第第頁江蘇省南京市江寧區(qū)2021-2022學年高一下學期數(shù)學期末考試試卷一、單選題1．i2022A．1 B．－1 C．i D．?2．數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位數(shù)為（）A．6 B．6.5 C．7 D．5.53．設e1，e2為平面內(nèi)一個基底，已知向量AB=e1?ke2，CB=4A．2 B．1 C．－2 D．－14．已知圓錐的表面積等于12πcm2，其側面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．35．設函數(shù)f(x)A．-1 B．0 C．1 D．26．已知sin(α?A．158 B．?158 C．77．《九章算術》把底面為直角三角形，且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，把底面為矩形且有一側棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”，現(xiàn)有如圖所示的“塹緒"ABC?A1B1C1，其中AC⊥BC，AAA．3π B．32π C．3π8．在△ABC中，AB?AC=9，sin(A+C)=cosAsinA．116+63 B．116 二、多選題9．下列有關復數(shù)的說法正確的是（）A．若復數(shù)z=z，則B．若z+z=0，則C．若z是復數(shù)，則一定有|D．若z1，10．已知α，β是不同的平面，m，A．m//α，C．m⊥α，n⊥11．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A=45°A．若a=3B．若a=3，C．若△ABC為銳角三角形，則b的取值范圍是D．若△ABC為鈍角三角形，則b的取值范圍是12．已知點O為△ABC所在平面內(nèi)一點，且2A．AOB．直線AO過BC邊的中點C．SD．若|OA|三、填空題13．tan1514．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為15．在平面直角坐標系xOy中，點A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，以線段AB，AC為鄰邊作平行四邊形，兩條對角線中較長的對角線長為16．我國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶在《數(shù)學九章》中提出了“三斜求積術”，即以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上；以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實；一為從隅，開平方得積，把以上文字寫出公式，即S=14[c2a2?(c2+a2?b四、解答題17．已知復數(shù)z1=1?3i，z2=a+（1）求實數(shù)a；（2）定義復數(shù)的一種運算“?”：z1?z18．社會的進步與發(fā)展，關鍵在于人才，引進高素質人才對社會的發(fā)展具有重大作用．某市進行人才引進，需要進行筆試和面試，一共有200名應聘者參加筆試，他們的筆試成績都在[40，100]內(nèi)，將筆試成績按照[40，50（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）求全體應聘者筆試成績的眾數(shù)和平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間中點值為代表）；（3）若計劃面試150人，請估計參加面試的最低分數(shù)線．19．已知α，β為銳角，（1）求cos2（2）求β的值．20．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C（1）求A角大小.（2）D為BC邊上一點，AD=1，且▲，求△ABC（從①AD為∠BAC的平分線，②D為BC的中點，兩個條件中任選一個補充在上面的橫線上并作答.如果都選，以選①計分.）21．如圖，三棱錐A?BCD中，△ABC為等邊三角形，且面ABC⊥面BCD，CD⊥BC（1）求證：CD⊥AB；（2）當AD與平面BCD所成角為45°時，求二面角C?AD?B的余弦值．22．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a=6，P，Q為邊BC上兩點，CPBP=BQ（1）求AQ的長；（2）過線段AP中點E作一條直線l，分別交邊AB，AC于M，N兩點，設AM→=xAB→，

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】由i4=1，而故答案為：B

【分析】利用已知條件結合虛數(shù)單位i的周期性和運算法則，進而得出i20222．【答案】D【解析】【解答】由題設，10×60%=6，故60百分位數(shù)為故答案為：D

【分析】利用已知條件結合百分位數(shù)的求解方法，進而得出數(shù)據(jù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9的60百分位數(shù)。3．【答案】D【解析】【解答】DB=CB?CD=e1+e2，因為故答案為：D

【分析】利用已知條件結合平面向量的基底的判斷方法和三點共線的判斷方法，進而結合共線定理得出實數(shù)k的值。4．【答案】B【解析】【解答】解：設圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，∵側面展開圖是一個半圓，∴πl(wèi)=2πr?l=2r，∵圓錐的表面積為12π，∴πr2+πrl=3πr2=12π，∴r=2，故圓錐的底面半徑為2（cm）．故選：B．【分析】設圓錐的底面圓的半徑為r，母線長為l，利用側面展開圖是一個半圓，求得母線長與底面半徑之間的關系，代入表面積公式求r．5．【答案】C【解析】【解答】由解析式知：f(又因為f(1)所以f(x)在(故答案為：C

