第18練推理與證明[明考情]推理與證明在高考中少數(shù)年份考查，小題中多以數(shù)表(陣)、圖形、不等式等為指導(dǎo)，考查合情推理，難度為中檔.[知考向]1.合情推理.2.演繹推理.3.推理與證明的綜合應(yīng)用.考點(diǎn)一合情推理方法技巧(1)歸納推理的思維步驟：發(fā)現(xiàn)共性，歸納猜想，結(jié)論驗(yàn)證.(2)類比推理的思維步驟：觀察比較，聯(lián)想類推，猜測結(jié)論.1.觀察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則a10＋b10等于()A.28 B.76C.123 D.199答案C解析觀察可得各式的值構(gòu)成數(shù)列1，3，4，7，11，…，其規(guī)律為從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)等于其前面相鄰兩項(xiàng)的和，所求值為數(shù)列中的第10項(xiàng).繼續(xù)寫出此數(shù)列為1，3，4，7，11，18，29，47，76，123，…，第10項(xiàng)為123，即a10＋b10＝123.2.平面內(nèi)凸四邊形有2條對角線，凸五邊形有5條對角線，以此類推，凸十三邊形的對角線條數(shù)為()A.42 B.65C.143 D.169答案B解析可以通過列表歸納分析得到：多邊形45678對角線22＋32＋3＋42＋3＋4＋52＋3＋4＋5＋6凸十三邊形有2＋3＋4＋…＋11＝eq\f(13×10,2)＝65(條)對角線.3.(2017·甘肅模擬)一個(gè)三角形可分為以內(nèi)切圓半徑為高，以原三角形三條邊為底的三個(gè)三角形，類比此方法，若一個(gè)三棱錐的體積V＝2，表面積S＝3，則該三棱錐內(nèi)切球的體積為()A.81π B.16πC.eq\f(32π,3) D.eq\f(16π,9)答案C解析由一個(gè)三角形可分為以內(nèi)切圓半徑為高，以原三角形三條邊為底的三個(gè)三角形，可以類比一個(gè)三棱錐分為以內(nèi)切球半徑為高，以原三棱錐四個(gè)面為底的四個(gè)三棱錐.設(shè)三棱錐的四個(gè)面的表面積分別為S1，S2，S3，S4，由于內(nèi)切球到各面的距離等于內(nèi)切球的半徑，∴V＝eq\f(1,3)(S1×r＋S2×r＋S3×r＋S4×r)＝eq\f(1,3)S×r，∴內(nèi)切球半徑r＝eq\f(3V,S)＝eq\f(2×3,3)＝2，∴該三棱錐內(nèi)切球的體積為eq\f(4,3)π·23＝eq\f(32π,3).4.某綜藝節(jié)目中有這樣一個(gè)問題，給出一組數(shù)，要你根據(jù)規(guī)律填出后面的第幾個(gè)數(shù)，現(xiàn)給出一組數(shù)：－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(3,8)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,32)，它的第8個(gè)數(shù)是________.答案eq\f(1,32)解析將這一組數(shù)：－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，－eq\f(3,8)，eq\f(1,4)，－eq\f(5,32)化為：－eq\f(1,2)，eq\f(2,4)，－eq\f(3,8)，eq\f(4,16)，－eq\f(5,32)，分母上是2的乘方，分子組成等差數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)符號為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)符號為正，則它的第8個(gè)數(shù)是eq\f(1,32).5.給出下面四個(gè)類比結(jié)論：①實(shí)數(shù)a，b，若ab＝0，則a＝0或b＝0；類比復(fù)數(shù)z1，z2，若z1·z2＝0，則z1＝0或z2＝0；②實(shí)數(shù)a，b，若ab＝0，則a＝0或b＝0；類比向量a，b，若a·b＝0，則a＝0或b＝0；③實(shí)數(shù)a，b，若a2＋b2＝0，則a＝b＝0；類比復(fù)數(shù)z1，z2，有zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，則z1＝z2＝0；④實(shí)數(shù)a，b，若a2＋b2＝0，則a＝b＝0；類比向量a，b，若a2＋b2＝0，則a＝b＝0.其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是________.答案2解析①顯然正確；②中若a⊥b，則a·b＝0，∴②錯(cuò)誤；③中取z1＝1，z2＝i，則zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，∴③錯(cuò)誤；④中a2＝|a|2，b2＝|b|2，若a2＋b2＝0，則|a|＝|b|＝0，∴a＝b＝0，∴④正確.