綜合試卷第=PAGE1*2-11頁（共=NUMPAGES1*22頁） 綜合試卷第=PAGE1*22頁（共=NUMPAGES1*22頁）PAGE①姓名所在地區(qū)姓名所在地區(qū)身份證號密封線1.請首先在試卷的標封處填寫您的姓名，身份證號和所在地區(qū)名稱。2.請仔細閱讀各種題目的回答要求，在規(guī)定的位置填寫您的答案。3.不要在試卷上亂涂亂畫，不要在標封區(qū)內(nèi)填寫無關(guān)內(nèi)容。一、選擇題1.下列矩陣中，是方陣的是（）

A.$\begin{bmatrix}12\\34\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}12\\34\\56\end{bmatrix}$

解題思路：方陣是指行數(shù)和列數(shù)相等的矩陣。選項A是2×2的矩陣，是方陣；選項B是3×3的矩陣，是方陣；選項C是1×3的矩陣，不是方陣；選項D是3×2的矩陣，不是方陣。因此，正確答案是選項A。

2.設$\alpha=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\beta=\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}$，則$\alpha\cdot\beta=$（）

A.1

B.3

C.6

D.9

解題思路：向量點乘（內(nèi)積）的計算公式是$\alpha\cdot\beta=a_1b_1a_2b_2a_3b_3$。將向量$\alpha$和$\beta$的分量代入公式，得到$\alpha\cdot\beta=1\cdot42\cdot53\cdot6=41018=32$。因此，正確答案是選項D。

3.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$A^{1}=$（）

A.$\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}147\\258\\369\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}\frac{1}{3}\frac{2}{3}\frac{1}{3}\\\frac{4}{3}\frac{5}{3}\frac{6}{3}\\\frac{7}{3}\frac{8}{3}\frac{9}{3}\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}\frac{1}{9}\frac{2}{9}\frac{3}{9}\\\frac{4}{9}\frac{5}{9}\frac{6}{9}\\\frac{7}{9}\frac{8}{9}\frac{9}{9}\end{bmatrix}$

解題思路：3×3矩陣的逆矩陣可以通過伴隨矩陣和行列式的值來計算。由于矩陣$A$的行列式為0（$1\cdot5\cdot91\cdot8\cdot62\cdot4\cdot7=454856=53$），所以$A$是可逆的，并且逆矩陣的每個元素是伴隨矩陣對應元素的倒數(shù)。因此，正確答案是選項D。

4.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$A=$（）

A.3

B.6

C.9

D.12

解題思路：計算3×3矩陣的行列式可以通過Sarrus規(guī)則或展開公式。使用展開公式，得到$A=1\cdot(5\cdot96\cdot8)2\cdot(4\cdot96\cdot7)3\cdot(4\cdot85\cdot7)=1\cdot(4548)2\cdot(3642)3\cdot(3235)=3129=0$。因此，正確答案是選項D。

5.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$\text{rank}(A)=$（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解題思路：矩陣的秩是指矩陣中線性無關(guān)的行或列的最大數(shù)目。對于矩陣$A$，由于每一行都是前一行加上一個常數(shù)倍的另一行，矩陣$A$的秩為1。因此，正確答案是選項A。

6.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$\text{nullity}(A)=$（）

A.1

B.2

C.3

D.4

解題思路：矩陣的零度（nullity）是指矩陣的核空間的維度。由于矩陣$A$的秩為1，其零度為$31=2$。因此，正確答案是選項B。

7.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$\text{range}(A)=$（）

A.$\begin{bmatrix}123\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}123\\456\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$

解題思路：矩陣的值域（range）是指矩陣乘以任意向量所能達到的向量集合。由于矩陣$A$的每一行都是線性相關(guān)的，其值域是整個$\mathbb{R}^3$，即所有三維向量。因此，正確答案是選項D。

8.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$\text{columnspace}(A)=$（）

A.$\begin{bmatrix}123\end{bmatrix}$

B.$\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$

C.$\begin{bmatrix}123\\456\end{bmatrix}$

D.$\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$

解題思路：矩陣的列空間是指由矩陣列向量線性組合所能得到的所有向量組成的集合。對于矩陣$A$，其列空間與值域相同，是整個$\mathbb{R}^3$。因此，正確答案是選項D。二、填空題1.設$\alpha=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\beta=\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}$，則$\alpha\cdot\beta=32$.

解題思路：向量點積的計算公式為$\alpha\cdot\beta=\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\beta_i$，其中$\alpha_i$和$\beta_i$分別是向量$\alpha$和$\beta$的第$i$個分量。因此，$\alpha\cdot\beta=1\cdot42\cdot53\cdot6=41018=32$。

2.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$A=0$.

