根據(jù)橢圓定義，周長為，解得.則離心率為.故選：C3.山東省高考改革后實(shí)施選科分班制度，小明需要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選擇三科作為自己的選科組合，物理和歷史不能同時(shí)選擇，則小明不同的選科情況有（）A.14種 B.16種 C.18種 D.20種【正確答案】B【分析】根據(jù)題意，可分為三類：（1）若物理和歷史同時(shí)不選；（2）若選物理，不選歷史；（3）若不選物理，結(jié)合分類計(jì)數(shù)原理，即可求解.【詳解】由題意，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理中選擇三科作為自己的選科組合，且物理和歷史不能同時(shí)選擇，可分為三類：（1）若物理和歷史同時(shí)不選，共有種選法；（2）若選物理，不選歷史，共有種選法；（3）若不選物理，選歷史，共有種選法；由分類計(jì)數(shù)原理，可得不同的選科情況共有種.故選：B.4.已知點(diǎn)Q在圓C：上，點(diǎn)P在直線上，則PQ的最小值為（）A. B.1 C. D.2【正確答案】A【分析】先將圓C變形，求出圓心與半徑，再由圓到直線最小距離求法求出值，再減去半徑即可求出直線上的點(diǎn)到圓的最小距離.【詳解】圓中圓心為，半徑，圓心到直線的距離：，則，故選：A．5.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先由點(diǎn)到直線的距離公式求出，設(shè)，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.【詳解】如圖，因?yàn)?，不妨設(shè)漸近線方程為，即，所以，所以.設(shè),則，所以，所以.因?yàn)?所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，解得，所以雙曲線的方程為故選：D6.在矩形中，，，將沿著翻折，使點(diǎn)在平面上的投影恰好在直線上，則此時(shí)二面角的余弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】如圖所示，作于，于，求得，，利用向量的夾角公式可求二面角的余弦值.【詳解】如圖所示，作于，于.在中，，，在中，，，同理可得，，，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所?因?yàn)榕c的夾角即為二面角的大小，所以二面角的余弦值為.故選：A.7.已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.13 B.11 C.9 D.8【正確答案】D【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)可得，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，再根據(jù)點(diǎn)關(guān)于線對稱的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合解.【詳解】如圖所示，圓的圓心為，半徑為4，圓的圓心為，半徑為1，可知，所以，故求的最小值，轉(zhuǎn)化為求的最小值，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，設(shè)坐標(biāo)為，則，解得，故，因?yàn)?，可得，?dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，等號成立，所以的最小值為.故選：D.8.甲，乙，丙3名學(xué)生約定：利用假期觀看A，B，C，D，E這5部新上映的電影，待返校后互相分享精彩內(nèi)容.返校后，已知5部電影都有人觀看，且每部電影只有一個(gè)人觀看，則所有觀看電影的情況種數(shù)為（）A.150 B.243 C.183 D.393【正確答案】B【分析】根據(jù)甲，乙，丙3名學(xué)生觀看電影分1人觀看5部電影，2人觀看5部電影，3人觀看5部電影，利用分類加法計(jì)數(shù)即可解答.【詳解】分三類，第一類：1個(gè)人觀看5部電影有3種情況；第二類：2個(gè)人觀看5部電影有種情況；第三類：3個(gè)人觀看5部電影有種情況；所以共有：種情況.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.對于，若，則的值可以為（）A.2 B.3 C.4 D.5【正確答案】AB【分析】根據(jù)題意得或，進(jìn)而解方程即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以或，解得或故選：AB10.如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G分別為AD，AB，的中點(diǎn)，以下說法正確的是（）A.三棱錐的體積為1B.平面EFGC.過點(diǎn)E，F(xiàn)，G作正方體的截面，所得截面的面積是D.平面EGF與平面ABCD夾角的余弦值為【正確答案】ABC【分析】A選項(xiàng)：用頂點(diǎn)轉(zhuǎn)化法轉(zhuǎn)換成G為頂點(diǎn)，直接計(jì)算體積即可判斷；B選項(xiàng)：建系，用空間向量計(jì)算證明垂直即可判斷；C選項(xiàng)：補(bǔ)全完整截面為正六邊形，直接計(jì)算面積即可判斷；D選項(xiàng)：用空間向量求平面的法向量再計(jì)算二面角的余弦值即可判斷.