綜上，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是2.考點(diǎn)二演繹推理要點(diǎn)重組演繹推理的特點(diǎn)：從一般到特殊；演繹推理的一般形式是三段論.方法技巧新定義問題的解題思路：讀懂新定義的含義，在領(lǐng)會新定義實(shí)質(zhì)的基礎(chǔ)上，將其應(yīng)用在具體情境中進(jìn)行演繹推理，得到新的結(jié)論.6.下面幾種推理過程是演繹推理的是()A.兩條直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，如果∠A和∠B是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，則∠A＋∠B＝180°B.由平面三角形的性質(zhì)，推測空間四面體的性質(zhì)C.某校高三共有10個(gè)班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推測各班都超過50人D.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－1＋\f(1,an－1)))(n≥2)，計(jì)算a2，a3，a4，由此推測通項(xiàng)an答案A解析演繹推理是由一般到特殊的推理，顯然選項(xiàng)A符合；選項(xiàng)B屬于類比推理；選項(xiàng)C，D是歸納推理.7.(2017·綿陽模擬)若一個(gè)三位自然數(shù)的各位數(shù)字中，有且僅有兩個(gè)數(shù)字一樣，我們把這樣的三位自然數(shù)定義為“單重?cái)?shù)”，例：112，232，則不超過200的“單重?cái)?shù)”個(gè)數(shù)是()A.19B.27C.28D.37答案C解析由題意，不超過200，兩個(gè)數(shù)字一樣為0，有2個(gè)；兩個(gè)數(shù)字一樣為1，110，101，112，121，113，131，114，141，115，151，116，161，117，171，118，181，119，191，有18個(gè)；兩個(gè)數(shù)字一樣為2，122，有1個(gè)；同理兩個(gè)數(shù)字一樣為3，4，5，6，7，8，9，各1個(gè).綜上所述，不超過200的“單重?cái)?shù)”個(gè)數(shù)是2＋18＋8＝28.8.對于任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)對(x1，y1)和(x2，y2)，規(guī)定：(x1，y1)＝(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝x2，,y1＝y(tǒng)2；))運(yùn)算“?”為(x1，y1)?(x2，y2)＝(x1x2－y1y2，y1x2＋x1y2)；運(yùn)算“⊕”為(x1，y1)⊕(x2，y2)＝(x1＋x2，y1＋y2).設(shè)k，n∈R，若(1，2)?(k，n)＝(3，1)，則(1，2)⊕(k，n)＝________.答案(2，1)解析由(1，2)?(k，n)＝(3，1)，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k－2n＝3，,2k＋n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝1，,n＝－1.))所以(1，2)⊕(k，n)＝(1，2)⊕(1，－1)＝(2，1).9.如果函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，那么對于區(qū)間D內(nèi)的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________.答案eq\f(3\r(3),2)解析由題意知，凸函數(shù)滿足eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，又y＝sinx在區(qū)間(0，π)上是凸函數(shù)，則sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).10.“斐波那契”數(shù)列由十三世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契發(fā)現(xiàn).數(shù)列中的一系列數(shù)字常被人們稱之為神奇數(shù).具體數(shù)列為：1，1，2，3，5，8，…，即從該數(shù)列的第三項(xiàng)數(shù)字開始，每個(gè)數(shù)字等于前兩個(gè)相鄰數(shù)字之和.已知數(shù)列{an}為“斐波那契”數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則(1)S7＝________；(2)若a2017＝m，則S2015＝________.(用m表示)答案(1)33(2)m－1解析(1)S7＝1＋1＋2＋3＋5＋8＋13＝33.