【分析】利用已知條件結合函數(shù)的單調(diào)性和零點存在性定理，進而得出實數(shù)k的值。6．【答案】D【解析】【解答】由sin(α?π又因為cos(故答案為：D

【分析】利用已知條件結合誘導公式和二倍角的余弦公式，進而得出cos(27．【答案】B【解析】【解答】由已知得VB?∴BC=1，將三棱柱ABC?A此時“塹堵”即三棱柱ABC?A1B∴三棱柱ABC?A1B故答案為：B

【分析】由已知結合四棱錐的體積公式得出BC的長，將三棱柱ABC?A1B1C8．【答案】C【解析】【解答】設|ABbccosA=9b=ccos所以|CB所以CP=x?因為A，P，所以2x+1當且僅當x3+y所以2x+1故答案為：C

【分析】設|AB|=c9．【答案】A,D【解析】【解答】A：令z=a+bi(a，b∈R)，則zB：當z=z=0時，z+zC：當z=1+i，則|z|2=2D：令z1=a+bi(a，b∈又因為z1=a?bi，z所以z1故答案為：AD

【分析】利用已知條件結合復數(shù)與共軛復數(shù)的關系，再結合復數(shù)相等的判斷方法、復數(shù)的運算法則、數(shù)量積求向量的模的公式、復數(shù)為實數(shù)或純虛數(shù)的判斷方法，進而找出說法正確的選項。10．【答案】B,C【解析】【解答】對于A，當m//α，對于B，當m//α，對于C，當m⊥α，n⊥對于D，當m//α，故答案為：BC

【分析】利用已知條件結合線線平行的判斷方法以及充分條件的判斷方法，進而找出使得m//11．【答案】A,C【解析】【解答】A選項，∵csinA<a<c，∴B選項，∵a>c，∴△ABCC選項，∵△ABC為銳角三角形，∴ccosA<b<D選項，∵△ABC為鈍角三角形，∴0<b<ccosA或b>c故答案為：AC

【分析】利用已知條件結合解三角形的方法和三角形形狀的判斷方法，進而找出說法正確的選項。12．【答案】A,C,D【解析】【解答】2OA+3(若OD=2OA，所以O是△DEF的重心，直線AO過EF中點，而EF與BC不平行，所以直線AO不過BC邊的中點，B不符合題意；又S△DOE=S△所以S△若|OA|=所以OA?而OC?故答案為：ACD

【分析】利用已知條件結合三角形法則和平面向量基本定理得出AO=13AB+49AC；再利用OD=2OA，OE=3OB，OF=4OC，則OD+OE+OF=0，所以13．【答案】2?【解析】【解答】tan1故答案為：2?3

【分析】利用已知條件結合兩角差的正切公式，進而得出tan114．【答案】π【解析】【解答】由AD1//BC1，連接若正方體棱長為2，則BC所以PC12+PB故∠PBC故答案為：π6

【分析】由AD1//BC1，連接PC1，故直線PB與AD1所成的角為∠PBC115．【答案】17【解析】【解答】因為A(1，2)、B(2，3)、C(3，－1)，所以AB=所以AB+則|AB所以以線段AB，AC為鄰邊作平行四邊形，兩條對角線中較長的對角線長為17。故答案為：17。

【分析】利用已知條件結合向量的坐標表示和向量的坐標運算得出|AB16．【答案】93【解析】【解答】因為a=c(cos由正弦定理得sinA=所以sinC即3sin因為cosC≠0所以3sin由正弦定理得b=3由題意可得S==1當c2=9即c=3時三角形ABC的面積最大，最大值為所以b=33，又a=3，所以cos又因為A∈(0，π)，所以A=π6所以R=3。故答案為：93

【分析】利用a=c(cosB+3cosC)結合正弦定理和兩角和的正弦公式以及cosC≠0，所以3sinC=sinB，由正弦定理得b=3c17．【答案】（1）解：由題得z1z1∵z∴(∴a=2（2）解：由（1）知z1所以|z由|z得z1=【解析】【分析】（1）利用已知條件結合理想復數(shù)的定義和復數(shù)的運算法則，進而得出實數(shù)a的值。

（2）利用定義復數(shù)的一種運算“?”：z1?z18．【答案】（1）解：由題意有(0.（2）解：應聘者筆試成績的眾數(shù)為70+802應聘者筆試成績的平均數(shù)為45×0（3）解：∵150前兩個矩形面積之和為0.05+0.設25%百分位數(shù)為m，則0.15+(因此，若計劃面試150人，估計參加面試的最低分數(shù)線為65.【解析】【分析】（1）利用已知條件結合頻率分布直方圖中各小組的頻率等于各小組矩形的面積，再結合頻率之和等于1，進而得出實數(shù)a的值。