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，則，則平面，B正確；對于C，作中點(diǎn)N，的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)T，連接，則正六邊形為對應(yīng)截面面積，正六邊形邊長為，則截面面積為：，故C正確；對于D，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，設(shè)兩個(gè)平面夾角為，，故D錯(cuò)誤．故選：ABC．11.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得：過雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過C右支上一點(diǎn)作雙曲線的切線交x軸于點(diǎn)，則（）A.B.平面上點(diǎn)的最小值為C.若經(jīng)過左焦點(diǎn)的入射光線經(jīng)過點(diǎn)A，且，則入射光線與反射光線的夾角為D.過點(diǎn)作，垂足H，則【正確答案】ABD【分析】求出直線的方程，即可求得，從而利用求解，判斷A項(xiàng)；利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為可得解，即可判斷B項(xiàng)；求出點(diǎn)的坐標(biāo)，研究的大小，即可判斷C項(xiàng)；根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可推得，點(diǎn)為的中點(diǎn).進(jìn)而得出，結(jié)合雙曲線的定義，即可判斷D項(xiàng).【詳解】解：對于A項(xiàng)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，消去整理得，，，即，又因?yàn)?，所以上式可化簡整理得，所以，所以直線的方程為，即，所以，因?yàn)?，所以，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，由雙曲線定義得，且，則，所以的最小值為.故B項(xiàng)正確；對于C項(xiàng)，根據(jù)雙曲線光學(xué)性質(zhì)可知反射光線所在直線即直線，因?yàn)榍?，所以，若，則，所以直線直線；同理可知當(dāng)也可判斷直線直線，所以入射光線與反射光線的夾角為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D項(xiàng)，如圖，為雙曲線的切線，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長與的延長線交于點(diǎn).則垂直平分，即點(diǎn)為的中點(diǎn).又是的中點(diǎn)，所以，，故D項(xiàng)正確.故選：ABD.思路點(diǎn)睛：D項(xiàng)中，結(jié)合已知中，給出的雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，即可推出.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.甲、乙、丙等人站成一排，要求甲、乙不站在丙的同一側(cè)，則不同的站法共有_______種．【正確答案】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得解.【詳解】先站甲、乙、丙人，共有種不同的站法，再站剩余人，先將1人排到甲、乙、丙3人之間的空位中，最后將剩余的1人排到前面4人之間的空位中，共有種不同的站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的站法共有種．故4013.已知數(shù)列滿足，則______.【正確答案】##0.8【分析】通過遞推公式，得出為周期數(shù)列，且周期為，可得，即得答案.【詳解】解：因?yàn)?，所以，，，所以為周期?shù)列，且周期為，所以.故14.已知橢圓的右焦點(diǎn)是，直線交橢圓于兩點(diǎn)﹐直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若，則橢圓的離心率為____________．【正確答案】##【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，利用已知條件結(jié)合橢圓的對稱性可得四邊形為矩形，再利用勾股定理方程組求解即可.【詳解】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，，，由直線交橢圓于兩點(diǎn)﹐及，結(jié)合橢圓的對稱性可得，所以，，均為直角三角形，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，，，所以在直角中，即①，在直角中，即②，由②解得，將代入①得，即，所以，故四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.有4名男生，3名女生，共7個(gè)人從左至右站成一排，在下列情況下，各有多少種不同的站法.（1）男生?女生各站在一起；（2）男生必須站在一起；（3）男生互不相鄰，且女生也互不相鄰.（4）最左端只能站某生甲或乙，最右端不能站某生甲，則有多少種不同站法？【正確答案】（1）288（2）576（3）144（4）1320【分析】（1）先排男生，再排女生，考慮男女生位置，即可根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得出答案；（2）捆綁法：將男生看為一個(gè)整體，與女生排列，即可得出答案；（3）插空法：先排男生，女生插空，即可得出答案；（4）分為某生甲站在最左端，某生乙甲站在最左端，分別計(jì)算，相加即可得出答案.