PAGEPAGE1其次章2.1第2課時(shí)數(shù)列的遞推公式A級基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．已知數(shù)列{an}中，an＋1＝an＋2＋an，a1＝2，a2＝5，則a6＝(A)A．－3 B．－4C．－5 D．2[解析]由an＋1＝an＋2＋an得a3＝3，a4＝－2，a5＝－5，a6＝－3.2．正項(xiàng)數(shù)列{an}中，an＋1＝eq\f(an,1＋3an)，a1＝2，則a4＝(B)A．eq\f(16,5) B．eq\f(2,19)C．eq\f(8,5) D．eq\f(8,7)[解析]由遞推關(guān)系可得a2＝eq\f(2,7)，a3＝eq\f(2,13)，a4＝eq\f(2,19).3．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝1，以后各項(xiàng)由公式a1·a2·a3·…·an＝n2給出，則a3＋a5等于(C)A．eq\f(25,9) B．eq\f(25,16)C．eq\f(61,16) D．eq\f(31,15)[解析]∵a1·a2·a3·…·an＝n2，∴a1·a2·a3＝9，a1·a2＝4，∴a3＝eq\f(9,4).同理a5＝eq\f(25,16)，∴a3＋a5＝eq\f(9,4)＋eq\f(25,16)＝eq\f(61,16).4．已知數(shù)列{an}滿意a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N＋)，則此數(shù)列的通項(xiàng)an等于(D)A．n2＋1 B．n＋1C．1－n D．3－n[解析]∵an＋1－an＝－1.∴a2－a1＝－1，a3－a2＝－1，…，an－an－1＝－1，∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.5．已知數(shù)列{an}滿意a1＝x，a2＝y(tǒng)，且an＋1＝an－an－1(n≥2)，則a2007＝(C)A．x B．yC．y－x D．－x[解析]依據(jù)遞推關(guān)系可得x，y，y－x，－x，－y，x－y，這6個(gè)數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)a2007＝a334×6＋3＝a3.6．視察下圖，并閱讀圖形下面的文字，像這樣10條直線相交，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)最多的是(B)A．40個(gè) B．45個(gè)C．50個(gè) D．55個(gè)[解析]交點(diǎn)個(gè)數(shù)依次組成數(shù)列為1,3,6，即eq\f(2×1,2)，eq\f(2×3,2)，eq\f(3×4,2)，由此猜想an＝eq\f(nn－1,2)，∴a10＝eq\f(10×9,2)＝45.二、填空題7．已知數(shù)列{an}滿意a1＝1，an＝nan－1(n≥2)，則a5＝__120__.[解析]因?yàn)閍n＝nan－1，且n≥2，所以當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝2a1＝2；當(dāng)n＝3時(shí)，a3＝3a2＝6；當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝4a3＝24；當(dāng)n＝5時(shí)，a5＝5a4＝120.故a5＝120.8．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝3n－1(n∈N*)，通過公式bn＝eq\f(an＋1,an)構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列{bn}，那么{bn}的前五項(xiàng)為__eq\f(5,2)，eq\f(8,5)，eq\f(11,8)，eq\f(14,11)，eq\f(17,14)__.[解析]∵an＝3n－1(n∈N*)，∴an＋1＝3(n＋1)－1＝3n＋2，∴bn＝eq\f(an＋1,an)＝eq\f(3n＋2,3n－1).∴b1＝eq\f(5,2)，b2＝eq\f(8,5)，b3＝eq\f(11,8)，b4＝eq\f(14,11)，b5＝eq\f(17,14).三、解答題9．一老漢為感謝梁山英雄除暴安良，帶了些千里馬要送給梁山英雄，見過宋江后，宋江把老漢帶來的馬匹的一半和另外一匹馬作為回禮送給了他，老漢又去見盧俊義，把現(xiàn)有剩馬的一半送給盧俊義，盧俊義也把老漢送的馬匹的一半和另一匹馬作為回禮送給老漢……始終送到108名英雄的最終一名是這樣的，老漢下山回家時(shí)還剩兩匹馬，你知道老漢上山時(shí)一共帶了多少匹千里馬嗎？[解析]設(shè)老漢上山一共帶了a1匹千里馬，送給宋江后還剩a2匹，則a2＝eq\f(1,2)a1＋1，再送給盧俊義后還剩下a3匹，則a3＝eq\f(1,2)a2＋1.依次地進(jìn)行下去，送給第k個(gè)人后還剩下ak＋1＝eq\f(1,2)ak＋1，依據(jù)題目要求應(yīng)有a109＝eq\f(1,2)a108＋1＝2.∵a109＝2，∴a108＝2.依次代入遞推關(guān)系可得a1＝a2＝a3＝…＝2.即老漢最初上山帶了兩匹千里馬．B級素養(yǎng)提升一、選擇題1．?dāng)?shù)列{an}滿意a1＝1，an＋1＝2an－1(n∈N*)，則a1000＝(A)A．1 B．1999C．1000 D．－1[解析]a1＝1，a2＝2×1－1＝1，a3＝2×1－1＝1，a4＝2×1－1＝1，…，可知an＝1(n∈N*)．