(2)∵an＋2＝an＋an＋1＝an＋an－1＋an＝an＋an－1＋an－2＋an－1＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－2＝…＝an＋an－1＋an－2＋an－3＋…＋a2＋a1＋1，∴S2015＝a2017－1＝m－1.考點(diǎn)三推理與證明的綜合應(yīng)用要點(diǎn)重組(1)反證法的證題步驟：反設(shè)、歸謬、存真.(2)以實(shí)際問題為背景的推理問題，可利用歸納、分類、反證等多種方法進(jìn)行推理論證.11.設(shè)a，b，c∈(－∞，0)，則a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)()A.都不大于－2B.都不小于－2C.至少有一個(gè)不大于－2D.至少有一個(gè)不小于－2答案C解析假設(shè)a＋eq\f(1,b)，b＋eq\f(1,c)，c＋eq\f(1,a)都大于－2，即a＋eq\f(1,b)＞－2，b＋eq\f(1,c)＞－2，c＋eq\f(1,a)＞－2，將三式相加，得a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)＞－6，又因?yàn)閍＋eq\f(1,a)≤－2，b＋eq\f(1,b)≤－2，c＋eq\f(1,c)≤－2，所以a＋eq\f(1,b)＋b＋eq\f(1,c)＋c＋eq\f(1,a)≤－6，矛盾，所以假設(shè)不成立，故選C.12.(2017·武昌區(qū)模擬)一名法官在審理一起珍寶盜竊案時(shí)，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供詞如下：甲說：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙說：“我沒有作案，是丙偷的”；丙說：“甲、乙兩人中有一人是小偷”；丁說：“乙說的是事實(shí)”.經(jīng)過調(diào)查核實(shí)，四人中有兩人說的是真話，另外兩人說的是假話，且這四人中只有一人是罪犯，由此可判斷罪犯是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案B解析乙、丁供詞同真或同假，假設(shè)乙、丁同真，可知甲真，和題中條件矛盾，故乙、丁同假，甲、丙兩人說的真話，易知罪犯是乙.13.用反證法證明命題：“三角形的三個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60°”時(shí)，假設(shè)正確的是()A.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都不大于60°B.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角都大于60°C.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有一個(gè)大于60°D.假設(shè)三個(gè)內(nèi)角至多有兩個(gè)不大于60°答案B14.已知結(jié)論：在正三角形ABC中，若D是邊BC的中點(diǎn)，G是三角形ABC的中心，則eq\f(AG,GD)＝2.若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：在棱長都相等的四面體ABCD中，若△BCD的中心為M，四面體內(nèi)部一點(diǎn)O到四面體各面的距離都相等，則eq\f(AO,OM)等于()A.1B.2C.3D.4答案C解析由于四面體ABCD是正四面體，因此AM⊥平面BCD，且O在AM上，設(shè)△BCD的面積為S，四面體ABCD的體積為V，則V＝V三棱錐O－ABC＋V三棱錐O－ABD＋V三棱錐O－ACD＋V三棱錐O－BCD＝4×eq\f(1,3)S·OM，又V＝eq\f(1,3)S·AM，所以4×eq\f(1,3)S·OM＝eq\f(1,3)S·AM，故AM＝4OM，所以eq\f(AO,OM)＝3，故選C.15.(2017·虎林市校級模擬)甲、乙、丙三人代表班級參加校運(yùn)會的跑步、跳遠(yuǎn)、鉛球比賽，每人參加一項(xiàng)，每項(xiàng)都要有人參加，他們的身高各不相同，現(xiàn)了解到以下情況：(1)甲不是最高的；(2)最高的沒報(bào)鉛球；(3)最矮的參加了跳遠(yuǎn)；(4)乙不是最矮的，也沒參加跑步.可以判斷丙參加的比賽項(xiàng)目是________.答案跑步解析由(4)可知，乙參加了鉛球比賽，由(2)可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由(1)可知，甲是最矮的，參加了跳遠(yuǎn)，所以丙最高，參加了跑步比賽.1.已知12＝eq\f(1,6)×1×2×3，12＋22＝eq\f(1,6)×2×3×5，12＋22＋32＝eq\f(1,6)×3×4×7，12＋22＋32＋42＝eq\f(1,6)×4×5×9，則12＋22＋…＋n2＝________.