高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省寧波市三鋒教研聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題選擇題部分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.給出的下列選項(xiàng)中，正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】對(duì)A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D錯(cuò)誤.故選：C2.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，故.故選：A3.已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以.故選：B.4.某學(xué)校4000名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X（單位：分）服從正態(tài)分布，且成績(jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)約為1600，則估計(jì)成績(jī)?cè)?00分以上的學(xué)生人數(shù)為（）A.200 B.400 C.2800 D.2000【答案】B【解析】由題意可知該正態(tài)分布的均值為90，由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，即成績(jī)?cè)?0分及以上的學(xué)生人數(shù)約為，因?yàn)槌煽?jī)?cè)诘膶W(xué)生人數(shù)約為1600，故估計(jì)成績(jī)?cè)?00分以上的學(xué)生人數(shù)為.故選：B.5.已知，則（）A. B.3 C.1 D.【答案】B【解析】由題干條件可知，所以，由和角的正切公式可得.故選：B.6.某班一天上午有4節(jié)課，下午有3節(jié)課，現(xiàn)在安排該班一天中語(yǔ)文、英語(yǔ)、物理、政治、體育各1節(jié)，數(shù)學(xué)2節(jié)，要求2節(jié)數(shù)學(xué)課都排在上午或下午且連續(xù)，體育課排在下午，則不同的排法種數(shù)是（）A.624 B.528 C.312 D.264【答案】D【解析】如果2節(jié)數(shù)學(xué)課排在上午，則數(shù)學(xué)課的安排情況為，，，共3種排法，此時(shí)體育課排在下午，有3種排法，剩下的4節(jié)課有種排法，所以數(shù)學(xué)課排在上午共有種排法.如果2節(jié)數(shù)學(xué)課排在下午，則數(shù)學(xué)課的安排情況為，，共2種排法，此時(shí)體育課排在下午，有1種排法，剩下4節(jié)課有種排法，所以數(shù)學(xué)課排在下午共有種排法.綜上，不同的排法種數(shù)為，故選：D.7.已知的展開(kāi)式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則t的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的展開(kāi)式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，得，而，解得，即，所以t的取值范圍是.故選：D8.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意，又函數(shù)既有極大值也有極小值，故方程有兩個(gè)不相等的正根，故，則，排除ACD.因?yàn)?，故異?hào)，故.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：X0125Pa2a則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】對(duì)于A，由題意得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，所以，故C正確；對(duì)于D，故D錯(cuò)誤；故選：BC10.甲乙兩個(gè)盒子中分別裝有兩種顏色不同但大小相同的小球，甲盒子中裝有5個(gè)白球和5個(gè)黑球；乙盒子中裝有4個(gè)白球和6個(gè)黑球．先從甲盒子中隨機(jī)摸出一個(gè)小球放入乙盒子中，再?gòu)囊液凶又须S機(jī)摸出一個(gè)小球，記表示事件“從甲盒子中摸出的是白球”，表示事件“從甲盒子中摸出的是黑球”，記表示事件“從乙盒子中摸出的是白球”，表示事件“從乙盒子中摸出的是黑球”，下列說(shuō)法正確的是（）A.，是互斥事件 B.，是獨(dú)立事件C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)A，因?yàn)槊看沃幻鲆粋€(gè)球，故，不能同時(shí)發(fā)生，故，互斥事件，故A正確；對(duì)B，因?yàn)?，，，，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，，故C正確；對(duì)D，，故D正確.故選：ACD11.已知函數(shù)，則（）A.點(diǎn)是圖像的對(duì)稱中心 B.是的極小值點(diǎn)C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ABD【解析】由題可得，令，得或，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，，，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以可作出的大致圖象如圖所示：選項(xiàng)A：設(shè)，則，令，得，又，所以點(diǎn)是圖象的對(duì)稱中心，故A正確；選項(xiàng)B：易知是的極小值點(diǎn)，故B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，，所以，故C錯(cuò)誤.選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，又在上單調(diào)遞增，所以，故D正確；故選：ABD.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.在展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和是________.【答案】【解析】對(duì)于二項(xiàng)式，令可得展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)的和為.故答案為：13.，則________【答案】【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，解得，故答案為：.14.某學(xué)校興趣小組,該興趣小組內(nèi)學(xué)舞蹈且不學(xué)聲樂(lè)的有3人,既學(xué)舞蹈又學(xué)聲樂(lè)的有2人,從該興趣小組中任選2人,設(shè)X為選出的人既學(xué)舞蹈又學(xué)聲樂(lè)的人數(shù),若,則該興趣小組的人數(shù)是________人．【答案】7【解析】由題意，可能的取值為0，1，2，設(shè)該興趣小組的人數(shù)是，，則，，故，即，則，故，即，因?yàn)闉檎麛?shù)，故.故答案為：7四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的最小正周期和最大值；（2）討論函數(shù)在上的單調(diào)性．解：（1）故函數(shù)的周期為，當(dāng)，，即，，函數(shù)取到最大值為.（2）由（1）得當(dāng)時(shí)，，從而當(dāng)，即，單調(diào)遞增；當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減．綜上可知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．16.已知的展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．（1）求n的值；（2）求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)；（3）求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng)．解：（1）展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，因?yàn)檎归_(kāi)式中的前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列．所以，整理得：，解得：或（舍）．所以；（2）第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為；（3）展開(kāi)式的通項(xiàng)為當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線的方程；（2）探究的最小值；（3）當(dāng)時(shí)，求的最小值的極值．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，則，，所以切線的方程為（2）定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故沒(méi)有最小值；當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以綜上所述：當(dāng)時(shí)，沒(méi)有最小值；當(dāng)時(shí)，最小值為；（3）由（2）可得設(shè)，則，令，得，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的極大值為，無(wú)極小值．18.某學(xué)校組織開(kāi)展了“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)答題挑戰(zhàn)賽暨主題黨日活動(dòng)”.規(guī)則如下：每班派兩名選手參賽，每位選手回答三個(gè)題，滿分為60分，每題答對(duì)得10分，答錯(cuò)不得分.某班派了甲?乙兩名同學(xué)參賽，且甲同學(xué)三題能回答正確的概率均為，乙同學(xué)三題能回答正確的概率依次為、、，兩人的累計(jì)得分為班級(jí)總得分，總得分不少于50分班級(jí)將獲得參加決賽的資格.（1）三題答完結(jié)束后，記為乙同學(xué)的累計(jì)得分，求的分布列和期望；（2）求班級(jí)獲得決賽資格的概率.解：（1）由題意可得：可能取值為：0，10，20，30.；；；；所以分布列為：0102030分.（2）記為甲同學(xué)的累計(jì)得分.而；；所以班級(jí)獲得決賽資格的概率：.19.帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法．給定兩個(gè)正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，，，…，，注：，，，，…已知函數(shù)在處階帕德近似為．（1）求實(shí)數(shù)a，b，c的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）設(shè)t為實(shí)數(shù)，討論方程的解的個(gè)數(shù)．解：（1），，由，可知，又，，，，由題意，，，所以，，綜上，，.（2）由（1）知，，令，，所以在內(nèi)為增函數(shù)，又，時(shí)，，得證．（3）的定義域是，①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，且，所以在上存在1