2．已知數(shù)列{an}滿意a1＝0，an＋1＝eq\f(an－\r(3),\r(3)an＋1)(n∈N＋)，則a20＝(B)A．0 B．－eq\r(3)C．eq\r(3) D．eq\f(\r(3),2)[解析]∵a1＝0，a2＝eq\f(a1－\r(3),\r(3)a1＋1)＝－eq\r(3)，a3＝eq\f(a2－\r(3),\r(3)a2＋1)＝eq\r(3)，a4＝eq\f(a3－\r(3),\r(3)a3＋1)＝0，….至此可知：數(shù)列{an}的各項(xiàng)的值依次為0，－eq\r(3)，eq\r(3)，0，－eq\r(3)，eq\r(3)，0，…，周而復(fù)始．∵20＝3×6＋2，∴a20＝a2＝－eq\r(3).二、填空題3．已知數(shù)列{an}滿意a1＝－2，an＋1＝2＋eq\f(2an,1－an)，則a6＝__－eq\f(14,3)__.[解析]an＋1＝2＋eq\f(2an,1－an)＝eq\f(2,1－an)，a1＝－2，∴a2＝eq\f(2,1－a1)＝eq\f(2,3)，a3＝eq\f(2,1－a2)＝6，a4＝－eq\f(2,5)，a5＝eq\f(10,7)，a6＝－eq\f(14,3).4．設(shè)f(n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝__eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2)__.[解析]f(n＋1)＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋eq\f(1,n＋4)＋…＋eq\f(1,2n)＋eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,2n＋1)＋eq\f(1,2n＋2)－eq\f(1,n＋1)＝eq\f(1,2n＋1)－eq\f(1,2n＋2).三、解答題5．(1)已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)是1，第2項(xiàng)是2，以后各項(xiàng)由an＝an－1＋an－2(n≥3)給出，寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)用上面的數(shù)列{an}，通過公式bn＝eq\f(an,an＋1)構(gòu)造一個(gè)新的數(shù)列{bn}，寫出數(shù)列{bn}的前5項(xiàng)．[解析](1)∵a1＝1，a2＝2，an＝an－1＋an－2(n≥3)，∴a3＝a1＋a2＝3，a4＝a2＋a3＝5，a5＝a3＋a4＝8.(2)∵a6＝a4＋a5＝13，bn＝eq\f(an,an＋1)，∴b1＝eq\f(a1,a2)＝eq\f(1,2)，b2＝eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,3)，b3＝eq\f(a3,a4)＝eq\f(3,5)，b4＝eq\f(a4,a5)＝eq\f(5,8)，b5＝eq\f(a5,a6)＝eq\f(8,13).6．已知數(shù)列{an}中，a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，求數(shù)列{an}的前5項(xiàng)，并猜想an.[解析]∵a1＝3，an＋1＝eq\f(3an,an＋3)，∴a2＝eq\f(3a1,a1＋3)＝eq\f(3×3,3＋3)＝eq\f(3,2)，a3＝eq\f(3a2,a2＋3)＝eq\f(3×\f(3,2),\f(3,2)＋3)＝1＝eq\f(3,3)，a4＝eq\f(3a3,a3＋3)＝eq\f(3,1＋3)＝eq\f(3,4)，a5＝eq\f(3a4,a4＋3)＝eq\f(3×\f(3,4),\f(3,4)＋3)＝eq\f(3,5)，∴猜想：an＝eq\f(3,n).C級實(shí)力拔高1．一輛郵車每天從A地往B地運(yùn)輸郵件，沿途(包括A、B)共有8站，從A地動(dòng)身時(shí)，裝上發(fā)往后面7站的郵件各一個(gè)，到達(dá)后面各站后缷下前面各站發(fā)往該站的一個(gè)郵件，同時(shí)裝上該站發(fā)往下面各站的郵件各一個(gè)，試寫出郵車在各站裝卸完畢后剩余郵件個(gè)數(shù)所成的數(shù)列，畫出該數(shù)列的圖象，并推斷該數(shù)列的增減性．[解析]將A、B之間全部站按序1,2,3,4,5,6,7,8編號，通過計(jì)算，上面各站剩余郵件數(shù)依次排成數(shù)列：7,12,15,16,15,12,7,0.填寫下表：站號12345678剩余郵件數(shù)7121516151270該數(shù)列的圖象如圖所示．它在{1,2,3,4}上是遞增的，在{4,5,6,7,8}上是遞減的．2．設(shè){an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋2)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋2an＋1an＝0(n∈N*)，求通項(xiàng)公式an.[解析]把(n＋2)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋2an＋1an＝0分解因式，得[(n＋2)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an>0，∴an＋an＋1>0，∴(n＋2)an＋1－nan＝0，∴eq\f(an＋1,an)＝e