(其中n∈N*)答案eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)解析根據(jù)題意可歸納出12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)，下面給出證明：(k＋1)3－k3＝3k2＋3k＋1，則23－13＝3×12＋3×1＋1，33－23＝3×22＋3×2＋1，…，(n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1，累加得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋…＋n)＋n，整理得12＋22＋…＋n2＝eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1).2.(2017·咸陽二模)觀察下列式子：eq\r(1×2)<2，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)<eq\f(9,2)，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)<8，eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋eq\r(3×4)＋eq\r(4×5)<eq\f(25,2)，…，根據(jù)以上規(guī)律，第n個(gè)不等式是____________________________.答案eq\r(1×2)＋eq\r(2×3)＋…＋eq\r(nn＋1)<eq\f(n＋12,2)3.老師帶甲、乙、丙、丁四名同學(xué)去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況，四名學(xué)生回答如下：甲說：“我們四人都沒能考好”.乙說：“我們四人中有人考得好”.丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”.丁說：“我沒考好”.結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對了，則四名學(xué)生中________兩人說對了.答案乙和丙解析如果甲對，則丙、丁都對，與題意不符，故甲錯(cuò)，乙對，如果丙錯(cuò)，則丁錯(cuò)，因此只能是丙對，丁錯(cuò)，故只有乙和丙兩人說對了.解題秘籍(1)新定義問題的關(guān)鍵是明確新定義的實(shí)質(zhì)，結(jié)合所學(xué)知識，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、已掌握的問題.(2)實(shí)際問題和推理相結(jié)合，要按照可能發(fā)生的情況全面論證，去偽存真，找到問題的答案.1.如圖所示，將若干個(gè)點(diǎn)擺成三角形圖案，每條邊(包括兩個(gè)端點(diǎn))有n(n＞1，n∈N)個(gè)點(diǎn)，相應(yīng)的圖案中總的點(diǎn)數(shù)記為an，則eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)等于()A.eq\f(2015,2016)B.eq\f(2016,2015)C.eq\f(2016,2017)D.eq\f(2017,2018)答案C解析每條邊有n個(gè)點(diǎn)，所以3條邊有3n個(gè)點(diǎn)，三角形的3個(gè)頂點(diǎn)重復(fù)計(jì)了一次，所以減3個(gè)頂點(diǎn)，則an＝3n－3，那么eq\f(9,anan＋1)＝eq\f(9,3n－3×3n)＝eq\f(1,n－1n)＝eq\f(1,n－1)－eq\f(1,n)，則eq\f(9,a2a3)＋eq\f(9,a3a4)＋eq\f(9,a4a5)＋…＋eq\f(9,a2017a2018)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,1)－\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,4)))＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2016)－\f(1,2017)))＝1－eq\f(1,2017)＝eq\f(2016,2017)，故選C.2.將正奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)為()135791113151719212325272931………A.809B.852C.786D.893答案A解析前20行共有正奇數(shù)1＋3＋5＋…＋39＝202＝400(個(gè))，則第21行從左向右的第5個(gè)數(shù)是第405個(gè)正奇數(shù)，所以這個(gè)數(shù)是2×405－1＝809.3.