高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1云南省紅河州2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、學(xué)校、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚，并將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi).2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】集合，，故.故選：C2.已知直線l：與圓C：有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】圓C：，知，圓心到直線的距離為：，解得：.故選：A3.為全面普及無(wú)人機(jī)知識(shí)，激發(fā)青少年探索航空未來(lái)創(chuàng)造力與想象力，提升青少年科學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新能力，培養(yǎng)航空后備人才.中國(guó)航空學(xué)會(huì)、云南省科學(xué)技術(shù)協(xié)會(huì)、云南警官學(xué)院于2024年4月中句在紅河州彌勒市共同舉辦第8屆全國(guó)青少年無(wú)人機(jī)大賽（云南省賽）.某校為下一屆大賽做準(zhǔn)備，在校內(nèi)進(jìn)行選拔賽，9名學(xué)生成績(jī)依次為：85，105，75，100，95，85，90，100，80.則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為（）A.85 B.90 C.92.5 D.95【答案】D【解析】9名學(xué)生成績(jī)從低到高依次為：75，80，85，85，90，95，100，100，105.且，故第60百分位數(shù)為：95.故選：D4.已知函數(shù)對(duì)任意的都有成立，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.2【答案】A【解析】由，得可知周期為，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以故選：A5.若函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故選：C6.東平房塔（如圖）建于遼代，塔平面呈正六邊形，是遼西古塔中僅有的兩座遼代六邊形古塔之一.請(qǐng)根據(jù)塔平面抽象出正六邊形ABCDEF，若，則（）A.6 B. C.8 D.12【答案】D【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，故.故選：D7.已知橢圓C：，的右焦點(diǎn)為，過(guò)F的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】設(shè)則，兩式作差得：，線段AB的中點(diǎn)為，故，所以，且直線AB過(guò)和，則直線AB的斜率：,故，解得.故選：B8.一家商店使用一架兩臂不等長(zhǎng)的天平稱黃金.一位顧客到店里購(gòu)買10g黃金，售貨員先將5g的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5g的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購(gòu)得的黃金是（）A.小于10g B.等于10gC.大于10g D.大于或等于10g【答案】C【解析】由于天平兩臂不等長(zhǎng)，可設(shè)天平左臂長(zhǎng)為，右臂長(zhǎng)為，則，再設(shè)先稱得黃金為，后稱得黃金為，則，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，但，等號(hào)不成立，即.因此，顧客購(gòu)得的黃金大于.故選：C二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題自要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下說(shuō)法正確的是（）A.若，，則B.隨機(jī)變量，，若，則C.若，，，則D.，且，則【答案】BCD【解析】對(duì)于A,若，則解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，隨機(jī)變量，，若，則，故B正確；對(duì)于C，若，則,則,故C正確；對(duì)于D，，且，則，故D正確.故選：BCD10.記正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則（）A. B.C. D.數(shù)列的前n項(xiàng)和小于1【答案】AD【解析】對(duì)于B：∵，①∴當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，②由①②得，化為，∵有，∴.數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.∴.∴，故B錯(cuò)誤；對(duì)于AC：，，故A正確，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，故D正確；故選：AD11.如圖1，在菱形中，，.沿對(duì)角線將其翻折，如圖2.則（）A.在折疊過(guò)程中直線與所成角不變B.當(dāng)點(diǎn)在平面的投影為的重心時(shí)，C.三棱錐的表面積最大值為D.當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，其外接球半徑為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，如圖①所示，取中點(diǎn)，連接,因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?所以，且為等邊三角形，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以,因?yàn)槠矫?平面,所以平面,因?yàn)槠矫?所以，故A正確；對(duì)于B，如圖②所示，設(shè)的重心為，因?yàn)辄c(diǎn)在平面的投影為的重心，所以平面，因?yàn)闉榈冗吶切危灾匦脑谏?，?所以在中，,在中，，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)槿龋匀忮F的表面積為，因?yàn)?