【小問1詳解】男生必須站在一起，即把4名男生全排列，有種排法，女生必須站在一起，即把3名女生全排列，有種排法，全體男生、女生各看作一個(gè)元素全排列有種排法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有（種）排法.【小問2詳解】把所有男生看作一個(gè)元素，與3名女生組成4個(gè)元素全排列，故有（種）不同的排法.【小問3詳解】先排男生有種排法，然后讓女生插空，有種排法，所以共有（種）不同的排法.【小問4詳解】若最左端站某生甲，余下6名同學(xué)全排列共有種排法；若最左端站某生乙，則應(yīng)先排某生甲，有種排法，剩余5名同學(xué)全排列共有種排法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種排法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有種.16.已知圓的方程為.（1）求的取值范圍；（2）若直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)圓的一般方程滿足即可求解；（2）利用弦長公式求得，進(jìn)而得到的值.【小問1詳解】方程為圓的方程，即，解得.【小問2詳解】由（1）可知圓，則圓心，半徑，圓心到直線的距離，故，則，解得.17.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列都遞增數(shù)列，且．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．【正確答案】（1），.（2）.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列和等比數(shù)列的公差與公比分別為：，由已知條件組成方程組解出，寫出等差數(shù)列和等比數(shù)列通項(xiàng)公式即可；（2）由（1）寫出的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列前項(xiàng)和即可.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列和等比數(shù)列的公差與公比分別為：，因?yàn)?，所以，將代入，得：，解得或或，因?yàn)榈炔顢?shù)列和等比數(shù)列都是遞增數(shù)列，所以，所以，，所以等差數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為.【小問2詳解】（2）由（1）得，所以，①，②①②得：，即，所以.18.在一次招聘會上，兩家公司開出的工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：公司A：第一年月工資3000元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加300元：公司B：第一年月工資3720元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增，設(shè)某人年初想從這兩家公司中選擇一家去工作．（1）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作年，第年的月工資是分別為多少？（2）若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則從哪家公司得到的報(bào)酬較多？（）．【正確答案】（1）公司：（元）；公司：（元）（2）從公司得到的報(bào)酬較多【分析】（1）根據(jù)所給條件分布求出在公司、第年的月工資；（2）分別利用等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式求出總報(bào)酬，即可判斷.【小問1詳解】選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資比上一年的月工資增加元,則他第年的月工資是：（元）；選擇在公司連續(xù)工作年，第一年月工資元，以后每年的月工資在上一年的月工資基礎(chǔ)上遞增．則他第年的月工資（元）．【小問2詳解】若此人選擇在一家公司連續(xù)工作10年，則在公司、公司得到的報(bào)酬分別為：公司A：（元）．公司B：（元），因?yàn)椋蕪墓镜玫降膱?bào)酬較多.19.已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過，兩點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）設(shè)P，M，N三點(diǎn)在C的右支上，，，證明：（?。┐嬖诔?shù)，滿足；（ⅱ）的面積為定值．【正確答案】（1）（2）（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）設(shè)C的方程為，其中．由C過A，B兩點(diǎn)，代入解得，即可.（2）（?。┰O(shè)，，，其中，，．因?yàn)椋灾本€BM的斜率為，方程為．聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理得到，．同理，．再結(jié)合向量運(yùn)算即可解決.（ⅱ）結(jié)合前面結(jié)論，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式，三角形面積公式可解.【小問1詳解】設(shè)C的方程