觀察一列算式：1?1，1?2，2?1，1?3，2?2，3?1，1?4，2?3，3?2，4?1，…，則式子3?5是第()A.22項(xiàng)B.23項(xiàng)C.24項(xiàng)D.25項(xiàng)答案C解析兩數(shù)和為2的有1個(gè)，和為3的有2個(gè)，和為4的有3個(gè)，和為5的有4個(gè)，和為6的有5個(gè)，和為7的有6個(gè)，前面共有21個(gè)，3?5為和為8的第3項(xiàng)，所以為第24項(xiàng)，故選C.4.設(shè)f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.eq\f(1,3n＋2) B.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)C.eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2) D.eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)答案D解析∵f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)，∴f(n＋1)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,3n－1)＋eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2)，∴f(n＋1)－f(n)＝eq\f(1,3n)＋eq\f(1,3n＋1)＋eq\f(1,3n＋2).5.已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的導(dǎo)函數(shù)，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，則f2017(x)等于()A.sinx＋cosx B.－sinx－cosxC.sinx－cosx D.－sinx＋cosx答案A解析f5(x)＝f4′(x)＝sinx＋cosx，f6(x)＝f5′(x)＝cosx－sinx，…，可知fn(x)是以4為周期的函數(shù)，∵2017＝504×4＋1，∴f2017(x)＝f1(x)＝sinx＋cosx，故選A.6.用反證法證明命題“若a＋b＋c≥0，abc≤0，則a，b，c三個(gè)實(shí)數(shù)中至多有一個(gè)小于零的”的反設(shè)內(nèi)容為()A.a，b，c三個(gè)實(shí)數(shù)中至多有一個(gè)不大于零B.a，b，c三個(gè)實(shí)數(shù)中至多有兩個(gè)小于零C.a，b，c三個(gè)實(shí)數(shù)中至少有兩個(gè)小于零D.a，b，c三個(gè)實(shí)數(shù)中至少有一個(gè)不大于零答案C解析a，b，c三個(gè)實(shí)數(shù)中小于零的個(gè)數(shù)只有0，1，2，3四種，“至多有一個(gè)”的否定為至少有兩個(gè).故選C.7.小明用電腦軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)解題能力測試，每答完一道題，軟件都會自動(dòng)計(jì)算并顯示出當(dāng)前的正確率(正確率＝已答對題目數(shù)÷已答題目總數(shù))，小明依次共答了10道題，設(shè)正確率依次為a1，a2，a3，…，a10.現(xiàn)有三種說法：①若a1＜a2＜a3＜…＜a10，則必是第一道題答錯(cuò)，其余題均答對；②若a1＞a2＞a3＞…＞a10，則必是第一道題答對，其余題均答錯(cuò)；③有可能a5＝2a10，其中正確的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.3答案D解析①②顯然成立，③前5個(gè)全答對，后5個(gè)全答錯(cuò)，符合題意，故選D.8.(2017·河北衡水中學(xué)三調(diào))來自英、法、日、德的甲、乙、丙、丁四位客人，剛好碰在一起.他們除懂本國語言外，每人還會說其他三國語言中的一種.有一種語言是三個(gè)人會說的，但沒有一種語言四人都懂，現(xiàn)知道：①甲是日本人，丁不會說日語，但他倆能自由交談；②四人中沒有一個(gè)人既能用日語交談，又能用法語交談；③乙、丙、丁交談時(shí)，不能只用一種語言；④乙不會說英語，當(dāng)甲與丙交談時(shí)，他能做翻譯.針對他們懂的語言，正確的推理是()A.甲日德、乙法德、丙英法、丁英德B.甲日英、乙日德、丙德法、丁日英C.甲日德、乙法德、丙英德、丁英德D.甲日法、乙英德、丙法德、丁法英答案A解析分析題目和選項(xiàng)，由①知，丁不會說日語，排除B選項(xiàng)；由②知，沒有人既會日語又會法語，排除D選項(xiàng)；由③知乙、丙、丁不會同一種語言，排除C選項(xiàng)，故選A.9.已知f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)，經(jīng)計(jì)算f(4)＞2，f(8)＞eq\f(5,2)，f(16)＞3，f(32)＞eq\f(7,2)，則根據(jù)以上式子得到第n個(gè)式子為__________.答案f(2n)＞