28.1銳角三角函數(shù)【重點(diǎn)難點(diǎn)提示】重點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值，三角函數(shù)間的同角關(guān)系與互余關(guān)系．難點(diǎn)：銳角三角函數(shù)在0°～90°之間的變化規(guī)律的應(yīng)用．考點(diǎn)：銳角三角函數(shù)的有關(guān)知識(shí)在初中數(shù)學(xué)中占有比較重要的地位；近年各地中考試題中，大多以填空或選擇題的形式出現(xiàn)，約占考量的2.5％．

【經(jīng)典范例引路】例1（1）計(jì)算：+cot30°-tan45°-cos30°;（2）Rt△ABC中，∠C=90°,a=2,b=2，求cosA.解：（1）原式=+cot30°-tan45°-cos30°;=+-1-=1+-1-=（2）在Rt△ABC中，∴∠C＝90°，a＝2，b＝2，∴c＝=2∴cosA===

【解題技巧點(diǎn)撥（1）主要注意隱含關(guān)系式sin2α＋cos2α＝1的運(yùn)用，來求得sin215°＋sin275°＝sin215°＋cos215°＝1的技巧．例2已知cosα＝0.6975，sinβ＝0.7328（α、β均為銳角），求證：α＋β＞90°證明：∵α、β為銳角∴90°-β也為銳角，且cosα＝0.6975，cos（90°-β）＝sinβ=0.7328，根據(jù)余弦函數(shù)在0°～90°之間的變化規(guī)律有：α＞90°-β即α+β＞90°

【解題技巧點(diǎn)撥】本題必須靈活運(yùn)用余弦函數(shù)在0°～90°之間的變化規(guī)律及三角函數(shù)間的互余關(guān)系解題．

【綜合能力訓(xùn)練】一、填空題1.計(jì)算：sin60°·cot30°+sin245°＝．2．求值：sin60°·cos45°＝.3．在△ABC中，如果∠C=90°，∠A＝45°那么tanA＋sinB=；△ABC為對(duì)稱圖形（填“軸”或“中心”）4.α為銳角時(shí)，＝．5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，＋|cosB+1|＝．6.已知：cot(90°-x)=，則=。7．若tanα·tan46°＝1（α為銳角），則α＝。8.Rt△ABC中，∠C＝90°，且＝,＝．則sinA＝.

二、選擇題：9.若α是銳角，sinα=cos50°，則α等于（）A．20° B．30° C．40° D．50°10.sin64°與cos26°之間的關(guān)系是（）A．sin64°＜cos26° B．sin64°＝cos26°C．sin64°＞cos26° D．sin64°＝-cos26°11.△ABC中，∠C＝90°，則cosA·cotB的值是（）A.B. C. D.12.當(dāng)∠A為銳角，且cotA的值小于時(shí)，∠A應(yīng)（）A．小于30° B．大于3O° C．小于60° D．大于60°13.在Rt△ABC中，各邊的長度都擴(kuò)大兩倍，那么銳角A的各三角函數(shù)值（）A．都擴(kuò)大兩倍 B.都縮小兩倍 C．不變 D．都擴(kuò)大四倍14.在△ABC的三內(nèi)角中，A∶B∶C＝3∶2∶7，則sinA∶sinB＝（）A．1∶ B.1∶ C. D.∶15．已知0°＜α＜45°，則使無意義的α的值是（A．3O° B．15° C．不存在 D．非以上答案16．已知45°＜θ＜90°，且2sinθ-x+3＝0則x的取值范圍是（）A.＜x＜1 B．3-＜x＜1C．3+＜x＜5 D．1＜x＜3＋