所以當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)楫?dāng)三棱錐的體積最大，如圖①所示，所以平面平面，又因?yàn)?平面平面,所以平面，故三棱錐高最大為所以，如圖③所示，設(shè)三棱錐外接球球心為,且為的重心，過(guò)作平面，過(guò)作平面，連接，因?yàn)椋矫?所以平面，所以,因?yàn)槠矫妫矫?，所以，所以四邊形為矩形，即因?yàn)辄c(diǎn)為三棱錐的外接球的球心，到四點(diǎn)距離相等，設(shè),外接球半徑為，則,在中，，在中，，解得，所以外接球的半徑，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)z為虛數(shù)，，則z可以為_(kāi)___________.（寫出滿足條件的一個(gè)解即可）【答案】（答案不唯一，）【解析】設(shè)虛數(shù)，由，得，于是，取，可得.故答案為：13.已知函數(shù)，分別是定義在上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，且，則____________.【答案】【解析】函數(shù)，分別是定義在上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，故，所以，故.故答案為：14.已知直線l：與拋物線C：交于A，B兩點(diǎn)，如圖，點(diǎn)P為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AB的下方，則△ABP面積的最大值為_(kāi)___________.【答案】【解析】當(dāng)拋物線過(guò)點(diǎn)的切線與直線平行時(shí)，的面積最大，設(shè)點(diǎn)，由得：，，所以切線的斜率：，解得：，所以，所以，點(diǎn)到直線距離，由，消去，得：，設(shè)，，則，，所以，所以的面積的最大值為：.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求B；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng).解：（1）由正弦定理有，，可得，即，，，則，，故；（2），，則，可得，結(jié)合，由余弦定理，有，，可得，則的周長(zhǎng)為.16.如圖，在四棱臺(tái)中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD，，，P為AB的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面夾角的大小.解：（1）底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，平面ABCD，故，，兩兩垂直.以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，在四棱臺(tái)中，，，P為AB的中點(diǎn)，故,則,所以，即，且平面，平面，故平面.（2）由（1）知，,,設(shè)平面的法向量為則令，解得設(shè)平面的法向量為則令，解得故故平面與平面的夾角為.17.已知函數(shù)，（）.（1）當(dāng)時(shí)，求出方程解的個(gè)數(shù)；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.解：（1）當(dāng)時(shí)，，即，設(shè)，則，且定義域，故在時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，在時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞減，所以，故只有一個(gè)解，即方程只有一個(gè)解.（2）函數(shù)定義域?yàn)椋深}意，當(dāng)時(shí)，在時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，的解為，的解為，在上遞增，在上遞減．綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減．18.為提高學(xué)生的身體素質(zhì)，除了進(jìn)行體育鍛煉之外，學(xué)校每天中午免費(fèi)為學(xué)生提供水果和牛奶兩種營(yíng)養(yǎng)餐（每人每次只能選擇其中一種），經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：學(xué)生第一天選擇水果的概率為，選擇牛奶的概率為.而前一天選擇水果第二天選擇水果的概率為，選擇牛奶的概率為；前一天選擇牛奶第二天選擇水果的概率為，選擇牛奶的概率也是，如此往復(fù).記某同學(xué)第n天選擇水果的概率為.（1）記某班的2名同學(xué)在發(fā)放營(yíng)養(yǎng)餐開(kāi)始第二天選擇水果的人數(shù)為X，求X的分布列和期望；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）為了培養(yǎng)學(xué)生的服務(wù)意識(shí)，30天后學(xué)校組織學(xué)生參加志愿服務(wù)活動(dòng)，其中有15位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)營(yíng)養(yǎng)餐，應(yīng)該如何安排分發(fā)水果和牛奶的人數(shù).解：（1）依題意，第二天選擇水果的概率為，第二天選擇牛奶的概率為，第二天選擇水果的人數(shù)X的可能值為，，所以X的分布列為：012期望為.（2）依題意，，由，而，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（3）由（2）知，，當(dāng)時(shí)，非常小，趨近于0，，，即30天后學(xué)校每天選擇水果的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，所以15位學(xué)生負(fù)責(zé)為全體同學(xué)分發(fā)營(yíng)養(yǎng)餐，分發(fā)水果和牛奶人數(shù)分別為.19.已知點(diǎn)，在雙曲線（，）上，直線.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）當(dāng)且時(shí)，直線與雙曲線分別交于，兩點(diǎn)，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.證明：直線