解題思路：對于3x3的矩陣$A$，行列式的計算可以使用Sarrus法則或者Laplace展開。由于該矩陣的每一行都是相同的倍數(shù)，其行列式為0。

3.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$\text{rank}(A)=1$.

解題思路：矩陣的秩是其非零行（或列）的最大線性無關(guān)組數(shù)。由于矩陣$A$的所有行都是線性相關(guān)的，其秩為1。

4.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$\text{nullity}(A)=2$.

解題思路：矩陣的零空間維數(shù)等于矩陣的列數(shù)減去其秩。對于矩陣$A$，列數(shù)為3，秩為1，因此零空間維數(shù)為$31=2$。

5.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$\text{range}(A)=\text{span}\{\alpha,\beta,\gamma\}$.

解題思路：矩陣的值域是所有可能的線性組合，即$\text{range}(A)=\text{span}\{A\}$。對于矩陣$A$，其值域是所有形如$c_1\alphac_2\betac_3\gamma$的向量，其中$c_1,c_2,c_3$是實數(shù)。

6.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$\text{columnspace}(A)=\text{span}\{\alpha,\beta,\gamma\}$.

解題思路：矩陣的列空間是所有列向量的線性組合，即$\text{columnspace}(A)=\text{span}\{A\}$。對于矩陣$A$，其列空間是所有形如$c_1\alphac_2\betac_3\gamma$的向量。

7.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$A^{1}$不存在.

解題思路：一個矩陣存在逆矩陣當且僅當它的行列式不為0。對于矩陣$A$，其行列式為0，因此$A^{1}$不存在。

8.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，則$\text{equationgroup}\begin{cases}x_12x_23x_3=0\\4x_15x_26x_3=0\\7x_18x_29x_3=0\end{cases}$的通解為$x_1=2x_23x_3$.

解題思路：由于方程組的系數(shù)矩陣與$A$相同，且$A$的秩為1，方程組有無窮多解。通解可以通過將一個自由變量表示為其他變量的線性組合來得到。在這里，我們可以選擇$x_2$或$x_3$作為自由變量，例如$x_1=2x_23x_3$。三、解答題1.設$\alpha=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$，$\beta=\begin{bmatrix}4\\5\\6\end{bmatrix}$，求$\alpha\cdot\beta$。

解題思路：

向量的點積定義為$\alpha\cdot\beta=\alpha_1\beta_1\alpha_2\beta_2\alpha_3\beta_3$，其中$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$和$\beta_1,\beta_2,\beta_3$分別是向量$\alpha$和$\beta$的分量。

計算：

$\alpha\cdot\beta=1\cdot42\cdot53\cdot6=41018=32$。

答案：

$\alpha\cdot\beta=32$

2.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求$A$。

解題思路：

求矩陣的行列式可以通過多種方法，這里使用按第一行展開的方法。行列式$A$等于第一行元素與其代數(shù)余子式乘積的和。

計算：

$A=1\cdot\left\begin{matrix}56\\89\end{matrix}\right2\cdot\left\begin{matrix}46\\79\end{matrix}\right3\cdot\left\begin{matrix}45\\78\end{matrix}\right$

$=1\cdot(4548)2\cdot(3642)3\cdot(3235)$

$=3129$

$=0$。

答案：

$A=0$

3.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求$\text{rank}(A)$。

解題思路：

矩陣的秩是矩陣的行向量或列向量所張成的空間的維數(shù)。可以通過行簡化或列簡化求出矩陣的秩。

計算：

$A$的行簡化形式為$\begin{bmatrix}123\\012\\000\end{bmatrix}$，因此$\text{rank}(A)=2$。

答案：

$\text{rank}(A)=2$

4.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求$\text{nullity}(A)$。

解題思路：

根據(jù)秩零化度定理，$\text{nullity}(A)\text{rank}(A)=\text{numberofcolumnsofA$。

計算：

已知$\text{rank}(A)=2$，$A$的列數(shù)為3，所以$\text{nullity}(A)=32=1$。

答案：

$\text{nullity}(A)=1$

5.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求$\text{range}(A)$。

解題思路：

矩陣的值域是其列向量的線性組合所張成的空間。

計算：

由于$\text{rank}(A)=2$，$A$的值域由兩個線性無關(guān)的列向量張成。這里可以選擇$A$的前兩個列向量作為基向量。

答案：

$\text{range}(A)$由列向量$\begin{bmatrix}1\\4\\7\end{bmatrix}$和$\begin{bmatrix}2\\5\\8\end{bmatrix}$張成。

6.設$A=\begin{bmatrix}123\\456\\789\end{bmatrix}$，求$\text{columnspace}(A)$。

解題思路：

矩陣的列空間是其列向量的線性組合所張成的空間。

答案：

$\text{columnspace}(A)$由列向量$\begin{bmatrix}1\\4\\7\end{bmatrix}$，$\begin{bmatri