三、解答題：17.設(shè)x=()-1+(sin73°)0+tan21°·tan69°，求（-）÷的值．

18.已知方程4x2＋kx＋2＝0的兩根是sinθ，cosθ（θ為銳角），求k和θ．

19.計(jì)算：+|1-tan60°|

20.計(jì)算：（）-2+（sin21°13′-tan21°）0-

21.已知sinα+cosα＝m,sinα·cosα＝n，試確定m與n的關(guān)系．

【創(chuàng)新思維訓(xùn)練】22．計(jì)算：tan1°·tan2°·tan3°·tan4°……tan88°·tan89°的值．

23．cosx＝α+（α＞0）成立嗎？若成立，求出α的值．若不成立，請(qǐng)說明理由．

參考答案【綜合能力訓(xùn)練】一、1.22.3.1+,軸4.1-cosα5.26.3+27.44°8.二、9.C10.B11.A12.B13.C14.C15.B16.C三、17.原式==4(+1)18.,θ=45°19.20.-121.m2=2n+122.123.不成立(a+>1而0<cosx<1)28.1銳角三角函數(shù)（1）教學(xué)目標(biāo)：理解銳角三角函數(shù)的定義，掌握銳角三角函數(shù)的表示法；能根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義計(jì)算一個(gè)銳角的各個(gè)三角函數(shù)的值；掌握Rt△中的銳角三角函數(shù)的表示：sinA=，cosA=，tanA=4、掌握銳角三角函數(shù)的取值范圍；5、通過經(jīng)歷三角函數(shù)概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般及數(shù)形結(jié)合的思想方法。教學(xué)重點(diǎn)：銳角三角函數(shù)相關(guān)定義的理解及根據(jù)定義計(jì)算銳角三角函數(shù)的值。教學(xué)難點(diǎn)：銳角三角函數(shù)概念的形成。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境：鞋跟多高合適？美國人體工程學(xué)研究人員卡特·克雷加文調(diào)查發(fā)現(xiàn)，70％以上的女性喜歡穿鞋跟高度為6至7厘米左右的高跟鞋。但專家認(rèn)為穿6厘米以上的高跟鞋腿肚、背部等處的肌肉非常容易疲勞。ACB據(jù)研究，當(dāng)高跟鞋的鞋底與地面的夾角為11度左右時(shí)，人腳的感覺最舒適。假設(shè)某成年人腳前掌到腳后跟長為15厘米，不難算出鞋跟在3厘米左右高度為最佳。ACB問：你知道專家是怎樣計(jì)算的嗎？顯然，高跟鞋的鞋底、鞋跟與地面圍城了一個(gè)直角三角形，回顧直角三角形的已學(xué)知識(shí)，引出課題。二、探索新知：1、下面我們一起來探索一下。實(shí)踐一：作一個(gè)30°的∠A，在角的邊上任意取一點(diǎn)B，作BC⊥AC于點(diǎn)C。⑴計(jì)算，，的值，并將所得的結(jié)果與你同伴所得的結(jié)果進(jìn)行比較?！螦=30°時(shí)學(xué)生1結(jié)果學(xué)生2結(jié)果學(xué)生3結(jié)果學(xué)生4結(jié)果⑵將你所取的AB的值和你的同伴比較。實(shí)踐二：作一個(gè)50°的∠A，在角的邊上任意取一點(diǎn)B，作BC⊥AC于點(diǎn)C（1）量出AB，AC，BC的長度（精確到1mm）。（2）計(jì)算，，的值（結(jié)果保留2個(gè)有效數(shù)字），并將所得的結(jié)果與你同伴所得的結(jié)果進(jìn)行比較?！螦=50°時(shí)ABACBC學(xué)生1結(jié)果學(xué)生2結(jié)果學(xué)生3結(jié)果學(xué)生4結(jié)果（3）將你所取的AB的值和你的同伴比較。2、經(jīng)過實(shí)踐一和二進(jìn)行猜測(cè)猜測(cè)一：當(dāng)∠A不變時(shí)，三個(gè)比值與B在AM邊上的位置有無關(guān)系？猜測(cè)二：當(dāng)∠A的大小改變時(shí)，相應(yīng)的三個(gè)比值會(huì)改變嗎？理論推理如圖，B、B1是一邊上任意兩點(diǎn)，作BC⊥AC于點(diǎn)C，B1C1⊥AC1于點(diǎn)C1，判斷比值與，與，與是否相等，并說明理由。4、歸納總結(jié)得到新知：⑴三個(gè)比值與B點(diǎn)在的邊AM上的位置無關(guān)；⑵三個(gè)比值隨的變化而變化，但（00﹤﹤900）確定時(shí)，三個(gè)比值隨之確定；比值，，都是銳角的函數(shù)比值叫做的正弦(sine)，sin=比值叫做的余弦(cosine)，cos=比值叫做的正切(tangent)，tan=（3）注意點(diǎn)：sin，cos，tan都是一個(gè)完整的符號(hào)，單獨(dú)的“sin”沒有意義，其中前面的“∠”一般省略不寫。強(qiáng)化讀法，寫法；分清各三角函數(shù)的自變量和應(yīng)變量。三、深化新知1、三角函數(shù)的定義在Rt△ABC中，如果銳角A確定，那么∠A的對(duì)邊與斜邊的比、鄰邊與斜邊的比也隨之確定.則有sinA＝cosA2、提問：根據(jù)上面的三角函數(shù)定義，你知道正弦與余弦三角函數(shù)值的取值范圍嗎？（點(diǎn)撥）直角三角形中，斜邊大于直角邊．生：獨(dú)立思考，嘗試回答，交流結(jié)果．明確：銳角的三角函數(shù)值的范圍：0＜sin＜1，0＜cos＜1.四、鞏固新知例1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°，AB=5,BC=3,（1）求∠A的正弦、余弦和正切.（2）求∠B的正弦、余弦和正切.分析：由勾股定理求出AC的長度，再根據(jù)直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關(guān)系求出各函數(shù)值。提問：觀察以上計(jì)算結(jié)果,你發(fā)現(xiàn)了什么?明確：sinA=cosB，cosA=sinB，tanA·tanB=1五、升華新知例2.如圖:在Rt△ABC,∠B=90°,AC=200,sinA=0.6，求BC的長.由例2啟發(fā)學(xué)生解決情境創(chuàng)設(shè)中的問題。六、課堂小結(jié)：談?wù)劷裉斓氖斋@1、內(nèi)容總結(jié)（1）在RtΔABC中,設(shè)∠C=900，∠α為RtΔABC的一個(gè)銳角，則∠α的正弦，∠α的余弦，∠α的正切2、方法歸納在涉及直角三角形邊角關(guān)系時(shí)，常借助三角函數(shù)定義來解四、布置作業(yè)必做題：書本作業(yè)題A組和作業(yè)本選做題：書本作業(yè)題B組學(xué)生實(shí)踐報(bào)告：實(shí)踐一：作一個(gè)30°的∠A，在角的邊上任意取一點(diǎn)B，作BC⊥AC于點(diǎn)C。1、計(jì)算，，的值，并將所得的結(jié)果與你同伴所得的結(jié)果進(jìn)行比較∠A=30°時(shí)學(xué)生1結(jié)果學(xué)生2結(jié)果學(xué)生3結(jié)果學(xué)生4結(jié)果2、將你所取的AB的值和你的同伴比較。實(shí)踐二：作