（2）利用已知條件結合頻率分布直方圖求眾數(shù)和平均數(shù)公式，進而估計出全體應聘者筆試成績的眾數(shù)和平均數(shù)。

（3）利用已知條件結合頻率分布直方圖中各小組的頻率等于各小組矩形的面積，進而得出前兩個矩形面積之和和前三個矩形的面積之和，再利用百分位數(shù)求解方法估計出參加面試的最低分數(shù)線。19．【答案】（1）解：因為tanα所以cos2=co=（2）解：因α，β為銳角，則而sin(α?β所以tan(α所以tanβ∴β=【解析】【分析】（1）利用已知條件結合二倍角的余弦公式和同角三角函數(shù)基本關系式，進而得出cos2α的值。

（2）利用α，β為銳角，則?π2<α?β<20．【答案】（1）解：∵由正弦定理得：(222sin∵sinB≠0∴∵（2）解：選①：由AD平分∠BAC得：S12所以bc=b+c，（1）在△ABC中，由余弦定理得：所以b2⑴⑵聯(lián)立得bc=b+c解得(bc)2所以S△選②：AD=AD1=14(△ABC中，由余弦定理得所以b2⑵-⑴即可得bc=4，S【解析】【分析】（1）利用已知條件結合向量共線的坐標表示和正弦定理以及誘導公式，進而得出角A的余弦值，再利用三角形中角A的取值范圍，進而得出角A的值。

（2）選①：由AD平分∠BAC得：S△ABC=S△ABD+S△選②：利用已知條件結合平行四邊形法則和中點的性質，再結合數(shù)量積求向量的模的公式和數(shù)量積的定義，進而得b2+c2?bc=4（1），在△ABC中，由余弦定理得21．【答案】（1）證明：在三棱錐A?BCD中，平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，而CD⊥BCCD?平面BCD，因此有CD⊥平面ABC，又有AB?平面ABC，所以CD⊥AB.（2）解：取BC中點F，連接AF，DF，如圖，因△ABC為等邊三角形，則AF⊥BC，而平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面AF?平面ABC，于是得AF⊥平面BCD，∠ADF是AD與平面BCD所成角，即∠ADF=45令BC=2，則DF=AF=3，因CD⊥BC，即有DC=2，由(1)知，DC⊥AC，則有過C作CO⊥AD交AD于O，在平面ABD內(nèi)過O作OE⊥AD交BD于E，連CE，從而得∠COE是二面角C?AD?B的平面角，Rt△ACD中，CO=AC?CDAD△ABD中，由余弦定理得cosDE=ODcos∠EDO=62，△COE中，由余弦定理得cos∠COE=所以二面角C?AD?B的余弦值1010【解析】【分析】（1）在三棱錐A?BCD中，平面ABC⊥平面BCD，再利用面面垂直的性質定理得出線線垂直，所以CD⊥BC，再利用線線垂直證出線面垂直，所以CD⊥平面ABC，再利用線面垂直的定義證出線線垂直，從而證出CD⊥AB。

（2）取BC中點F，連接AF，DF，再利用三角形△ABC為等邊三角形，再結合等邊三角形三線合一得出線線垂直，則AF⊥BC，再利用平面ABC⊥平面BCD結合面面垂直得出線面垂直，所以AF⊥平面BCD，從而得出∠ADF是AD與平面BCD所成角，即∠ADF=45°，令BC=2，則DF=AF=3，再利用CD⊥BC，即有DC=2，由(1)知，DC⊥AC，則有AD=BD=6，過C作CO⊥AD交AD于O，在平面ABD內(nèi)過O作OE⊥AD交BD于E，連CE，從而得∠COE是二面角C?AD?B的平面角，在Rt△ACD中結合三角形的面積公式得出CO的長，再利用勾股定理得出OD的長，在△ABD中，由余弦定理得出22．【答案】（1）解：在△ABQ與△AQC中分別使用正弦定理有：BQsin∠BAQ=兩式相除得：BQQC因為BQQC所以sin∠CAQ=因為∠CAQ=π3，所以∠BAQ=π3，因為CPBP所以CP=2BP，AB=2AC，又a=6，在△ABC中，由余弦定理得：a2=b在△ABQ與△ACQ中由余弦定理